归纳演绎联手 能力素养齐升

陆建

[摘  要] 文章以二项式定理教学为例，从情境导入，自然生成定理;理性证明，深度理解定理;多元建构，丰富定理认知;正逆互用，稳固知识结构;总结反思，升华学习认识等五个环节入手，帮助学生建立CPFS结构，并提出了两点教学建议.

[关键词] CPFS结构;数学命题教学;归纳;演绎;推理论证

南师大喻平教授在文[1]中提出了CPFS结构理论，个体CPFS结构是指学生头脑中的知识网络，是数学学习中学生特有的认知结构. 它包含下列四个概念：概念域（Concept field），概念系（Concept system），命题域（Proposition field），命题系（Proposition system）. CPFS是取概念、命题、域、系四个关系单词的首字母组成的一个简单标记，实际上CPFS结构是由这四者相互交织、共同作用而形成的认知结构. 相关研究指出，CPFS结构对学生的数学理解、学习、迁移、探究问题、解决问题的能力都会产生直接的正面影响[1].

依据CPFS结构的相关理论，对于数学公式、定理、法则等数学命题的教学，我们应该努力帮助学生建构命题域和命题系，并加以完善，促进关于数学命题知识网络的形成. 二项式定理教学属于数学命题教学，应在CPFS结构理论指导下，突出定理的获得、证明、应用的教学，注重推理论证能力的培养，多角度揭示定理的结构特征，帮助学生形成命题域和命题系、完善CPFS结构. 下面给出二项式定理的教学设计和反思，敬请批评指正.

二项式定理的教学设计

1. 情境导入，自然生成定理

在学习二项式定理之前，学生已经掌握了（a+b）2，（a+b）3，甚至（a+b）4的展开式，并且学习了两个计数原理和排列组合知识，这些内容是二项式定理知识的生长点. 因此教学应以上述已有知识为固着点，让学生通过观察、比较、分析、归纳、猜想等思维活动，充分经历二项式定理的形成过程，聚焦知识联系，积累活动经验，为形成命题域与命题系建立认知基础.

问题1：今天是星期三，9天后是星期几？92天后呢？93天后呢？9100天后呢？

活动预设：学生不难得到，只要将经过的天数除以7，看所得的余数，就可以判断出是星期几了. 但对9100，因无法计算出具体值，学生陷入困惑，产生认知冲突. 此时教师启发学生，可把9100转化成与7有关的式子，即9100=（7+2）100，学生应该能够想到（7+2）100展开后，很多项与7有关，但具体到哪些项含因数7，哪些不含，还不很清楚. 接着教师顺势指出，要想搞清楚（7+2）100展开式的具体情况，必须要用到二项式定理，这就是我们今天要学习的内容. 同时教师简要介绍：二项式定理是牛顿在1664年提出的，也叫牛顿二项式定理，它是关于两個数和的正整数方幂的等式，即是关于（a + b）n（n∈N+）展开式的等式.

设计意图：利用生活中的实例，创设情境，引起悬念，激发认知冲突，产生研究二项式定理的必要性. 同时开门见山、直奔主题，自然地揭示课题，进入下一阶段的学习研究.

问题2：二项式定理研究的是（a+b）n（n∈N+）的展开式，根据以往的经验，你觉得可以怎样研究？

活动预设：学生应该能想到从n的特殊值（n=2，3，4）入手，观察、分析展开式的共同特点，遵循从特殊到一般、从具体到抽象的思维策略，猜想（a+b）n展开式的大致构成.

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

问题3：上面三个展开式有什么共同的特点？

活动预设：学生先独立思考，再交流想法，教师启发引导. 这三个等式的左边都是相同因式自乘的二项式，其展开式一定有共同的规律，那么从哪里寻找呢？因为多项式乘多项式的结果是多项式，所以分析展开式的特点，应着眼于项、项数、次数、系数等多项式概念的要素进行归纳概括，可以得到下列四个共同特点：从“项数”看，展开式的项数等于幂指数加1;从“次数”看，每一项的次数都等于幂指数;从“排列规律”看，展开式按字母a降幂排列且按字母b升幂排列;从“系数”看，每一项的系数都可以用组合数表示. 对于最后两点，学生比较难发现，需要教师适度启发帮助，才能完成归纳发现的任务.

问题4：你能猜想，并写出（a+b）n（n∈N+）的展开式吗？

有了前面的探究铺垫，学生经过合理猜想、尝试修正，可以得到下列等式：

（a+b）n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Cabn-1+Cbn

设计意图：命题学习一般有两种方式，一种方式是命题的形成，即学习者通过考察命题的特例，进行分析归纳，逐步抽象概括出新命题;另一种是命题的同化，即学习者直接认识要学习的新命题，同时改组和加工原有的认知结构，适应和接纳新命题，从而形成新的认知结构. 二项式定理的获得，采取第一种方式更符合学生的认知现实，通过问题2、问题3，引导学生考察特例，分析共同本质特征，再猜想二项展开式，从而追溯命题生成的过程，使二项式定理自然地产生. 这样的学习过程符合学生的认知规律，渗透特殊和一般的数学思想，发展了数学抽象的核心素养.

