数学建模活动设计及实践

杜娟 陈算荣

摘  要：课例“水温随时间变化的规律”的设计采用问题串的形式，在问题驱动下，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题的建模活动体验过程. 在数学建模的过程中，引导学生探析现象背后的本質，灵活运用已有数学知识和经验，有效解决现实世界中的真实问题.

关键词：数学建模;问题引导;问题解决

一、数学建模素养

《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《标准》）凝练了学生必须具备的六大数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析. 其中，数学建模是指对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 数学建模主要表现为：发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题. 我国的数学教学历来重视数学在解决实际问题中的应用，贯穿于中小学数学教学全过程的应用题是将数学与现实相联系的重要载体. 数学建模活动是对应用题的继承与发扬，但是与应用题教学相比，数学建模活动的内涵更为丰富，数学建模活动从教学内容、教学方式及教学评价等多个方面都对中小学数学教学提出了很多崭新的研究课题.

随着以《标准》和新教材为标志的“双新”课程的实施推进，数学建模将从理论设计层面的教学目标转变为真实的学习活动，教师只有尝试实践，才有可能从理论构想走向现实，《标准》对于数学建模核心素养的培育目标才能真正落实.“水温随时间变化的规律”的数学建模活动设计和实践就是数学建模素养发展落地课堂的一次探索，经过实践、反思和完善后形成的课例设计.

二、数学建模活动设计

1. 问题背景

数学建模学习主题来自生1在网上看到的一篇报道，其发现了其中蕴含的数学问题，并把素材提交给数学教师. 具体内容如下.

情境：人们日常饮用水时既不能喝生水，也不能喝过烫的水. 生水中含有大量的寄生虫，过烫的水不仅会损伤牙釉质，还会强烈刺激咽喉、消化道和胃的黏膜. 因此推荐饮用45℃的温水.

问题1：面对以上实际情境，你能提出哪些问题？

小组讨论，并将问题写在活动单上.

【设计意图】设计开放性问题，拓展学生的思维广度. 学生通过自己熟悉的情境，小组交流讨论，从情境中抽象出数学问题，再分析问题. 问题是开放性的，学生的回答涉及各学科领域，通过教师引导，学生评价每个小组提出的问题的意义及合理性，并从中选择大部分学生关注的且与数学相关的问题加以提炼，形成本节课的主题：在室温为15℃的条件下，一杯烧开的水大约需要多长时间可以降到45℃？

2. 数据采集

为了解决问题1，生1课前带领小组成员在化学实验室室温为15℃的条件下，每间隔1分钟用温度计测一次水的温度（单位：摄氏度），下表是采集了[12]分钟的水温数据.

3. 问题探究

活动1：问题串诱导，推动知识迁移.

问题2：观察这组数据，思考水温与时间之间是否存在某种依赖关系？这种依赖关系是否为函数关系？

问题3：能否用确定的函数模型来刻画水温与时间之间的关系？

问题4：有没有比较直观的方法帮助我们选择熟悉的函数模型？

【设计意图】引导学生观察、分析数据，找出水温随时间的变化规律. 在学生思维的最近发展区寻找突破口，通过问题串启发诱导，帮助学生回顾函数的定义及函数的三种表示方法. 比较函数的三种表示方法，学生自然选择图象法，从而引出下一环节——画散点图.

活动2：制作散点图，猜想函数模型.

问题5：如图1，观察散点图中点的分布规律，对比已经学过的基本初等函数图象，猜想可以选择怎样的函数模型？（小组交流.）

【设计意图】学生用图形计算器绘制散点图，根据散点图中点的分布规律，学生猜想的函数模型可能有：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等. 该选择哪种函数模型？又该如何确定函数模型？由此引出数学建模的重要环节——模型的选择.

活动3：利用函数拟合，选择函数模型.

（1）操作图形计算器，组内自由分工合作，分别选择一次函数模型、二次函数模型和指数函数模型拟合，如图2 ～ 图4所示.

（2）小组代表展示拟合数据后求得的参数，以及用对应函数模型求解问题的结果，并用语言描述本组解决问题的过程.

【设计意图】各小组自由选择一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型进行拟合并求解. 活动的目的是引导学生自主探究，比较各模型的优劣，进而选择最佳模型，并尝试交流和表达. 在探求问题解决的过程中不断修正模型，最终确定模型. 在整个探索过程中，学生充分体会了函数拟合的思想，体验了建模的基本步骤，感受了解决问题带来的喜悦.

