学科育人视角下的“学材”如何再建构

石慧英

[摘  要] 党的十八大报告首次把“立德树人”明确为教育的根本任务，语境宏阔、高屋建瓴.要全面理解“立德树人”的深刻内涵，落实这一根本任务，就要不断叩问教育的本质，追问教育的价值，从“学科教学走向学科育人”. “自学·议论·引导”教学法的创始人、全国著名特级教师李庾南提出了“三学”的课堂操作规则，并将“学材再建构”置于“三学”之首，为我们初中数学学科育人提供了极好的范式.

[关键词] 学科育人;学材再建构;初中数学;二元一次方程组

作为教育任务的数学，其首要特征是什么？李庾南老师认为应该是“为学生准备的数学”，认为课程、教材、教学与评价构成了数学教育的全过程，而其中教材则是数学教育的核心载体. 从某种意义上讲，“教什么可能比怎么教更重要”，故而只有先从教学内容的角度进行变革，整合具有豐富育人价值的资源，才可能有后续的教学形式（也就是方法与路径）的变革，才可能让学科育人落地、生根、开花并结果. 不难发现，学科育人于“学材再建构”而言是出发点，也是落脚点，而“学材再建构”则可以成为学科育人的关键着力点.

下面我们就以李庾南老师执教的“二元一次方程组”为例，谈谈在学科育人视角下的“学材”应该如何再建构.

1. 基于学生熟悉的问题情境再建构，唤醒抽象意识，培育学生用数学的眼光观察现实世界的素养

数学的眼光就是抽象，是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程. 此过程应以学生熟悉的典型实例为载体，引导学生观察后抽象与概括，从而发现研究对象的本质属性，这是一个将学生的思维打开的过程.

现实生活中存在着大量问题涉及多个未知数，其中很多问题中的数量关系是一次的，为学习二元一次方程组提供了丰富的现实素材. 选择怎样的问题情境作为研究的载体会更利于学生发现其中的数量关系并抽象出二元一次方程（组）的模型呢？教材选用了本章的引例——篮球赛中的胜负场数问题;而李庾南老师选择了课堂操作：每个学生都用30 cm长的细绳打结后绷成一个长方形（打结部分长度不计），再相互比较所形成的长方形的形状和大小. 发现绷成的长方形的周长虽然相同，但各个长方形的长和宽不全相同;还发现如果长方形的长变大，宽就变小了，但是长与宽的和总是15 cm. 这样的亲自操作与零距离观察比课本中的问题情境可能更容易激发学生的探究欲望，也更利于学生将数学问题的本质从现实情境中剥离出来，抽象出二元一次方程的模型. 同时，还让学生在现场“看”到了二元一次方程的解的“不定性”与“相关性”. 后续，又通过增加条件“若要使绷成的长方形的长比宽多3 cm”提出问题：“此时长和宽必须同时满足什么条件？”使得学生在更新的问题情境中发现两个未知数必须同时满足两个不同的相等关系，进而建立二元一次方程组的模型，并充分认识到这里的两个未知数虽然出现在两个不同的方程中，但它们表示的是同一个数量，这种“不变元”的思想也正是接下来研究“消元”的前提.

这样的“学材再建构”源于实际，又高于实际，学生不仅熟悉，而且与新知的联系又很紧密，易于调动学生探究的积极性，有利于学生对所要研究的问题本质的抽象，从而培育学生用数学的眼光观察现实世界，并且能更快“看得透”.

2. 基于知识的相互关联再建构，展开逻辑推理，培育学生用数学的思维思考现实世界的素养

数学的思维就是推理. 可由于编写的特殊性，往往教材直接呈现出来的多是学科知识，如现成的结论以及形成结论的说明，却省略了其中内涵丰富的学科思维的过程，而学科知识本来就是运用思维方法合乎逻辑地推导出来的. 如若我们在教学中再直接地“教教材”，那么势必造成结论“明示”，或方法“暗示”，或知识“散装”;势必会让学生误以为即使不经曲折的、反复的思维，也能径直获得知识. 学生定然难以感受到用学科思维获得学科知识的逻辑的力量，这种不经思维而获得的知识很难成为“真知”. 所以李庾南老师提出了“学材再建构”，让学生在结构中学习，让学生的逻辑推理能力在结构化的学习中得到提升.

