解三角形的基本策略

廖永福

摘 要：解三角形是高中数学的重要内容，也是高考必考的知识点.考题灵活多样，多以选择题、填空题或解答题的形式出现.难度虽然不大，但由于部分同学思路不清、方向不明，导致得分率不高.本文对近几年的高考真题进行了梳理，归纳出一些基本的解题策略，供大家教学时参考.

关键词：高考;解三角形;解题策略;正弦定理;余弦定理

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0040-06

解三角形问题的主要题型有：求三角形的边和角;判断三角形的形状;与周长、面积有关的问题等.重点考查正弦定理、余弦定理和面积公式，有时也涉及三角函数、三角恒等變换和不等式等知识.基本的解题策略有：边角互化、余弦优先、射影定理、消角转化、整体代换和数形结合等.

1 边角互化

解三角形时，若已知边的齐次式或角的正弦的齐次式，应优先考虑利用正弦定理进行边角互化.

例1 （2019年全国Ⅱ卷文15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=.

分析 先根据正弦定理边化角，再结合特殊角的三角函数值求解.

解析 由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0.

因为sinA≠0，所以sinB+cosB=0.

即tanB=-1.

又因为B∈（0，π），所以B=3π4.

点评 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系式、特殊角的三角函数值，渗透了逻辑推理和数学运算等核心素养，解题关键是利用正弦定理边化角，属于基础题.

例2 （2021年全国Ⅰ卷19）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析 （1）由已知条件，结合正弦定理易证;（2）由∠ADB+∠CDB=π，结合余弦定理求解.图1

解析 （1）如图1，由BDsin∠ABC=asinC和b2=ac，

结合正弦定理，得BD·b=ac=b2.

所以BD=b.

（2）由（1）知BD=b.

因为AD=2DC，所以AD=23b，CD=13b.

因为∠ADB+∠CDB=π，

所以cos∠ADB+cos∠CDB=0.

由余弦定理，得

BD2+AD2-AB22BD·AD+BD2+CD2-BC22BD·CD=0.

即b2+（23b）2-c22·b·23b+b2+（13b）2-a22·b·13b=0.

化简，得6a2-11b2+3c2=0.

即6a2-11ac+3c2=0.

解得c=3a或c=23a.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac.

当c=3a时，cos∠ABC=76>1（舍去）;

当c=23a时，cos∠ABC=712.

故cos∠ABC=712.

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，第（1）小题的关键是应用正弦定理角化边;第（2）小题的关键是挖掘隐含条件∠ADB+∠CDB=π，应用余弦定理角化边，属于中档题.

变式练习1 （2019年全国Ⅰ卷理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设sin2A-sinBsinC=（sinB-sinC）2.

（1）求A;

（2）若2a+b=2c，求sinC.

2 余弦优先

解三角形时，若已知三边的二次齐次式或某个角的余弦值，应优先考虑利用余弦定理进行边角互化.

例3 （2021年全国乙卷理15）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.

分析 先根据三角形的面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求得结果.

解析 由题意，得S△ABC=12acsinB=34ac=3.

所以ac=4.

因为a2+c2=3ac，所以a2+c2=12.

所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8.

解得b=22（取正值）.故答案为22.

点评 本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，解题关键是根据已知条件的特点，选用三角形的面积公式和余弦定理求解，属于中档题.

例4 （2019年全国Ⅰ卷文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-14，则bc=（  ）.

A.6  B.5  C.4  D.3

分析 利用正弦定理和余弦定理角化边，得到关于a，b，c的方程组，消去a即可.

解析 由已知及正、余弦定理，得a2-b2=4c2，b2+c2-a22bc=-14.

消去a，得c2-4c22bc=-14.

所以bc=6.故选A.

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理，考查推理能力和运算能力，解题关键是根据已知条件的特点，选用正弦定理和余弦定理求解，属于中档题.

变式练习2 （2017年天津卷文15）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA=4bsinB，ac=5（a2-b2-c2）.

（1）求cosA的值;

（2）求sin（2B-A）的值.

