广义HEISENBERG-GREINER p-退化椭圆算子的两类含权Hardy不等式

王胜军，韩亚洲

1.青海师范大学 数学与统计学院，西宁 810008；2.中国计量大学 理学院，杭州 310018

(1)

(2)

(3)

而且当2≤p

本文使用类似于文献[9]中的方法，利用散度定理，引入一类性质恰当的向量场，结合逼近的思想，推广了(1)，(2)和(3)式，得到了广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子的两类含权Hardy不等式，进一步给出了最佳常数的证明．

1 预备知识

广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子为一类具有高奇性的平方和退化椭圆算子[10]，被更多的学者所关注，并得到了许多重要的成果[11-12]．其构成向量场(见下文)Xj，Yj(j=1，2，…，n)在k>1时不满足Hörmander有限秩条件，从而它的亚椭圆性无法由此导出，增加了研究的难度[13-14]．以下给出广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子的基本知识．

广义Heisenberg-Greinerp-退化椭圆算子形为

Lpu=divL(|Lu|p-2Lu)

(4)

设ξ=(z，t)=(x，y，t)∈R2n+1，相应于(4)式中Lp的一个自然伸缩为

δτ(z，t)=(τz，τ2kt)τ>0

(5)

与伸缩(5)式相应的齐次维数是Q=2n+2k．由(5)式诱导的一个拟距离为

(6)

通过(6)式直接计算知道

(7)

另外，定义中心在{0}∈R2n+1，半径为R的拟开球为BR(ξ)={ξ∈R2n+1|d(ξ)

下的完备化，其中：Ω⊂R2n+1，1

2 一类含权Hardy不等式

(8)

当p≠Q，有

(9)

(10)

(11)

当0∈Ω，(8)，(9)，(10)和(11)式中的常数是最佳的．

证由(7)式直接计算得到

divL(d-a+1|Ld|b-2Ld)=(Q-a)d-a|Ld|b

(12)

在Ω上，引入C1类向量场

divLH=divL(C|C|p-2d-(a-1)|Ld|b-2Ld)=p|C|pd-a|Ld|b

|H|=|C|p-1d-a+1|Ld|b-1

这样就得到

(13)

也即

(14)

将(13)式代入(14)式的右边，利用(7)式得到(8)式．

在(8)式中，取a=2p，b=p得到(9)式；在(8)式中，取a=p，b=0得到(10)式；在(8)式中，取a=0，b=-p得到(11)式．

以下分两种情况证明(8)式中的常数是最佳的．

计算可以得到

从而有

进一步取ε→0，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)式及(11)式中的常数也是最佳的．

2)若Ω⊂R2n+1，已知(8)式中的常数可表示为

由于(8)式在(5)式的伸缩δR下不变，所以对于R>0，有

Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

因此，当BR(ξ)⊂Ω⊂R2n+1，有

|C|p=Cinf(R2n+1)≤Cinf(Ω)≤Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

(15)

Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

可得

Cinf(B1(ξ))≤Cinf(R2n+1)

结合(15)式，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)及(11)式中的常数也是最佳的．

注1在(8)式中取Ω=R2n+1，a=p，b=p时，得到(1)式，且p的取值范围较文献[5]中结果宽泛．

注2在(8)式中取a=p，b=p时，得到(2)式．

3 一类带有余项的含权Hardy不等式

(16)

特别地，在(16)式中取a=b=0，有下列带有余项的含权Hardy不等式

(17)

证为方便证明(16)式成立，首先令

从而当R足够大时，在Ω上有Λ0>0，Λ1>0．

(18)

(19)

(20)

利用(18)，(19)及(20)式，得到

(21)

(22)

通过(21)，(22)式，得到

(23)

又由于

也即

(24)

将(23)式代入(24)式，利用(7)式，得到(16)式．

注1在(17)式中取k=1，α=p，β=p时，得到(3)式．