让直角三角形旋转起来

李大双

摘 要：数学是思维的体操，对于学生良好思维品质的培养具有不可替代性。题组教学作为数学教学基本形式被广泛运用并发挥着独特作用，它让概念更清晰，让认知更全面，让策略更优化，让结构更完整，让反思更有效。

关键词：题组教学;数学思维;培养

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）02-0064-04

一、 引言

毕业总复习正在如火如荼的进行中，为了确保复习的效果，学生课前对所复习的知识点以及相关习题进行必要的梳理和练习是非常有必要的。如《图形与变换》复习课，主要是帮学生对整个小学阶段所学过的图形平移、旋转、放大和缩小进行归纳和整理。在我看来这部分的知识相对于纷繁多变的分数实际问题、深奥难懂的解决问题的策略，无疑是小巫见大巫，我决定让学生自己看看练练，不准备在这块教学上花大气力，于是我将作业纸一并发给学生，让孩子们回家完成。

虽说是旧知，但作业情况不容乐观。作业纸上有一道题是这样的：将图1中的直角三角形绕C点旋转90度。

这道我故意设卡的题目未能达到我想要的效果，80%的孩子只画了一种旋转图，黄宇杰的作业更是错得让我瞠目结舌。让我感到一丝安慰的倒是那几个空着没做的孩子，他们给我的解释是：“李老师，你题目出错了，不好做！”“是不好做，还是你们考虑问题欠周全？”我期待着一语唤醒梦中人。

黄宇杰画出的是一个圆锥的平面透视图（如图1），而且画得有模有样。“你这是画的什么呀？”我没好声没好气地问。“直角三角形旋转一周不是圆锥吗？”黄宇杰到现在还没有意识到自己的错误所在。于是我用红笔将“绕C点”三个字圈了起来，“哦！”黄宇杰顿悟似的叫了起来，“我看错了！”说完拿着作业纸回到了座位上。

难道仅仅是因为粗心大意看错了题目，没有别的原因？于是我决定，对本题得“小题大做”一把。课上，我用大屏幕出示了本题，并对本题做了下面的讲解（表1）：

在不知不觉中一节课过去了，回忆教学的每一个环节，我觉得它不是简单的数学知识的再现，更包含着对学生良好数学品质的培养，也让我深刻体会到题组教学对孩子思维品质培养的重要意义。

二、 题组教学的作用

数学是一门思维严谨、逻辑性很强的学科，是一门追求精确性的科学，它要求学生严谨求实，思维缜密。思维缜密性是指在分析思考和解决实际问题的过程中能全面考虑各种可能情况，既考虑一般，又顾及特殊，推理过程严谨有据，是数学思维的重要品质之一。但实际教学过程中，我们发现具有缜密思维的孩子占比不高，很多学生在分析解决实际问题时存在着概念不清、审题不细、思路不明、考虑不全等缺点，从而导致顾此失彼、丢三落四、漏洞百出、答案有误。针对这一现状，个人认为教学中可以根据学生的认知规律，合理有效地选择“题组”，采用“题组教学法”，逐步培养学生的严谨学风和缜密思维习惯。

所谓“题组”，就是将内容联系密切、题目形式相似、思维方法相近、解法基本相同或有联系的题目串联在一起构成一组题。它具有鲜明的对比性、层次性、迁移性和实效性，对巩固所学知识、纠正思维偏差、增强解题能力、形成知识网络、发展思维能力等都发挥着独特的作用。

（一）题组，让概念更清晰

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征，以定理、法则、公式的方式表现出来，数学概念是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。小学数学中包含着大量的数学概念，有些概念是由若干个词或词组组成的，表述精确，结构严谨。教学时，首先要让学生建立起正确的概念。

例如在教学《认识倒数》时，可以安排这样一个题组帮助学生强化对“倒数”概念中“核心词”的理解：

从下面的算式中选择一个，说说你对倒数的理解：

（1）0.9+0.1=1  （2）2×0.5=1

（3）0.4×5×0.5=1

通过对（1）和（3）两个算式的否定，强化了“倒数”概念中“乘积是1”和“两个数”的理解。看似简单的三道题也可以加深对概念内涵的理解，即0为什么没有倒数;也可以拓展对概念外延的把握，即“1/a”或“1÷a”都可以代表a的倒数。再次面对“结果为1的两个数互为倒数”这样的判断题，学生便不再会犹豫不决，产生错误。

