时间偏好不一致委托代理问题的均衡合约研究

李超,蒋健

(南华大学 经济管理与法学学院,湖南 衡阳 421001)

1 研究背景

经济人的时间偏好分析在跨期决策问题研究中具有的重要作用,将时间偏好引入委托代理问题中,为代理人设计一份最优激励合约具有重要的现实意义。在处理时间偏好问题时,一般的方法是假设经济人是时间偏好一致的。例如:萨缪尔森(Sa muelson)[1]提出的指数折现效用模型(DU-model)假设折现率是常数,且不随时间变化,这意味着目前人们所做的最优选择也将是未来任何时候的最优选择。而施特罗茨(Str otz)[2]对此观点提出了质疑,认为人们在不同的时间点做决定时可能会不一致。而且不少学者通过时间偏好的实验证明:时间一致性的标准假设(一个恒定的贴现率)是不现实的[3-4]。进一步,李彦昭等[5]发现,当人们进行短期权衡时,他们比进行长期权衡更没有耐心,这表明所揭示的贴现率会随着时间的推移而降低,从而产生双曲贴现函数。

离散时间条件下,双曲贴现函数得到了广泛的应用,其中卡拉凯(Karacay)等[6]将其引入多阶段时间偏好不一致投资模型中,用于处理离散情况下的委托代理问题,得到与代理人偏好相关的最优合约的主要结论。然而,只有少数研究考虑了连续时间下的不一致性问题,因为在非常数贴现率情况下寻找闭环解要复杂得多。事实上,标准最优控制方法在这种情况下是不适用的,因为它导致策略不一致[7-9]。

对于时间偏好不一致下的最优控制问题,主要难点是在时间偏好不一致的情况下如何寻找最优策略。一种常用的方法是将不同时间点的决策者选择变为不同时间点的“未来自我”的非合作博弈。这个博弈问题的时间一致性解是当前自我与未来自我精炼纳什均衡之间的子博弈精炼。例如:在离散时间框架下,莱布森(Laibson)[10]用这种方法讨论了准双曲贴现下的消费-储蓄问题。在连续时间框架下,卡普(Kar p)[11]采用动态规划方法求解了具有无限恒定折现率的子博弈精炼纳什均衡。马林·索拉诺(Marín-Solano)和纳瓦斯(Navas)[12-13]也采用子博弈完美纳什均衡方法研究了时间偏好不一致的投资消费问题。而与Laibson[10]和Kar p[11]所研究的方法不同,埃克兰德(Ekeland)等[14-16]采用马尔可夫子博弈完美纳什均衡方法处理投资和消费问题,得到成熟决策者的时间一致性策略。

从以上研究来看,很多学者关于时间偏好不一致的最优控制问题的研究得到了很多重要的结论与方法,但较少有学者关注连续时间框架下的时间偏好不一致委托代理问题,主要原因是连续时间委托代理问题的求解方法更为复杂。

本文中,我们基于茨维塔尼奇(Cvitani)等[17-18]所构建的委托代理模型,在连续时间的动态框架下,考虑多个代理人情形,引入委托人和代理人的时间偏好不一致因素,采用鞅方法和随机最优控制理论,求解具有时间不一致的最优激励合约问题。

2 模型设定

在道德风险下,委托人可以观察到自己的项目收益过程Y,但却不能观测到代理人的努力 水平u和不确定性冲击σ,即委托人无法区分劳动和冲击对风险项目收益的影响。因此,若委托人希望代理人付出较高的努力(或目标努力),那么委托人应该设计合适激励合约,否则代理人可能偏离目标努力。

我们假设代理人没有其他收入,他的消费即他的薪酬收入C。此外,我们假设代理人的薪酬为两个部分,一个是连续型支付ct,另一个是终止时刻支付CT。为了得到最优合约的显式解,我们假设委托人和代理人效用函数均为指数效用函数,即U(x)＝-e-ρx。

2．1 产出过程

在初始时刻前,一个委托人拥有N≥1个不同的风险项目(生产或投资项目),委托人需要雇佣N个代理人来管理这些风险项目。对于每个代理人来说,如果被雇佣了,则需要提供一定的努力。为了更好地描述每个代理人的努力对项目收益的影响,我们先给出一些记号。

首先我们假设初始时刻为0 时刻,合约终止时刻为T＞0。给定概率空间 (Ω,F,P),(t∈[0,T],上标T表示转置)是定义在概率空间上的N维布朗运动。Bt的每个分量都会产生一个与风险项目有关的噪声。记F＝(Ft)t∈[0,T]是Bt生成的滤波。接下来,我们来定义所谓的产出过程Yt(生产过程或投资过程),随时间的推移产出过程演化如下:

当代理人都与委托人签订合约后,每个代理人都管理一个生产(投资)项目,代理人的努力会影响其管理的项目的收益,ui(i＝1,2,…,N)表示代理人i为其管理的项目所提供的努力水平。记参数ai表示代理人i的生产率(或投资漂移率),生产率矩阵。代理人将从产出过程中得到连续性支付,委托人可以从每个投资项目过程中得到一个分红。

