关于《植树问题》数学模型的思考

杨理

摘要：《植树问题》是人教版教材五年级上册“数学广角”的内容。教材将“植树问题”分为两端都栽、只栽一端、两端都不栽、環形情况以及方阵问题等几个层次，这节课主要是教学两端都栽的植树问题，通过教学向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。

关键词：植树问题;思维为主;数学教学

教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理等数学探索的过程，并启发学生透过现象发现其中的规律，建立数学模型，再利用规律回归生活，解决生活实际问题。

从学生的思维特点看，五年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。

新课程标准要求，“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会，使他们有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力”。因此在设计这节课时，我主要运用这样的教学理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解决问题的思想方法。以此为基础，根据学生的认知规律，这个内容应该以数学建模的数学理念来进行整体设计。

首先，我们要回答的是什么是数学模型。所谓数学模型，对于一个现实对象，为了达到特定目的，依据其内在的规律，做出必要的简化假设，再用适当的数学工具将现实对象转化为一个数学结构。因此，数学建模就是建立数学模型用于解决现实问题的全过程，包括表达、求解、解释、检验等基本过程。通俗的说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事;数学建模就是用数学语言讲述生活故事的过程。

数学建模可以概括为四个部分：①现实问题，即要解决的问题，里面隐藏着某种数学信息;②数学模型，对现实问题进行数学化抽象和简化，得到的数学结构，通常是函数表达式或方程式;③数学模型的解答，利用数学知识和思想方法求出方程式的解或者函数的某些信息，比如最值、极值等;④现实对象的解答，将模型的解答与现实问题进行对照检验，根据检验结果对解答进行修订，得到满足现实问题的优化解答。

植树问题是平均分问题，这才是植树问题的实质、模型，而不是什么时候加1、减1……至于“加1”、“减1”是对实际问题分类。植树问题的实质是“点与段”的对应。以往的平均分问题，关注的是“段”，而不是“点”，植树问题关注的是点。所以，点与段的对应就成为本课的个难点，人们想了很多办法来帮助儿童理解它，更是找了不少能代表点与段关系的生活原型来说明它。如线段图、伸开五指的手。我觉得用“直尺”更恰当，从儿童上学第一天开始，直尺就伴随左右，儿童对直尺的印象特别深，可以说直尺的表象已经印在儿童的脑子里。教材上的用到“线段图”，在直尺上同样也有线段图，而且还省略了“画”的过程，更方便使用。直尺是最常用的学习工具，对直尺很熟悉，但也有忽略的地方，那就是“点”与“段”的对应关系。在测量时，经常会出现这方面的错误，如3厘米的线段量成4厘米。错误的原因，就是对“0”的忽略。解决植树问题时，也会出现这样的错误。直尺上有点、有段，植树时要把树种在哪儿呢？把树种在点上。但由于对平均分问题的认知惯性，儿童关注的是“段”，以为树种在段上。这就要引起儿童对“点”的关注，点与段在直尺上是对应的，一段对应一点。但“0”点却没有“段”与之对应。这在直尺上很形象，“0”点之所以是0，就是因为没有“段”和它对应。在直尺上植树时，如果“0”上植树，就是两端都植树，如果“0上不植树”，就是一端植树……用直尺植树，比较有利于解决“点”与“段”的关系问题。

教材上的安排是，先用简单例子得出规律，再利用规律解决复杂问题。这样为规律而规律有些牵强，对于规律还要特别记忆。我是想通过“化抽象为直观”的方式体现“化繁为简”，在直尺上植树，两端都植树时，第一棵树栽在“0”上（如图所示）。

……

植树问题的本质并非是“一端植树、两端植树”，而是“除法问题”，“植树问题是除法问题”这才是植树问题的本质。无论是一端植树还是两端植树，都有“除法”存在，“除法”是植树问题的共同特征，所以“除法”是植树问题的本质。教学植树问题重点是“除法问题”，难点是“几种植树情况的数学表征”。

参考文献：

[1]聂应波. 借助画图策略，建构数学模型——"植树问题"教学实践与思考[J]. 课堂内外：教师版（初等教育）， 2020.

[2]应方园. 对《植树问题》基本数学模型的研究[J]. 软件（教育现代化）（电子版）， 2019.