2. 理性证明，深度理解定理

二项式定理的生成是从特殊情况入手，通过归纳猜想获得的，必须经过严格的证明，才能肯定其正确性. 教学中，我们要挖掘与之相关联的知识，发挥理性思维的力量，多角度探究证明的方法，促进学生深度理解定理，形成和完善相关的命题域和命题系.

问题5：在你所猜想的（a+b）n的展开式中，为什么系数会是组合数？它和组合知识有什么样的联系？

这个问题认知难度比较大，学生解决起来有困难，于是教师可引导学生思考（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展开式的构成特点，并进行下列追问：

追问1：在（a+b）4展开式中，若不合并同类项，则有多少项？为什么？

如果学生感到困难，可由（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2入手，启发学生思考（a+b）2的项是怎么形成的，引导学生发现：要完成“展开（a+b）4”这件事，可按下列步骤来完成，即分别从（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的每个括号中各取一个字母相乘，再将所得结果相加，根据分步计数原理，展开式共有24=16项.

追问2：展开式各项的次数是多少？

展开式各项的次数为4.

追问3：合并同类项后，展开式有哪些不同的项？它们是怎样形成的？

追问4：合并同类项后，各项系数是多少？

展开式含有a4，a3b，a2b2，ab3，b4的项，其中4个括号中每个都不取b的情况有C种，所以a4系数为C;恰有1个取b的情况有C种，所以a3b的系数为C;恰有2个取b的情况有C种，所以a2b2的系数为C;恰有3个取b的情况有C种，所以ab3的系数为C;都取b的情况有C种，所以b4的系数是C.

于是，经过合并同类项后必有（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4，至此学生明白了，组合数C（r=0，1，2，3，4）原来是从4个括号中选取r个b相乘的方法数.

问题6：根据刚才的讨论，你能证明你的猜想吗？

因为在问题5中，学生已对（a+b）4的展开式中项的构成、系数的特点进行了充分的思考和讨论，所以能够较顺利地从“组合”的角度进行二项式定理的证明，接着教师进行追问：

追问：还有其他的方法证明二项式定理吗？

活动预设：让学生先独立思考，再小组合作探究，交流展示各组的成果. 由于这是一个与正整数有关的命题，学生不难想到，可以用数学归纳法来证明，但由假设n=k时命题成立过渡到证明n=k+1时命题成立，学生肯定会遇到困难，教师要出手帮助，特别是在n=k与n=k+1时等式两边的联系与比较，以及如何利用归纳假设上，要做到启发到位、引导得体.

事实上，假设当n=k时，有

（a+b）k=Cak+Cak-1b+Cak-2b2+…+Cabk-1+Cbk，那么，当n=k+1时，（a+b）k+1=（a+b）k·（a+b）=（Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Ca2bk-1+Cabk）+（Cakb+Cak-1b2+Cak-2b3+…+Cabk+Cbk+1）

=Cak+1+（C+C）akb+（C+C）·ak-1b2+…+（C+C）abk+Cbk+1

=Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Cabk+Cbk+1，定理得证.

设计意图：二项式定理的证明比较难，也很抽象，但却是发展学生逻辑推理素养、提升推理论证能力的好素材，教学中应高度重视，不可轻轻带过. 本环节，通过问题5，让学生思考展开式中的系数为何是组合数？这个组合数是哪里来的？有效地攻克了难关，明确了论证方向，为学生顺利获证定理搭建了“脚手架”. 解决问题6时，采用学生自主探究、合作交流，教师启发引导相结合的学习方式，借助师生的群体智慧、合作攻关，有效地突破了式子抽象、运算复杂的难点.

3. 多元建构，丰富定理认知

在经过比较、归纳、猜想、论证等一系列思维活动后，定理初见雏形，学生已将定理纳入认知结构中. 但对定理的认识仍处于模糊、狭窄的状态，此时需要对定理进行概念建构、特点分析、适度变式，扩展业已形成的命题域，丰富定理的认知.

首先，建构二项式定理及其相关概念：

一般地，对于n∈N+有（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn，把这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作（a+b）n的二项展开式;把Can-rbr叫作二项展开式的第r+1项，也叫作通項，记作T，即T=Can-rbr;把其中的组合数C（r=0，1，2，…，n）叫作第r+1项的二项式系数.

然后，提出下列问题：

问题7：二项展开式有什么特点？

活动预设：在问题3中已解决过类似的问题，受已有经验的启发，学生应该能轻松地从项数、次数、系数、排列规律等方面予以总结.

问题8：试尝试写出（a-b）n，（1+x）n，（1-x）n的展开式.

活动预设：在（a+b）n的展开式中，以-b代换b;再令a=1，且以x或-x代换b就可以写出相应的展开式. 由于学生初次接触二项式定理，虽然对变量代换的思想和赋值法并不陌生，但在写相应的展开式时，可能不够熟练，速度也不快.

