有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识

文／钱金山 徐晓连

近年来，各地中考题常涉及“隐形圆”。这些题呈现方式多样，入手较难。但我们只要认识到题目的本质，就会发现其中的巧妙之处。

例题如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4。P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）。

图1

【解析】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置。首先证明点P在以AB为直径的圆O上，连接OC与圆O交于点P，此时PC最小，再利用勾股定理求出OC，即可解决问题。答案选B。

【变式1】（2021·广东）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为________。

【解析】本题没有给出几何图形，需要自己作图分析。根据“定弦定角”模型，可作出辅助圆。如图2，以AB为斜边向两侧作等腰直角三角形OAB和等腰直角三角形O′AB，则点D应在分别以O和O′为圆心，OA和O′A长为半径的优弧上，若CD长度最小，则点D应在以O为圆心，OA长为半径的优弧上。过圆心O作ON⊥AB，OM⊥BC，以O为圆心，OB为半径作圆，点D在圆O上。

图2

∵∠ADB=45°，

【点评】45°的圆周角所对的弦长是定值，属于“隐形圆”中典型的“定弦定角”模型。

【变式 2】如图3，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF、EF，且满足∠EAF=45°。

图3

（1）求证：BE+DF=EF；

（2）若正方形的边长为1，则△ECF面积的最大值为 。

【解析】（1）如图4，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，可证△EAF≌△EAG，从而得到BE+DF=EF。

图4

（2）由（1）可知S△ECF=S正方形ABCD-2S△AEF=1-EF，以EF为斜边向△AEF内作等腰直角三角形OEF。由于∠EAF=45°，点A、E、F在以O为圆心，OE为半径的圆上，当EF值最小时，△ECF的面积最大。过点A作AH⊥EF于点H，以EF为斜边向△AEF内作等腰直角三角形OEF，取EF中点I，连接OA、OI、CI。

图5

设EF=x，则

由（1）可知AH=AB=1，

∴S△ECF=S正方形ABCD-2S△AEF=1-EF=1-x，

则当EF值最小时，△ECF的面积最大。

∴△ECF的面积最大值为1-x=

【点评】本题考查了三角形的旋转、圆周角和圆心角的关系，能发现“隐形圆”并作出正确图形是解决问题的突破口。利用“隐形圆”模型常能突破一些较难的综合题，一旦“圆”形毕露，答案便手到擒来。