3 射影定理

射影定理 三角形的任意一边等于其他两边在这边上的射影之和.

即在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA.

射影定理的证法很多，难度也不大，同学们不妨一试.

例5 （2017年全国Ⅱ卷文16）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=.

分析 由已知条件，结合射影定理求解.

解析 因为2bcosB=acosC+ccosA=b，

所以cosB=12.

又0<B<π，所以B=π3.

点评 本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，这里运用射影定理求解，简便快捷，属于基础题.

例6 （2011年山东卷理17）在△ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.

（1）求sinCsinA的值;

（2）若cosB=14，b=2 ，求△ABC的面积.

分析 （1）由正弦定理边化角整理可得

sinA+B=2sinB+C，化简即得答案.（2）由（1）知ca=sinCsinA=2，结合题意由余弦定理可解得a=1 ，sinB=154，从而计算出面积.

解析 （1）因为cosA-2cosCcosB=2c-ab，

所以b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB.

所以bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC.

由射影定理，得c=2a.

所以sinCsinA=ca=2.

（2）由（1）知c=2a，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB.

即22=a2+4a2-2a×2a×14.

解得a=1.所以c=2.

因为cosB=14，所以sinB=154.

故△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2×154=154.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，在解答第（1）小题时，巧妙应用射影定理，简化了解题过程，属于中档题.

变式练习3 （2013年全国Ⅱ卷理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求B;

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值.

4 消角轉化

三角形中的三角恒等变换，一般都要用到三角形内角和定理，利用它可以减少角的个数，以达到化简、求值及证明的目的.常用的结论有：A+B=π-C，A+B2=π2-C2，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2等.

例7 （2017年全国Ⅰ卷文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，则C=（  ）.

A.π12  B.π6  C.π4  D.π3

分析 由正弦定理找出sinA与sinC的关系，将已知等式转换为只含角A与C的等式，先求出A，再求C.

解析 因为a=2，c=2，

所以由正弦定理，得sinA=2sinC.

又因为B=π-（A+C），

所以sinB+sinA（sinC-cosC）

=sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC

=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC

=（sinA+cosA）sinC=0.

又C为三角形的内角，故sinC≠0.

则sinA+cosA=0，即tanA=-1.

又A∈（0，π），所以A=3π4.

从而sinC=12sinA=12×22=12.

由A=3π4知，C为锐角，故C=π6.故选B.

点评 本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查逻辑推理和数学运算等核心素养.解题关键是利用三角形内角和定理，将已知等式转换为只含角A与C的等式，属于中档题.

例8 （2020年浙江卷18）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA-3a=0.

（1）求角B的大小;

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围.

分析 （1）利用正弦定理，将2bsinA-3a=0中的边化为角，可求sinB的值，从而求出角B的大小;（2）利用三角形内角和定理及已求出的角B的大小，将cosA+cosB+cosC转化成其中一个角的形式，再利用三角变换求出取值范围.

解析 （1）由2bsinA=3a，结合正弦定理，得

2sinBsinA=3sinA.

所以sinB=32.

由题意，得B=π3.

（2）由（1）及A+B+C=π，得C=2π3-A.

由△ABC是锐角三角形，得A∈（π6，π2）.

故cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A

=cosA-12cosA+32sinA+12

=32sinA+12cosA+12

=sinA+π6+12∈3+12，32.

故cosA+cosB+cosC的取值范围是3+12，32.

点评 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等，考查运算求解能力和转化与化归能力，解题关键是利用内角和定理，将cosA+cosB+cosC转化为角A的三角函数的形式，属于中档题.

变式练习4 （2018年北京卷文14）若△ABC的面积为34（a2+c2-b2），且∠C为钝角，则∠B=;ca的取值范围是.

5 整体代换

整体代换就是根据所求式子的结构特征，将含某些未知量的式子看作一个整体，建立已知与所求之间的关系，进而解决问题.采用这种策略解题，往往能收到化繁为简、化难为易的效果.

例9 （2018年全国Ⅰ卷文16）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为.

