非紧空间上折现 Hamilton-Jacobi方程的粘性解

陈苏婷 李霞

摘要： 折现 Hamilton-Jacobi 方程（简称 H-J 方程）作为接触 H-J 方程的一种特殊形式 ， 对其研究具有深刻意义. 研究了折现 H-J 方程在底空间非紧时粘性解的一个表达式 u （x; t）. 就一个具体的折现 H-J 方程 ， 探讨了在底空间非紧且>0 时 ， 在不同初值情形下 ， u （x; t）在时的收敛情况.

关键词： Hamilton-Jacobi 方程;  接触系统;  粘性解

中图分类号： O193    文献标志码： A    DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.002

The viscosity solution of the discounted Hamilton-Jacobi equation in non-compact space

CHEN Suting，  LI Xia

（School of Mathematical Sciences， Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu  215009， China）

Abstract： The  discounted  Hamilton-Jacobi  equation （H-J  equation） is  a  special  form  of the  contact Hamilton-Jacobi equation; hence， study of the discounted H-J equation is important. In this article， we first study an expression of the viscosity solution u （x; t） for the discounted H-J equation in non-compact space. Then， we explore the convergence of the viscosity solution u （x; t） for a specific discounted H-J equation with  >0  in non-compact space for the initial value in different cases.

Keywords： Hamilton-Jacobi equation;  contact system;  viscosity solution

0  引言

本文主要考虑如下演化折现 Hamilton-Jacobi 方程（简称 H-J 方程）在t ！+1时粘性解的收敛情况：

（1）

式（1）中： g（x）2 C（M）; λ> 0.

H-J 方程起源于经典力学、几何光学. 它作为一阶非线性偏微分方程 ， 是海洋内波动力学、流体力学和大气动力学中非常重要的数学模型之一 ， 在哈密尔顿动力学、最优控制理论、微分对策等方面都有着非常广泛的应用[1]. 由于解的激波的產生使得 H-J 方程的经典光滑解不容易求出甚至不存在 ， 但许多应用学科的发展却需要解决这个问题 ， 因此在20世纪80年代初 ， Crandall 等[2]利用极值原理提出了 H-J 方程粘性解的概念 ， 推进了偏微分方程弱解理论的发展. H-J 方程粘性解的长时间渐近行为分析是粘性解理论的一个重要研究方向， 其研究途径主要有2 种：一种是基于变分法的弱 Kolmogorov Arnold Moser （KAM）方法. Mather[3-4]开创了利用变分法研究正定系统 （Tonelli 系统）的 Mather 理论 ， 定义了各种变分意义下的极小不变集 ， 研究了它们的几何性质和拓扑性质. Fathi[5]所创立的弱 KAM 理论在 Tonelli 框架下通过 Lax-Oleinik 公式将哈密尔顿流与相应的 H-J 方程的粘性解联系起来 ， 从而将变分法与研究粘性解理论的偏微分方程（简称 PDE）方法交叉融合 ， 产生了一系列问题及新的思路方法. 另一种是 PDE方法. 1999年 ， Namah 等[6]在一般框架下通过 PDE 理论最先得到了收敛结果. Fathi[7]和 Davini 等[8]在 Aubry-Mather 理论的指导下结合 PDE 方法在 Tonelli 框架下证明了不同类型的收敛结果， 与文献[6]不同的是， Fathi[7]用到了严格凸的框架. Roquejoffre[9]结合 PDE 方法和动力系统方法对上述假设进行了弱化 ， 得到了类似的收敛结果.

以往的研究大多局限于不含未知函数的哈密尔顿系统 ， 即H（x， Dxu）= 0. 而具有能量耗散的很大一类物理、力学系统需要用接触哈密尔顿系统 H（x， u， Dxu）= 0来表示. 接触哈密尔顿系统近年来被广泛应用于耗散力学、非保守力学[10-12]等系统以及微观动力学[13]、平衡统计力学[14]等领域. 对于接触哈密尔顿系统动力学的研究 ， 也是通过变分法和 PDE 方法进行的 ， 其中变分法有隐式变分法[15-17]和 Herglotz 变分法[18]两种.