（二）题组，让认知更全面

由于小学生生理、心理以及知识发展水平的局限，在数学思维活动水平上表现出层次不高而且很不稳定的特点，不少学生解题时，只关注题中给出的现成的已知条件，常常产生“条件不足”无法解答的错觉。教学中，教师如果能及时有效地指导学生挖掘题中隐含条件，明确解题思路，选择恰当的解答方法，将会对学生数学概念的形成、解题技能的掌握、数学思维的发展起到至关重要的作用。

例如：六（1）班和四（1）班按3∶2共同承担了120平方米的保洁区打扫任务。请计算出六（1）班、四（1）班各打扫多少平方米。

通过例题的讲解和练一练的解答，学生对于按比例分配实际问题的结构有了较为清晰的认識：已知“总量”和“比”，求“各部分量”。解答时，可以转化成分数乘法实际问题解答，也可以先用除法求每份数，再用乘法求各部分量。于是，学生形成思维定势认为必须要找到“总量”和“比”，当某一条件被“隐藏”，部分学生就无从下手。

这时，可以设计一组习题让学生做到有意识地去挖掘题中隐含条件。

例如：

1. 一个直角三角形两个锐角的比是1∶2。两个锐角分别是多少度？

2. 一个等腰三角形顶角和一个底角度数的比为1∶2。这个三角形三个角各是多少度？

3. 一个等腰三角形两个角度数的比为1∶2。这个三角形三个角各是多少度？

学生读题、思考：和例题相比第一题最大的不同在哪里？

你能找到这两个锐角的和吗？

小结：要动用自己已有的知识经验挖掘题中隐含的条件。

思考：（1）第二题呢？它被隐藏的条件你能找出来吗？

（2）第二题和第三题又有什么不同的地方？

這个题组的设计不仅可以让学生明白挖掘、寻找题中隐含条件的原因，更重要的是让学生明白各个知识点相互依存、互为补充的道理。在教学中，教师对学情要有充分的了解，要尽量预见学生思维中的“盲点”“易混点”，有意提出问题让学生思考、辨析，避免应用时出错，或者故意设置一些思维障碍，让学生“吃点亏”，从反面提醒和引导学生，有时比教师单纯地正面强调更效果更好，给学生留下的印象也更深刻。

（三）题组，让策略更优化

《义务教育数学课程标准》提出：“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”问题解决需要有效的策略，学生策略性知识的生成与发展源自教师精心的设计与指导。作为教师要把培养学生的策略意识作为问题解决教学中最为关键的一个环节，把引导学生解决数学问题的过程，转化成学生发现问题、分析问题、寻求策略并最终解决问题的一个自主探究过程。

在《组合图形面积》教学中可以设计这样一个练习，和教材第23页第6题（图2）组成一个题组，在解决好策略多样化的基础上，实现策略最优化。

计算图2中图形的面积：

“分割合并法”“增补扣除法”是我们解答组合图形面积计算最常用的两种方法。尽管图2是一个标准的直角梯形，但在解答时，仍有一半左右的学生采用长方形与三角形合并的方法，没有选择梯形面积公式直接计算。由此可见，将“转化”策略运用在组合图形面积计算中对于很多学生来说是个“盲点”，需要教师的引导与点拨。

本题组教学如下：

求图2的面积你有几种方法？怎么计算更方便？

小结：直接看成梯形，用梯形面积公式计算更方便。

出示习题6：仔细观察图2和图3，它们的面积相等吗？说一说你是怎么想的。

小结：面积相等，长方形完全相同，两个三角形等底等高面积也相等，所以两个组合图形面积相等，计算组合图形的面积可以转化成计算梯形的面积。

你还能将它转化成其他基本图形吗？

通过大家的讨论又得到了以下方法：

三角形和长方形等底等高，可以转化成求三个底600米、高100米三角形的面积和;

三角形和长方形等底等高，可以转化成求长600米、宽150米长方形的面积;

三角形和长方形等底等高，可以转化成上底600米、下底1200米、高100米梯形的面积;