通过代理人所提供努力来改变委托人原有产出过程的漂移项,即,对于每个i＝1,2,…,N,所有的代理人将共同改变Bt的概率测度,从而将Yt的概率测度从P到Pui,我们定义新的概率测度Pui如下:

根据吉尔萨诺夫(Girsanov)定理,在测度Pui下,

是一个布朗运动的向量。因此我们可以把式(1)重写为:

在t时刻,由所有代理人产生的产出总和为Y1t+…+YNt。

2．2 代理人的效用函数

给定一份合约{ct,CT}＝,对于代理人i,若接受合约,则他选择一个努力过程∈Ai(Ai表示努力策略集)来最大化自己的期望效用。记EPui表示在概率测度Pui下的期望算子。我们假设代理人的效用函数是指数效用函数,即对于代理人i的效用函数如下:

2．3 委托人的效用函数

我们定义委托人的期望效用如下:

这里,我们采用的是线性可加的函数来表示委托人的期望效用,其中,为委托人的贴现函数。

(1)应该使得委托人的期望效用函数最大化,即:

(3)合适的合约应该对每个代理人都有激励作用,以便实现代理人的努力目标(激励相容约束),即对于i＝1,2,…,N,

3 时间偏好不一致下的道德风险问题

3．1 代理人问题

根据模型中代理人之间完全独立,且委托人的效用是线性可加的两个假设,我们可以将多代理模型分为N个单代理人模型,即我们可以将每个时间偏好不一致的代理人单个来考虑。

回顾委托人期望效用:

我们先考虑委托人对应于一个代理人时,如何在时间偏好不一致下求得最优激励合约,然后将每种情况下委托人的最优效用相加,则可以得到委托人面对多个时间偏好不一致的代理人时的总的最优效用。

这里,第一个等式是在测度Pui下取期望,而第二个等式是在测度P下取期望,则代理人将面对以下问题,给定,

使得:

显然,这是一个时间偏好不一致的最优控制问题,不能用传统的最大值原理求解其均衡解的。因此,我们参考Ekeland等[14]处理时间偏好不一致问题的方法,首先给出时间偏好一致均衡策略的严格数学定义。

定义1映射Ei:[0,T]×R→R称为时间偏好不一致代理人问题的一个均衡努力,如果对于t∈[0,T],

解决时间偏好不一致问题的基本想法为:时间偏好不一致的代理人随着时间的推移有不同的贴现率,在连续时间区间内,一个代理人可以当作很多个代理人的连续体。即,在每个时刻t,代理人与时刻τ(τ∈(t,t+ε])的自我(τ时刻的代理人)建立一个联盟,且试图在区间[t+ε,T]上达成一个均衡策略来最大化跨期期望效用。

根据委托人的理性假设以及库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件,不难得到代理人的参与约束是紧的。在均衡努力下,我们定义委托人在t时刻估计代理人i的总预期效用Qit如下:

这里,代理人的承诺效用qit可以当作从t时刻开始剩余合同中期望贴现效用,或qit可以认为是委托人期望代理人t时刻后收到的总效用,即:

根据伊藤(Ito)公式,我们有如下倒向随机微分方程(BSDE):

下面,我们将说明均衡努力选择不依赖于代理人的贴现函数hi(t)。

命题1假设存在一个映射Ei:[0,T]×R→R关于Γi连续可微的,且使得每个t∈[0,T],方程(4)存在一个解qit,γit满足:

证明:给定合约(cit,CiT),不失一般性,我们可以假设代理人终端时刻的效用为0。令{Γi,εt}t∈[0,T],表示与{ui,εt}t∈[0,T]相关的产出密度过程,则几乎处处有:

过程{Yi,εt}t∈[0,T]和{Zi,εt}t∈[0,T]由如下随机微分方程所定义:

分别表示产出密度过程{Γi,εt}t∈[0,T]的一阶和二阶变分。这里χDε(t)为符号函数。

根据雍(Yong)等[21]中的定理3．4．4,有如下展开式成立:

利用伴随过程{qit,γit}t∈[0,T]进行分部积分,则可以消掉上述方程中的Yi,εt和Zi,εt。

下面,我们引入一个汉密尔顿(Ha miltonian)函数:

由于密度过程的波动项中含有控制变量uit,因此我们需引入第二对伴随过程{Pit,Yit}t∈[0,T]如下:

根据Yong等[21]中引理3．4．5和引理3．4．6,我们有:

因此,

这里,

因此,Ei(t,Γi)是一个均衡努力策略的充分条件为:。关于取一阶导数,则有,从而命题得证。

命题2令是一个均衡控制对,则存在一对Ft适定过程满足方程(4)且。进一步,对于每个t∈[0,T],最优努力策略几乎处处满足:

因此,如果努力策略集Ai是一个凸集,均衡努力策略Ei(t,Γi)必须满足对于所有的uit∈Ai,都有≤0。

命题2给出代理人有均衡努力策略的必要条件。至此,我们已经给出了时间偏好不一致的代理人存在均衡努力策略的充分必要条件。

3．2 委托人问题

现在,我们考虑委托人问题。首先,回顾委托人的期望效用如下:

定义2考虑一对控制策略。任意选择一个控制策略,一个任意实数ε＞0,同时固定任意选择的起始点。我们定义控制策略如下:

如果

进一步,我们定义委托人面对代理人i时的均衡值函数为:

根据比约克(Björ k)和穆尔戈奇(Murgoci)[22]对具有均衡控制的广义哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)系统的定义和推导。同样地,我们有下面的推导来证明均衡控制策略的存在。

对于一个C1,2(二阶连续且可微)的函数f:[0,T]×R×R→R,定义一个算子Δf:

然后我们做出如下假设:

假设1假设偏微分方程:

关于[0,T]×R×R→R有一C1,2的解,且g(yi,qi)是如下函数之一:或。

根据上述的定义与假设,我们有如下关于均衡合约的充分条件:

命题3如果函数Vi满足假设1,即△Vi(t,yi,qi)＝0,Vi(t,xi,qi)＝g(yi,qi),有一个二阶连续可微的解。则定义2给出的控制策略是均衡控制策略,且函数Vi是相应的值函数。

证明:我们将分两步对命题3做出证明。第一步我们先给出一个引理,将证明值函数Vi满足一个偏微分方程。

引理1函数Vi是如下方程的解:

引理证明:假设存在两个函数υj,j＝1,2满足如下偏微分方程:

根据假设1,上述两个偏微分方程有C1,2的解。根据费曼- 卡茨(Fey man- Kac)公式υ1(t,yi,qi)＝E[-e-rPDi(t)]和υ2＝E[-e-rP(YT-CT)],得到:

上式分别对t,yi,qi求偏微分则可得到方程(6)。

第二步,根据均衡策略(Ei,Fi)的定义以及函数Vi关于变量(yi,qi)的凹性,方程(5)可以写为:

注意到,

根据勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理,我们有

和

一方面,

另一方面,

我们应用二维Ito公式,比较容易得到:

从而,我们就证明了命题3的结论。

3．3 均衡合约

这一小节中,根据前面小节分析得到的均衡合约和均衡努力的充分必要条件,我们来求得均衡合约的精确解。根据委托人的效用函数的形式以及,我们假设委托人的值函数有如下的形式:

因此,我们的问题是确定函数a(t)和b(t)的具体表达式。根据引理1,对于∀t∈[0,T],委托人的HJB方程为:

固定值函数中的参数,结合式(5),分别对Di,Fi,Ei求一阶导:

根据式(5),我们有:

解上述方程组,我们可以得到Ei关于b的表达式:

然后将式(11)代回到式(10)中就能得到函数l的隐式解。若σi＝0,则有,l＝b。

因此,均衡产出过程为:

随机微分方程(12)的解为:

因此,

比较方程(13)等式两边,我们即可得到函数a(t)和b(t)的表达式:

至此,我们就得到了时间偏好不一致的委托人的值函数的显示解。

命题4如果委托人是时间偏好一致,代理人是时间偏好不一致时,则委托人的HJB方程如下:

且值函数中的函数(t)和(t)满足如下的方程:

这里,

利用值函数关于(t,qi,yi)的偏导数以及式(7)～(9),经过简单的计算,我们就能得到命题4的结论。

通过对道德风险下的均衡合约的总结,发现不同类型决策者(委托人和代理人)的均衡策略的形式存在较强的相似性,如表1所示。

表1 道德风险下不同类型委托人和代理人的均衡策略

4 结论

本文在完全信息和道德风险结构下分析了具有时间不一致偏好的多代理人问题。通过对委托人的效用函数线性可加性以及代理人之间产出过程完全不相关的假设,我们将多个代理人分为了委托人与代理人一对一问题。

我们首先分析了委托人和代理人为时间偏好一致这种特殊情况,利用鞅表示定理和随机最优控制方法可以得到最优合约的解。委托人和代理人的贴现率不是一个常数导致了时间的不一致性,我们通过建立一个拓展的HJB方程和子博弈完美纳什均衡策略来解决这种困境。在此基础上,我们定义了一个均衡策略(均衡合约,均衡分红,均衡努力)来得到时间偏好一致的最大值原则。为了求解均衡合约,我们建立了一个非标准的HJB 方程,利用猜解法求得均衡策略的显式解。且我们证明了代理人的时间偏好不一致并不影响他所提供的努力。

本研究是在部分假设的基础上进行的,只考虑了完全信息和道德风险两种情况。更现实的情况会导致更复杂的情况,例如,具有私人储蓄的代理人、代理人的行为,相互影响,也就是说委托人不能将时间偏好不一致的代理人分开来求最优效用时该如何设计最优合约,或者代理人时间偏好的类型未知导致逆向选择等问题,是我们需继续研究的一个重要方向。