一类非线性p-Laplace方程的Liouville定理

蒋群群，王林峰

(南通大学 理学院，江苏 南通 226019)

假设M是一个带度量g的n维完备流形。本文研究如下非线性p-Laplace方程

Δpu+aup-1lnu+λup-1=0,

(1)

如果p=2, 式(1)为

Δu+aulnu+λu=0。

(2)

文献[1]得到Ricci曲率为负下界的完备流形上正调和函数的一个最优微分不等式。λ为正时方程Δu+λu=0的微分不等式的证明方法类似于文献[1]，也可参看文献[2]。文献[1]不等式中的等号能够取到,因此这个微分不等式是最优的，这也意味着著名的Yau的Liouville定理[3], 即在具有非负Ricci曲率的完备流形上不存在非常数正的调和函数。光滑度量测量空间上类似的最优微分不等式在文献[4]中被建立。

当a<0时，Ma[5]得到式(2)的正解的一个微分不等式，还通过观察式(2)与膨胀梯度Ricci孤立子之间的关系，说明该微分不等式最优。膨胀梯度Ricci孤立子由下式定义[6]

(3)

式中:f为势函数;a<0。Ma观察到如果f是式(3)的势函数，则对某个常数λ，u=e-f满足式 (2)。

注意式(2)也与Perelman的W函数有关。定义

式中

文献[7]证明在紧流形上λ可以由满足

4Δu+2ulnu+λu=0

的正光滑函数u取到。文献[6]利用这个最小化结果来排除紧致流形上非平凡收缩的梯度Ricci孤立子的存在性。在其他情况下W泛函的研究可以参看文献[8-9]。由文献[7]可知，式(2)也与著名的Gross对数Sobolev不等式密切相关。

对p>1，Kotschwar等[10]在截面曲率有下界的假设下建立p-调和函数的局部微分不等式。由这个微分不等式能推出Liouville定理，该定理表明在截面曲率非负的完备流形上不存在非常数正的p-调和函数。Wang等[11]在截面曲率有下界的非紧流形上证明方程 Δpu+λup-1=0正解的一个最优微分不等式。与p-Laplace相关的Liouville定理的研究还可以参看文献[12-13]及其中的参考文献。

对于p>1和某个给定常数a，定义

式中

在紧致流形上能使λa,p取到的函数u满足Euler-Lagrange方程(1)，式中λ=λa,p。关于p-Laplace方程的微分不等式已有不少研究[14-15]。本文将建立非线性p-Laplace方程(1)正解的微分不等式。

1 本文主要结果及预备知识

为方便起见，设

(4)

以及

(5)

下面结果是紧流形上的微分不等式。

定理1设M为Ricci曲率以-(n-1)K为下界的n维紧致流形，式中K≥0。假设u是式(1)的正解，令u=v，并且则

① 对a>0，如果p≥2，则

(6)

如果 1

(7)

② 对a<0，如果p≥2，则

(8)

如果1

(9)

定理1能推出如下Liouville定理。

定理2设M为Ricci曲率以-(n-1)K为下界的n维紧致流形，式中K≥0。假设u是a<0 时式(1)的正解。对p≥2，如果

(10)

流形非紧时也可以建立式(1)的微分不等式。引入截断函数时计算中包含距离函数的Hessian，所以假设截面曲率有下界[10]。

(11)

如果a<0，则

(12)

如第3章推论2所述，由定理3能得到关于截面曲率为负的非紧流形的Liouville定理。

up-1|lnu|≤C(p,δ)max{1,up-1+δ}≤C(p,δ)max{1,Mp-1+δ},

(13)

对给定的满足式(13)的函数v，定义算子L为

下面引理可以看作是Bochner公式的推广(见文献[17]式(2.5))。

(14)

式中

基于引理1可以推导出以下估计。

引理2设M为Ricci曲率以-(n-1)K为下界的n维完备非紧流形，式中K≥0。假设v=u是式(13)的解，则

(15)

证明由式(13)得

(16)

易知,

(17)

把式(16)、(17)代入式(14)，得

(18)

假设δ满足

(19)

(20)

这里最后一个等式来自式(19)。因此式(20)在所有点都成立。由式(19)，

从而得到式(15)。证毕。

注1式(4)中选择的是最优的，因为

在式(18)的条件下达到最大值。

2 紧致流形

本章证明定理1和定理2。

(21)

首先考虑a>0的情况。如果p≥2，容易看出

(22)

把式(22)代入式(21)，得

因此，对任意x∈M,

从而得式(6)。

如果1

(23)

将式(23)代入式(21)，并与p≥2的情况类似进行讨论，得到式(7)。

对a<0的情况，当p≥2时，将式(22)代入式(21)，得

现在证明定理2。

在定理2中令p=2得到对式(2)的Liouville定理。

3 非紧流形

本章将利用截断函数给出非紧致流形上式(1)正解的微分不等式。由于计算涉及到距离函数的Hessian,需要假设截断曲率有下界。首先证明定理3。

定理3的证明设O∈M为定点，r(x)=dist(O,x)为由O决定的距离函数。对足够大的R>0，用B(O,R)表示中心为O半径为R的测地球。

考虑如下函数[15]

使得

(24)

(25)

(26)

在x0点，还有L(G)≤0。对任意σ∈(0,1)，有

(27)

令

以及

假设δσ满足

与式(15)类似,有

由式(25)、(26)、 (27)，以及在x0处L(G)≤0，得在x0处有

易见

及

由0≤φ≤1，得

(28)

式中Ci,i=1,2,3,…是依赖于n、p、σ、K、σ的常数。由1

(29)

首先考虑a>0的情形。易知

(30)

(31)

将式(30)、(31)代入式(29)，得

因此，对所有x∈B(O,R),

令R→∞，对所有x∈M，

(32)

注意当σ1时，σ→，Aσ→A,在式(32)中令σ1，得

这个不等式意味着式(11),通过类似讨论可以得到式(12)。证毕。

推论2在具有非负截面曲率的n维非紧流形上，当a<0，且1