折现系统作为接触哈密尔顿系统的一种特殊形式 ， 对其研究具有深刻意义 ， 可为揭示接触哈密尔顿系统里的复杂现象提供直观的解释. 以往对折现系统的研究 ， 主要集中在底空间是紧空间的情形. 对于底空间非紧的接触哈密尔顿系统的研究尚处于探索阶段.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

对于折现 H-J 方程 ， 先讨论了在底空间非紧时 ， 其粘性解的一种表达式 ， 并以此为基础 ， 研究了在初值不同情形下粘性解的收敛情况 ， 这与底空间是紧集时有着不一样的收敛情形.本文的主要结果如下：

设L（x， v）是定义在上的连续函数 ， 满足：

（1） L（x， v）关于v 超线性增长 ， 即对 ， 有.

（2）

存在 M>0 ， 且对于所有的， 有定理1—2.

定理1  令， 其中 γ（t）= x .若有限且连续 ， 则是折现 H-J 方程 （1）的粘性解. 式中 ：u （x， t）= g（x）2 C（M）; H（x， p）=  sup  pv  L（x， v）g .

定理2  若取H（x， p）=  p2   p ， 则u （x， t）= y fM  u （x， y， t）. 式中 u （x， y， t）=  + e ? tg（y）.

1  定理1 与定理2 的证明

在给出定理1 和定理2 的证明之前 ， 需要先给出一个引理.

定义集合AC（[0， t]， Rn）= fγ： [0， t]！ Rnjγ（t）是絕对连续曲线}.

引理1  若 L（x， v）是Rn    Rn上的连续函数 ， 令

式中γ（t）= x ， 则

证明因为

式（2）中

β（s）：=γ（s  α）.

一方面， 由式（2）得

所以

即

u （x， t）? （s）∈A ;t];Rn）{ wt  e （s ?t）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ? u （γ（t  α）， t  α）}.

另一方面， 对于任意的α（s） ， β（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 定义

由式（2）得

由β（s）的任意性得

进一步得

因此， 命题得证.

定理1 的证明由引理1 可得

（3）

先证  u （x， t）为粘性下解： 取假设.任取 v 2 Rn ， 令且， 再令. 因为， 且， 由式（3）， 有

则有

在式（4）两边同时除以α ， 并令 ， 可得

0? L（ ， v）  λ? （ ， t^）  Dx? （ ， t^）v  ?t? （ ， t^）.

由v 的任意性， 且

得

0?  λ? （ ， t^）  H （ ， Dx? （ ， t^））  ?t? （ ， t^）， （5）

于是可得

故u （x， t）为粘性下解.

再证 u （x， t）为粘性上解： 取? 2 C1（Rn    R） ，  2 Rn ， t^2 R ， 假设（u   ?）（ ， t^）= max （u  ?） =0 .固定ε> 0 ， 且α >0 ， 由于u （ ， t^）有限， 可找到一个γ（s）2 AC（[0， t]， Rn） ， 使得

因为 u ? ? 且u （ ， t^）= ? （ ， t^） ， 有

? （ ， t^）+ εα> w  e （s ?t^）L （γ（s）， γ_（s））ds + e ?? （γ（t^  α）， t^  α），

于是

由于

H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））= （s）∈A ;t];Rn）{L （γ（s）， γ_（s））  γ_（s）Dx? （γ（s）， s）} ， （7）

因此， 将式（7）代入式（6）得

0? w  e （s ?t^）[ λ? （γ（s）， s）  H （γ（s）， Dx? （γ（s）， s））  ?t? （γ（s）， s）]ds  εα.  （8）

在式（8）两边同时除以α ， 并令α0 ， 由 L（x， v）关于 v 超线性增长 ， 可知 H（x， p）关于p 有限 ， 从而关于p 连续[5]. 由 H（x， p）的定义及关于 L（x， v）的假设（2）可知 H（x， p）关于x 连续 ， 得

由ε的任意性知u （x， t）为粘性上解. 再由u （x， t）既是粘性下解又是粘性上解 ， 得u （x， t）是粘性解.