李庾南老师认为，二元一次方程组的解法的探究过程其实也是一个代数的推理过程，怎样建构“学材”，才能更好地展开这种推理，让学生对最终的“消元”求解不仅能合乎情理地“想得到”，而且能步步有据地“想得通”呢？她在近年执教此课时进行了新的“再建构”：选用两数和差问题的算术模型引入课题，建立二元一次方程组后，首先让学生通过观察两个方程的公共解获得方程组的解，此时学生已然获知推理的结论，剩下要做的便是获得结论的过程以及这个过程的依据了. 接着李庾南老师追问：“你知道这是哪两个数吗？可以依据我们学过的什么知识来求得？”引导学生调用旧知，凭借小学的两数和差问题的解决经验产生的直觉，将遇到的新问题转化成已经解决的问题，从而获得了“加减消元”的解决思路，而后又通过追问“为什么可以这样做”，让学生明白其依据是等式的性质，从而证明了这样做的合理性.

在探究二元一次方程的解的过程中，李庾南老师问道：“如何求二元一次方程x+y=8的解？”引领学生发现“可用含一个未知数的式子来表示另一个未知数”，这样的经验又为接下来的“代入消元”提供了思路，让学生发现“求解二元一次方程组”归根结底是转化成已学的“求解一元一次方程”，其基本思想就是“消元”. 二元一次方程组如此，类似的，以后遇到三元一次方程组亦是如此……学生明白了解决问题的目标“是什么”，达到目标的路径需要“怎么做”，更懂得了“为什么可以这么做”. 这样的代数推理，看起来虽然没有用“因为”“所以”的形式表示，但伴随着“多元问题”的解决，学生收获的是从学科知识到学科思想方法的“全盘皆活”，收获的是用数学思维思考现实世界且“想得通”的能力.

3. 基于探究的完整过程再建构，感受数学建模，培育学生用数学的语言表达现实世界的素养

数学的语言就是建模. 数学建模思想的形成是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 以学习二元一次方程组为例，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，发现和提出问题，是其建模的起点;用二元一次方程（组）表示数学问题中的数量关系，是其建模的重要环节;求出结果并讨论结果的意义，是其建模的目的. 教材从篮球联赛中的问题入手后，引导学生直接设两个未知数表示问题中的两个等量关系，得到了两个方程;然后以这两个方程为例，让学生观察其特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念;最后用两节内容分别去讨论如何“消元”求二元一次方程组的解. 这样的处理方法对于所研究的模型“二元一次方程组”的求解及其数学特性的感知显然要滞后一些，李庾南老师对这部分的教材内容就“建模”进行了如下的“再建构”：

首先是从现实问题抽象出“二元一次方程”再到“二元一次方程组”，分别建模.

先由问题“已知两数的和等于8，求这两个数”入手，让学生用式子表示这两个数的数量关系，建立了二元一次方程，并归纳出二元一次方程的求解方法. 具体方法是“把关于x，y的二元一次方程看作关于y（或关于x）的一元一次方程，把x（或y）看作已知数，给定一个x（或y）的值，再求相应的y（或x）的值，这一对x，y的值就是二元一次方程的一个解”[1]. 接着在学生初步认识二元一次方程的基础上引入第二个问题：“已知两数的差等于2，求这两个数.”学生可以类比第一个问题尝试建模. 最后给出第三个问题：“已知两数的和等于8，差等于2，求这两个数.”基于前面的研究，二元一次方程组的模型此时便呼之欲出了.

其次在建模后，对“二元一次方程组”的求解策略继续进行自主探究.

学生通过观察，发现组成方程组的两个方程的公共解是二元一次方程组的解，但要列举出每个方程的解来获得公共解很麻烦，于是迁移到小学算术中“和、差”问题的解题经验，发现两个方程直接相加（或相减）的消元法，然后在此基礎上进一步探究其他的消元法. 如此由“一元”向“二元”发展，建模后又从“二元”向“一元”转化，经历了建模的完整过程，感知到二元一次方程组模型与其他知识的联系.

二元一次方程组作为方程组知识中最基本的模型，借助于这样的“再建构”，将模型的产生融合于问题的解决过程中，让学生在一节课中经历了“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展模型”的完整过程，有利于学生更好地了解一般的一次方程组，提高对“多元问题”的认识，感受模型的价值与内涵，加深对模型的理解;同时对二元一次方程和二元一次方程组的分开建模又可以让学生尝试自我建模，用数学语言表达现实世界，形成“说得出”的能力.

教师是“再建构学材”的主体，但不是唯一的主体，学生同样可以通过努力参与“再建构”，或者说教师要千方百计地创造条件，促成学生也能成为“再建构”的主体;“再建构学材”不是我们的目标，我们的目标是通过“再建构的学材”教“为学生准备的数学”，通过“再建构的学材”育人，育成具有学科核心素养的人.

参考文献：

[1]李庾南. 自学·议论·引导教学论[M].  北京：人民教育出版社，2013.