三类概率问题的解法剖析

吴玲

概率是高考中的重要考点.概率问题常与生活实际相关，不仅考查了古典概型概率公式、几何概型概率公式、分步计数原理（乘法原理）、分类计数原理（加法原理）等数学知识，还考查了同学们综合分析能力以及解决实际问题的能力.常见的概率问题主要有求等可能事件的概率、求相互独立事件的概率、求条件概率.下面，结合例题谈一谈这三类概率问题的解法.

一、求等可能事件的概率

若一个事件由n 个基本事件组成，且所有结果出现的可能性都是相等的，那么称每一个基本事件为等可能事件.等可能事件的概率问题主要有古典概型问题和几何概型问题.在求等可能事件的概率时，要先明确问题的类型，然后运用古典概型和几何概型的概率公式来求解.

例1.某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共 10个数字，当6个拨盘上的各个数字组成某1个6位数字号码（开锁号码）时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开1次就能把锁打开的概率是多少？

解析：号码锁每个拨盘上的数字，从0到9共有10个.6个拨盘上的各个数字排在—起，就是1个6位数字号码.根据乘法原理可求得这种号码的个数.由于试开时选取每1个号码的可能性都相等，所以该问题为古典概型，可根据古典概型概率公式进行求解.

解：号码锁每个拨盘上的数字共有10个，则每次有 10种选法，根据乘法原理可得，6个拨盘上的数字组成的6位数字号共有106个.试开时选取每1个号码的可能性都相等，且开锁号码只有1个，所以根据古典概型概率公式可得试开1次就把锁打开的概率为

二、求相互独立事件的概率

若两个事件之间相互独立，并不互相影响，则称这两个事件为相互独立事件.若事件 A 与 B 为相互独立事件，则 P（AB）=P（A）P（B）.在求相互独立事件的概率时，需先明确事件的类型，然后运用公式进行求解.

例2.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是.求这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率.

解：设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件.这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯表示，这位家长送孩子上学时在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，其概率为

1-3，在第三个路口遇到红灯.所以事件 A 的概率为

本题中“遇到红灯”与“没有遇到红灯”是互斥的，并且是对立事件，属于相互独立事件，可以用乘法公式 P（AB）=P（A）P（B）求解.

三、求条件概率

条件概率是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下发生的概率.设 A，B 为两个事件，且 P（A）>0，则事件 A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率为P（B|A）= P（A）.在遇到条件概率问题时，要借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n（A），再求事件 AB 所包含的基本事件数 n（AB），得

例3.袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，每次从中摸出1个球，摸到球后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率.

解：袋中有10个球，每个球被摸到的可能性相等.两次从袋中不放回地摸出2个球，共有 A 0种可能的情况.第1次摸到白球有 C 种可能的情况，第2次摸到的可能是白球或黑球，只能从9个球中摸一个球，有 C 种可能的情况，因此第1次摸到白球有 C C种可能

的情况，则第1次摸到白球的概率为第1次摸到白球且第2次摸到黑球有 C C种可能的情况，则第1次摸到白球且第2次摸到黑球的概率为由条件概率公式可知，第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率为 P（B|A）= =  .

条件概率问题较为复杂.在解題时要先求 P（A）和P（AB），再根据公式 P（B|A）= P（A） ，求 P（B|A）.

在解答概率问题时，同学们要先仔细审题，判断出问题的类型，是否为等可能事件的概率问题、相互独立事件的概率问题、条件概率问题，然后选择与之相应的概率公式进行求解.

（作者单位：江苏省溧阳市南渡高级中学）