问题6：组内讨论为什么二次函数模型会无解？我们应该选择哪个模型？

【设计意图】教师引导学生考虑二次函数的最小值，学生算出二次函数的最小值，对比实际问题发现方程无实数解. 学生调动自身储备的数学知识去解决实际问题，体现了数学知识是解决实际问题的理论基础. 充分讨论、比较后，大部分小组选择指数函数模型，引出本节课的下一个环节——模型修正.

活动4：比较函数模型，给出合理解释.

问题7：为什么你觉得指数函数模型比一次函数模型更合适？

【设计意图】经过讨论，学生可能知道要用物理学知识去解释，但不知道涉及物理学的哪方面知识. 教师设置情境：一杯100℃的水和一杯30℃的水在相同时间内冷却到15℃，谁的冷却速度更快？引出物理学中“放热系数”的概念来解释指数函数模型更合适. 通过该问题让学生意识到选择的函数模型要能对实际问题做出合理解释，而对问题的解释往往需要跨学科知识的融合，让学生体会跨学科知识之间的联系.

活动5：回归初始问题，引发深度思考.

问题8：回到实际问题中，还有什么因素需要考虑吗？（小组讨论.）

【设计意图】引导学生讨论并发现问题，让学生代表进行说明. 如果学生没有讨论出结果，教师则以问题串启发：该模型的渐近线是什么？实际问题中的水温可能降到室温之下吗？该模型应该如何修正才能更符合实际？引导学生给出模型[y=abx+15.] 再通过计算器求解，完成模型修正. 学生主动参与问题解决的过程，在不断反思中提出新问题，有利于激发学生的创新精神，提升学生的实践能力.

活动6：学生自主讨论，总结建模过程.

问题9：回顾经历的数学建模过程，能否尝试总结数学建模解决实际问题的基本过程？（小组交流.）

【设计意图】引导学生及时积累数学建模活动的基本经验，为今后开展新的数学建模主题活动奠定基础. 教师在学生反馈的基础上，归纳出数学建模的一般过程，如图5所示.

问题10：试结合本节课的实例，总结函数拟合建模的一般步骤. 能否用流程图来表示？

教师根据学生的回答，与学生共同概括、提炼，得到流程图，如图6所示.

【设计意图】引导学生回溯函数拟合的具体过程，进一步提升学生的语言表达和总结概括能力.

4. 提升价值认识

问题11：通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？

【设计意图】引导学生领悟数学学科的育人价值，提升学生对数学建模意义的认识，提高学生参与数学建模活动的兴趣.

三、教学实践解析

该建模活动设计方案在同一年级的多个平行班进行实践，并经过多轮“实践—反思—重建”的改进过程. 上述活动设计在上海市闵行区青年骨干教师培养基地进行了公开实践研讨. 专家点评该课例的设计和实施遵循了五个原则：以学生为主体，以问题为载体，以活动为中心，以能力提高为目的，以技术为手段. 整个教学活动设计，其研究素材和研究问题来自学生，函数模型的建立、求解、检验和修正过程均在教师精心设计的问题引导下完成. 问题串的设计有助于学生思维的深度发展，能够帮助学生掌握数学建模学习的要领和其中的数学知识本质，实现深度学习.

课堂活动实施采用个体活动和小组活动有机结合的方式进行. 在活动过程中，学生主动分析问题和解决问题，教师以引导、参与和监督的方式介入个体和小组活动，从而实现师生和生生之间的多向互动. 学生借助教师或者同学的帮助，利用必要的学习资料主动建构获得知识. 活动中，这种合作性人际关系的建构能够促进学生达到认知、情感和社会性的全面发展. 学生在思考、交流和表达的过程中提高了提出問题、分析问题和解决问题的能力. 学生借助图形计算器制作散点图，然后拟合函数，最终求解的过程，充分体现了技术与数学的深度融合. 在分析一次函数模型和指数型函数模型谁更适切的环节，教师引导学生关联物理学中“放热系数”的概念来解释指数型函数模型更合适，让学生感悟跨学科整合学习的意义，体现了新课程提出的学科融合理念.

作为一次数学建模活动的初步尝试，实践研究者认识到要让建模活动课达到较好的学习效果，需要教师坚持深度学习的理念，精心创设适切的数学情境和数学问题，使学生在参与数学学习活动和解决问题的过程中不断加深对数学思想的理解，并内化为个人素养，真正地“做数学”和“学数学”.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吴国舞. 浅谈合作、探究式教学法的应用[J]. 新一代，2018（8）：173.

[3]陈算荣. 数学核心素养落地课堂：五“E”教学模式解析[J]. 中学数学教学参考（下旬），2017（11）：62-64.