圆中求角，角弧转化

文／陈 超 康 敏

在圆中求角的度数问题是中考考查的重要内容之一。虽然它涉及的知识点较多，题型也多样，但是解决这类问题的主要思路就是角弧之间的转化。

例1如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=2OE，则∠BCD的度数为（ ）。

图1

A.15° B.22.5° C.30° D.45°

【解析】由图可知，∠BCD是圆周角，它所对的弧是弧BD，这就要在图中找弧BD所对的其他角（圆心角或圆周角），而图中找不到，那么连接OD，如图2，这样∠BOD就是弧BD所对的圆心角。由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，得CD=2DE，而CD=2OE，故DE=OE，可得△ODE是等腰直角三角形，则∠BOD=45°，所以22.5°。故选B。

图2

【点评】要求∠BCD的度数，由角看弧，即弧BD，再由弧看角，但没有要转化的角。故结合已知条件，作辅助线，转化为可求的圆心角∠BOD的度数。

例2如图3，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，并延长交⊙O于点D，若∠C=50°，则∠BAD的度数为_____。

图3

【解析】由∠C看它所对的弧，即弧AB，再由弧AB看它所对的其他角。

方法一（利用同弧所对圆周角相等的关系）：连接BD，如图4，则∠ADB=∠C=50°。因为AD是⊙O的直径，所以∠ABD=90°，所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°。

图4

方法二（利用同弧所对的圆心角与圆周角的倍数关系）：连接OB，如图5，则∠AOB=2∠C=2×50°=100°。因为OA=OB，所以100°）=40°。

图5

【点评】本题是由已知角看它所对的弧，再由弧看它所对的角，所看角的位置不同，就有不同方法，即所添加的辅助线也就不同。但由于受到“直径看直角”的影响，常常会用“方法一”。

例3如图6，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC。

图6

（1）求∠B的度数；

（2）若AB=2，求弧EC的长。

【解析】（1）连接OC，如图7，∠B所对的弧是弧AC，弧AC所对的圆心角是∠AOC，则∠B

图7

∵CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠CAD=35°。

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=35°，

∴∠AOC=180°-35°-35°=110°，

∴∠B=55°。

也可以由AB为⊙O的直径，得∠ACB=90°，则∠B=90°-∠OAC=90°-35°=55°。

（2）∵直径AB=2，

∴⊙O的半径r=1。

求弧EC的长，问题转化为求弧EC所对圆心角度数，故连接OE，如图7，则由角弧转化可得∠COE=2∠CAD=2×35°=70°，∴弧EC的长=

【点评】在问题（1）的解决中，不论从运用切线的性质，还是从角弧转化的需要，都要做辅助线OC，这是解决问题的关键所在。在问题（2）中，由于圆的直径是已知的，即圆的半径可知，虽然是求弧长，但本质上还是求弧所对的圆心角的度数。