分析 由正弦定理结合条件bsinC+csinB=4asinBsinC，求得sinA，由余弦定理结合条件b2+c2-a2=8，可求得△ABC的面积.

解析 因为bsinC+csinB=4asinBsinC，

所以由正弦定理，得

sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.

又因为sinBsinC>0，所以sinA=12.

因为b2+c2-a2=8，

所以由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=82bc=4bc>0.

所以4bc=32，bc=833.

所以△ABC的面积

S=12bcsinA=12×833×12=233.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，解题关键是根据题设条件，列出关于bc的方程，再整体求出bc，属于中档题.

例10 （2020年全国Ⅱ卷理17）△ABC中，

sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;

（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.

分析 （1）由正弦定理结合条件sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC化角為边，再根据余弦定理求出cosA的值，进而求得A;（2）由（1）可得AC+AB2-AC·AB=9，利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，进而得到结果.

解析 （1）由已知和正弦定理，得

BC2-AC2-AB2=AC·AB.

所以cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=-12.

因为A∈0，π，所以A=2π3.

（2）由BC=3及（1），得9=BC2=AC2+AB2+AC·AB=AC+AB2-AC·AB.

因为AC·AB≤AC+AB22，

所以9=AC+AB2-AC·AB

≥AC+AB2-AC+AB22=34AC+AB2.

所以AC+AB≤23.

所以△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+23，当且仅当AC=AB=3时，等号成立.

所以△ABC周长的最大值为3+23.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查逻辑推理和数学运算等核心素养. 解题关键是根据题设条件，列出关于边AB和AC的方程后，结合基本不等式，转化为关于AB+AC的不等式，进而求出△ABC周长的最大值，属于中档题.

变式练习5 （2016年全国Ⅰ卷理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求角C;

（2）若c=7，S△ABC=332，求△ABC的周长.

6 数形结合

数形结合是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质，研究三角形边、角之间的关系，以寻求三角形问题的解决途径.充分挖掘几何图形隐含的性质是解题的关键，必要时可适当添加辅助线.

例11 （2015年全国Ⅰ卷理16）如图2，在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

图2

分析 先找出线段DA的两个极限位置CF和点E，得到AB的两个极限值FB和EB，再求解即可.

解析 延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥DA交AB于点F，则FB<AB<EB.

在等腰△BCF中，FC=BC=2，∠BCF=30°.

所以FB=FC2+BC2-2×FC×BCcos∠BCF=22+22-2×2×2cos30°=6-2.

又在等腰△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，

所以EB=BCsin∠Csin∠E=2sin75°sin30°=2×6+2412

=6+2.

所以6-2<AB<6+2.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理和极限思想，渗透直观想象和数学运算等核心素养，解题关键是构造△BCE，找出线段DA的两个极限位置CF和点E，属于中档题.

例12 （2014年全国Ⅰ卷理16）已知a，b，c 分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为.

分析 先用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出A，最后画出△ABC及其外接圆，结合图形求解.

解析 由a=2和

（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，

得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC.

根据正弦定理，得

（a+b）（a-b）=（c-b）c.

即b2+c2-a2=bc.

所以cosA=b2+c2-a22bc=12，故A=60°.

又根据正弦定理，得△ABC外接圆⊙O的直径2R=asinA=2sin60°=433，如图3所示.

图3

故点A可在优弧BmC上运动（不含端点B，C）.

当AO⊥BC时，△ABC的高最大，面积也最大，这时△ABC恰为正三角形，其面积为34×22=3.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，渗透逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，解题关键是巧妙利用正弦定理和2=a进行代换，将已知条件转化为边的关系式，进而求出A，再借助△ABC的外接圆，求出△ABC面积的最大值，属于中档题.

变式练习6 （2019年全国Ⅲ卷理18）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

参考文献：

[1] 李金进.例谈解三角形问题中非齐次结构的难点突破[J].高中数学教与学，2021（01）：8-10.

[2] 刘海珍，刘秀萍.例谈数形结合法巧求三角形面积的范围[J].中学数学杂志，2020（05）：43-44.

[责任编辑：李 璟]