定理2 的证明由定理1 知

式中：γ（0）= y ;γ（t）= x .由 Legendre 变换 ， 得

由于 H（x， p）关于p 严格凸且 H（x， p）关于p 超线性增长 ， 因此 ， 由经典变分理论 ， 固定端点的作用量函数u （x， t）的极值曲线满足欧拉-拉格朗日方程

（e t  （γ（t）， γ_（t）））= e t  （γ（t）， γ_（t）），

即

dt e t （γ_（t）+ 1）= 0，

积分可得

γ（t）=  a e ? t   t + b.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

式中a ， b 是常數. 根据γ（0）= y 得b = y +  . 把b 代入γ（t）得

γ（t）=  a e ? t   t + y + a = x，

解得 a =  .因此

故定理得证.

2   t +1时u （x， t）的收敛情形分析

定理3  取u （x， t）为定理2 中的粘性解，即u （x， t）= y fM { + e ? tg（y）}.

（1）若 M = R ， 当 g（y）有下界时 ， 则  lim  u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解;u =0是驻定方程λu+ p2   p =0 的粘性解.

（2）若 M = R ， 取g（y）= y ， 则  lim  u （x， t）= 0. 式中：λ >0 ; u （x， t）是式（1）的粘性解.

（3）若 M = R ， 取 g（y）=  y2 ， 则对 8（x， t）2 M  [0， +1） ， 有 lim  u （x， t）= 1 .式中： λ> 0;u （x， t）是式（1）的粘性解.

证明由定理2 知， u （x， t）=  inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0 ; M = R . u （x， y， t） 有下界 ， 则u （x， y， t） 有下确界 ， 设下确界为m . 当  jyj 充分大时 ， u （x， y， t）> m ， 所以 ， 下确界只能在 jyj ? A 时取到 ， 设在 y = y0处取到最小值 ， 此时 u （x， t）= + e ? tg（y0） ， 则 t  u （x， t）= 0 ， 因此无论 g（y）取何值 ， 只要 g（y）有下界 ， 都有 lim  u （x， t）= 0.

若取g（y）= y ， 则u （x， t）=  inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=+ e ? ty.

则 u =   + e ? t .令 u = 0 ， 解得 y = x + t   . 当 y < x + t   时 ，  u < 0. 当 y > x + t   时 ， u > 0. 所以当 y = x + t    时 ， u 可取最小值. 将 y = x + t   代入 u  ， 得

式中：λ >0 ; M = R .当t ！+1时 ， 有 u ！ 0 ， 因此u ！ 0.

若取g（y）=  y2 ， 则u （x， t）=  inf u （x， y， t）. 式中

u （x， y， t）=   2（e t   1）    e ? ty2.  （9）

记式（9）中等号右边y2项的系数为m ， 则

因为 λ（>0）充分小 ， 当 t ！+1时 ， 有 e t > 0 ， e t   1 >0 ， λ  2< 0 ， （λ  2）e t ！ 1 ， （λ  2）e t+2< 0 ， 所以系数 m <0 .从而对于任意给定的 （x， t）2 R  [0， +1） ，  inf u （x， y， t）= 1 ， 此时inf  u （x， y， t）不对应演化方程?tu +λu + H（x， Dxu）= 0的粘性解.

注为了比较 ， 给出u （x， t）在底空间是紧集时的收敛情形.与底空间非紧时不同的是 ， 只要其初值连续 ， 当t ！+1时 ， u （x， t）！ 0 ， λ> 0.

令u （x， t）是式（1）的粘性解， 由定理2 知， u （x， t）=  inf u （x， y， t）. 式中：

u （x， y， t）= + e ? tg（y）;

λ> 0. 当 t ！+1时 ， 有e? t ！ 0 ，  ！0 .若 M 是紧的 ， 则存在 y0 2 M 使得 u （x， t）= u （x， y0， t） ， 因此t  u （x， t）= 0.

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（責任编辑：陈丽贞）EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD