利用“等和线”解题

钟建新

摘 要：本文介绍利用“等和线”求解向量线性表示中的系数和问题，方法直观、简洁、高效.

关键词：等和线;基底;系数和;构造

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0067-02

平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP=

λOA+μOB（λ，μ∈R），若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ+μ=k（定值），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线（如图1）.

图1

当等和线恰为直线AB时，k=1;

当等和线在点O和直线AB之间时，k∈（0，1）;

当直线AB在点O和等和线之间时，k∈（1，+∞）;

当等和线过点O时，k=0;

当等和线与直线AB在点O的两侧时，则k<0.

利用等和线求解数值k（k>0）的基本步骤如下：

①连接AB，构造直线AB;

②连接（有时需延长）OP交直线AB于点Q，则k=OPOQ;

③求OPOQ的取值范围，在动点P的轨迹内分别作l1∥AB，l2∥AB，且l1，l2分别为距离点O最近与最远的两条平行线，下面记d，d1，d2分别为点O到直线AB，l1，l2的距离，记d′为点O到等和线的距离.又由平面几何知识可得OPOQ=

d′d，因为d1<d′<d2，所以k∈d1d，d2d.

例1 （2009安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

图2

解析 如图2所示，点O到直线AB距离d=12，记l为距离点O最远的与直线AB平行的平行线，OC1⊥l，记d′为点O到直线l距离，则d′=1.

所以d′d=2.

所以由等和线结论得x+y的最大值是2.

例2 在ABCD中，E，F分别为CD和BC的中点，若AB=xAE+yAF（x，y∈R），则x+y=.

图3

解析 如图3所示，连接EF，延长AB交直线EF于点B′. 因为E，F为中点，所以由等和线结论，得x+y=ABAB′=23.

变式 在ABCD中，E，F分别为CD和BC的中点，若AB=xAE+12yAF（x，y∈R），则x+y=.

解析 因为AB=xAE+12yAF=xAE+y（12AF），记线段AF中点为G，连接EG交边AB于点B′，则由平面幾何知识可得点B′为边AB的中点.

由等和线结论，得x+y=ABAB′=21=2.

评注 若待求和的两个数不全为题设中基底的两系数，此时可构造一组新基底，使待求和的两个数分别为新基底的两系数.

例3 正方形ABCD中，E为边AB中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧BD上的一动点.设AC=xDE+yAP，则x+y的取值范围为.

图4

解析 如图4所示，过点A作AE′=DE，连接PE′交AC（延长线）于点C′，

则AC=xDE+yAP=xAE′+yAP.

故x+y=ACAC′.

当点P运动到点D时，因为四边形ADEE′为平行四边形，再结合三角形相似，得到AMMC=14.

所以ACAC′=ACAM=5.

即此时x+y取到最大值5.

当点P运动到点B时，连接CE，易证得CE∥BE′.

因为E为边AB中点，

所以C为边AN中点.

所以ACAC′=ACAN=12.

即此时x+y取到最小值12.

综上，x+y的取值范围为12，5.

评注 等和线所描述的结论要求表达式中的三个向量共起点，若起点不一致，则可考虑利用向量的减法法则或者平移相关向量去统一它们的起点.

G·波利亚在《怎样解题》指出：“对于一个题目，首先要熟悉题目，我应该从哪里开始？我能做什么？这样做我能得到什么？然后深入了解题目”.只要我们对相关问题进行全面深入的研究，就会发现其解法还是有迹可循.

参考文献：

[1]

G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[责任编辑：李 璟]