设计意图：二项式定理整体结构复杂、形式抽象，但又具明显的认知特点，只要抓住了通项及其构成，认识二项展开式即可做到“小中见大”“管中窥豹”. 因此界定通项及二项式系数等概念，有利于学生化整体为局部，从细节方面理解二项式定理，从而减轻认知负担. 深刻理解二项展开式的特点是写出二项展开式和识别一个式子是否是二项展开式的关键，所以在问题3的基础上设计了问题7，进行归纳推理、拓展推广. 问题8中的（a-b）n及（1±x）n的展开式在今后的学习中经常用到，必须熟练掌握，而其中蕴含的赋值法和变量代换思想更是重要的数学思想方法，不可偏废.

4. 正逆互用，稳固知识结构

通过前面三个环节的学习，学生已初步形成关于二项式定理的命题域和命题系，此时需围绕上述知识网络中的相关结点设计问题，强化二项式定理的应用，达到固化知识结构的目的. 常见的应用有：展开特定的二项式或识别二项展开式，以巩固二项式定理的结构特征;求二项展开式中的特定项，以巩固理解通项的概念;求二项展开式中的项、项的二项式系数、项的系数，以辨别易混的三个概念;求近似值或证明整除性问题，要求合理构造二项式，并分析展开式的特点等等.

问题9：利用二项式定理展开下列各式

设计意图：二项式定理的應用比较广泛，不可能在一节课内完成，因此本节课只安排上述2个问题，对二项式定理进行正用和逆用，帮助学生进一步掌握二项展开式的特点，巩固二项式定理的认知，问题比较简单，学生应该能独立获解.

5. 总结反思，升华学习认识

经过命题的获得、证明、应用等阶段后，学生对二项式定理的理解逐步提升，但是还处于初级阶段. 此时应进行学习过程的反思总结，对学习的知识内容进行回头望，感受不一样的理解，同时对数学活动经验进行抽象概括，并上升到数学思想方法和一般观念的层面，优化形成的认知图式，从而完善CPFS结构.

问题11：本节课学习了哪些知识内容？请你回忆并叙述.

问题12：回望今天的学习过程，你有什么体会？

活动预设：学生思考叙述，教师补充完善，形成下列共识：

从特殊到一般、化抽象为具体是认识数学对象、发现数学规律的常规方法;联系已有知识是认识、理解新的数学对象的基本途径;善于观察、善于分析、大胆猜想、小心求证是数学发现的有效手段.

设计意图：通过回顾学习的知识内容及方法策略，使学生能够重新审视当前的学习，站在更高的视角认识自己的学习过程，获得方法论的指导，形成更紧密的知识结构. 待到二项式定理应用教学结束后，再引导学生总结二项式定理的知识网络结构图（如图1），将相关知识点清晰地联系在一起，有利于把复杂的信息压缩成更细的信息单元，方便学习者记忆保持和迁移运用.

两点教学思考

1. 厚实学习过程，完善CPFS结构

在CPFS结构中，数学命题等知识点处于网络结点的位置，而结点之间的连线常包含重要的数学思想方法，知识与方法的复合就形成了关于命题的知识网络结构. 因此形成和完善命题域和命题系的基本途径是增加命题结点的数量和丰富命题之间的方法连线，而要做到“增加结点，丰富连线”，必须厚实命题的学习过程，使定理的探究发现有厚度、拓展证明有宽度、思维训练有深度，切实改变过去定理教学“重结果轻过程”“定理教学草草收场，习题训练勿忙登场”的状况，使学生充分经历厚重而扎实的定理探究过程，重走定理发现之路，感受数学家当初的困惑，再现定理背后火热的思考. 本节课先从（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式入手，分析比较、概括归纳共同结构特征，猜想（a+b）n的展开式，利用组合知识和数学归纳法证明二项式定理;再利用变量代换法和赋值法书写（1±x）n与（a-b）n的展开式;最后通过介绍相关概念，分析二项展开式特征，正用、逆用二项式定理，进一步完善已形成的定理体系，使学生对定理的认识不断扩容、逐渐丰满，有效地展现了知识的关联性、整体性、逻辑性. 在这个过程中，学生的CPFS结构不断生长、逐渐完善.

2. 发挥推理力量，优化核心素养

章建跃博士指出：“推理是数学的命根子、运算是数学的童子功”，推理论证能力是学生理解数学、运用数学、学好数学的关键能力. 因此命题教学中，要把培养学生推理论证能力、发展逻辑推理核心素养作为主要任务，通过研究命题的来龙去脉，使学生学会推理的基本套路，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和理性、严谨的思辨能力. 本节课中，我们首先运用归纳推理，从特殊到一般，猜想出（a+b）n的展开式;再从一般到特殊，运用演绎推理得到（1±x）n与（a-b）n的展开式;而运用组合定义和数学归纳法证明二项式定理，彰显了数学逻辑演绎的力量和严谨理性的精神. 在二项式定理的学习过程中，归纳推理和演绎推理联手作用，推动思维活动的展开，使学生经历了深刻的思维训练和完美的头脑风暴，推理论证能力和数学核心素养得到了实实在在的发展和提升.

参考文献：

[1]  喻平. 数学学习心理的CPFS结构理论[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.