……

“心有多大，舞台就有多大！”要想真正发展学生解决问题的能力，就一定要多途径加强学生策略意识的培养，让数学策略的种子，植入学生的心田，存活、生长不断壮大！

（四）题组，让结构更完整

建构主义认为学生学习不是对知识的简单接受，而是在一定的教学情景下主动建构来完成。通过题组练习把学生的认知结构与教材的知识结构有机的结合起来，有利于学生形成良好的知识结构。而数学学习活动，就是新的学习内容与学生原有认知结构中的内容相互作用，从而实现认知结构的改组或重建的过程。

图4是长方体正方体体积教学中很具有代表性的一道习题。这两问题本身就是一个题组，其共同点都是求体积;不同点第一问求花坛的体积条件具备可以直接计算，第二问求泥土的体积就是求花坛的容积，这里面的长、宽、高，需要通过观察学具、画图、想象画面等直观的方式去发现。

对于“考虑厚度”的物体，能正确找到里面长、宽、高之后，不妨对本题进行“二次创作”，形成了有5道题目组成的大题组。

☆小华家沿着墙新砌了一个长2.6米、宽1.3米、高0.5米的长方体花坛，花坛用砖砌成，厚度 0.3 米（图5）。

花坛里大约有多少立方米的泥土？

☆学校新砌了一个长3.3米、宽1.8米、高0.5米的长方体花坛，花坛用砖砌成，厚度0.3米（如图6，在墙角）。

花坛里大约有多少立方米的泥土？

☆有一个无盖的金鱼缸，长66厘米，宽46厘米，高53厘米，玻璃厚度3厘米，这个金鱼缸最多能盛水多少毫升？

☆有一个长方体米箱（有盖），长80厘米、宽70厘米、高60厘米，它是用厚度5厘米的木板做成的，这个米箱的容积是多少？

这五道题的出现，让“厚度忽略不计”成为过去，“容积”在孩子的脑中真正成为“容积”。回看这五道题将容积计算（考虑厚度）的类型都涵盖其中，遇到类似问题，只要对号入座，处理好相关数据，进行相应的计算，同时也拉近了数学和生活的距离，让学生充分体会到了数学来源于生活、最终服务于生活的道理。

（五）题组，让反思更有效

反思性学习，是通过对学习活动过程的反思来进行学习。反思，不仅仅是“回忆”或者“回顾”，它还需要把新知识纳入原有知识体系中，对知识进行重构，是有效学习中不可缺少的重要环节。

“纠错”是反思性学习的基本形式。在教学过程中，作为教师要逐步培养学生从不同角度认真检查的习惯，尤其是“倒过来想”的意识，让学生认真分析错误原因，并根据错题倒推回去，寻找与其对应的题目和原题组合在一起变成由两道或多道题组成的题组，利用“题组式”订正，从而达到举一反三、触类旁通、标本兼治的效果。

例如一道经典例题，“王大爷家养了24只白兔，灰兔只数是白兔的2/3，又是黑兔只数的1/2，黑兔有几只？”这是简单的分数实际问题，但仍有一部分学生列出了这样的算式：“24×2/3×1/2=8（只）”，如果不是红叉叉的提醒，他们一直坚信自己做的是对的。对于这样的错题，在找出错点、订正完之后，可以进行追问：

问题一：如果“24×2/3×1/2=8（只）”这个算式正确，原题该做怎样的微调？

问题二：如果把“灰兔只数是白兔的2/3”微调成“白兔只数是灰兔的2/3”，其他条件不变，这题怎么解答？你有什么发现？

问题三：如果把“灰兔只数是白兔的2/3，又是黑兔只数1/2”微调成““白兔只数是灰兔的2/3，灰兔只数是黑兔的1/2”，题目又该如何解答？

这个追问的主角可以是教师也可以是学习能力相对较强的学生。把所有追问之后得到的题目进行归纳整理，呈现在学生面前的就不是一道题，而是一组题，是一个大的题组。这种“题组”式订正方法，优化数学认知结构，关注学生知识的生长点、整合点，帮助学生掌握或辨析异同题型，从而提炼和迁移方法，让深度学习真正发生。

三、 结语

学生缜密性思维的培养是一个长期的、系统的工程，不可能一蹴而就，立竿见影。“题组教学法”的合理运用一定会成为学生思维缜密性培养的催化剂和加速器，让提升学生数学思维品质不再是一句空话，而是实实在在可见可触的一种行为。