走向“深度教学”

摘  要：我们应当将超越具体知识和技能的学习深入到思维的层面，由具体的数学方法和解题策略过渡到一般性思维策略与学生思维品质的提升，还应帮助学生逐步地学会学习. 我们在当前应特别重视这样几项工作：（1）“联系的观点”与思维的深刻性;（2）“变化的思想”与思维的灵活性;（3）“总结、反思和再认识”与思维的自觉性;（4）努力帮助学生学会学习.

关键词：深度教学;联系的观点;变化的思想;总结、反思和再认识

众所周知，对于“深度学习”的积极提倡是教育领域中一个新的发展趋势. 由于数学教育是整体性教育事业的一个组成部分，因此，作为数学教育工作者，我们自然就应当对此予以高度的重视. 但这又可被看成过去这些年的课程改革实践给予我们的一个重要启示，即不应盲目地追随潮流，而应坚持自己的独立思考. 特别是，面对任何一个新的理论思想或主张，我们都应当认真地思考这样三个问题：（1）什么是这一理论或主张的实质或主要含义？（2）这一理论或主张对于我们改进教学有哪些新的启示和意义？（3）这一理论或主张又有什么局限性或不足？

这也就是我们面对一般性的教育理论或思想所应特别防止与纠正的两种倾向.

第一，停留于一般性论述，而未能从专业的角度做出进一步的分析、思考.

例如，这或许就可被看成所谓倾向的一个实例，即认为作为一名数学教育工作者，我们面对“努力提升学生的核心素养”这一主张就只需能够正确地复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照发现每一堂课的不足之处就可以了，而未认识到还应认真地思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体素养究竟有哪些特别重要、甚至不可取代的作用，并能很好地落实于自己每一天的工作、每一堂课！

相信读者由以下实例即可在这方面获得直接启示，尽管它们所涉及的也只是语文教学.

案例1：“‘语文学科核心素养实践性解读”的两个实例.

（1）“培养终身阅读者，培养负责表达者”是我校历经多年锤炼并在2012年最终确立的语文宣言，是我们坚定的学科信念、行动指针. 今天，这也是用我们自己的句子表述的语文学科核心素养.

（2）学科的育人价值是什么？基于学科特质，学生需要的核心又是什么？对这两个问题的追问，是核心素养落地的关键.

2009年，重庆市巴蜀小学提出了“爱读书、善思考、会表达”的语文学科核心价值追求. 2015年，学校开始研究学科核心素养，并对巴蜀小学的育人特质进行了再次修改和校本化解读.

由于“大教育”的论述容易出现“大而空”的弊端，对此我们也就应当保持特别的警惕. 例如，在笔者看来，以下论述就多少表现出了这样的倾向：深度学习“深”在哪里？首先“深”在人的心灵里，“深”在人的精神境界上，还“深”在系统结构中，“深”在教学规律中. 进而，这也可被看成过度简单化的一个认识，即认为只需按照以下模式就可解决各个学科的相关问题：一般性理论的简单介绍 + 本学科的教学实例.

第二，局限于狭窄的学科视角，却未能从更广泛的角度进行分析、思考. 例如，正如前面所提及的，以下论述就多少表现出了这样的倾向：现在，我们强调学生核心素养的发展，关注数学学科在人的素养发展中起到的作用，也就是说，通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标，即会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 与此相对照，我们应当深入思考是否应当要求每位学生都能做到所说的“三会”，乃至将此看成数学教育的终极目标. 因为，这正是这方面的一个基本事实：大多数学生将来都未必会从事数学或其他与数学密切相关的工作，会用数学的眼光、思维与语言显然也非唯一可能的选择.

综上，从单一学科的视角进行分析、思考容易导致片面性的认识，后者既包括单纯地强调“帮助学生学会数学地思考”，也包括“人人都应做到‘三会”这样一个主张. 这就是我们为什么应由“帮助学生学会数学地思考”转向“通过数学学会思考”的主要原因，后者就是我们所说的“数学深度教学”的一个基本含义.

当然，我们在此所追求的并非“常识”的简单回归，而是更高层次的重构，数学学习可被看成为我们所说的“重构”提供了直接基础. 这也就是指，我们应当更加重视通过数学教学努力提升学生的思维品质，包括由“理性思维”逐步走向“理性精神”，我们还应帮助学生逐步学会学习，从而真正成为学习的主人.

总之，这正是我们在此所倡导的“数学深度教学”的主要含义：我们应当超越具体知识和技能的学习，深入到思维的层面，由具体的数学方法和解题策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升，我们还应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为主动学习，包括善于通过学生之间的合作与互动进行学习，真正成为学习的主人.

显然，依据以上论述我们也可更好地理解“就题论道”的含义：如果说“就题论法”主要是指用数学思维方法的分析带动具体的解题活动，从而帮助学生逐步学会数学的思考，那么，“就题论道”就体现了这样一个更高的追求，即我们不仅应当通过解题教学使学生在思维方法特别是解题策略的学习上有较大的收获，也应努力提升他们的思维品质，包括理性精神的养成.

就当前而言，我们还应特别重视这样几项工作：（1）“联系的观点”与思维的深刻性;（2）“变化的思想”与思维的灵活性;（3）“总结、反思和再认识”与思维的自觉性;（4）努力幫助学生学会学习.

对于前三项，特别是（1）和（3），我们在先前已经有所涉及，以下就主要围绕相应的“关键词”对此做出简要概述;对于（4），我们则将联系“合作学习”在下一篇文章中做出具体论述.

（1）“联系的观点”与思维的深刻性.

重视“联系的观点”是国际数学教育界的普遍趋势. 例如，无论是美国数学教师全国委员会（NCTM）于2000年发表的《学校数学的原则和标准》，还是由国际教育署与国际教育学会于2009年联合推出的指导性手册《有效数学教学》，都将“联系”列为数学教育最重要的“标准”之一. 我们可由以下论述更好地理解“联系”作为思维策略所具有的普遍意义：“找出各种事物之间的联系是教育家们竭尽全力思考的问题……当学生能够用相互联系的观点看待各种事物的时候，他们的学习生涯就开始了. 我建议把发现事物之间的联系当作基础学校课程的首要目标.”（多琳语）A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

另外，先前关于“整体性教学”与“结构化教学”的分析显然也可被看成从又一角度表明了“联系的观点”的重要性，包括什么是这方面工作的主要目标. 更一般地说，这也就是指，我们不应将事物和现象看成互不相干的，并应善于通过对照、比较促进认识、发展与深化.

在此还应特别提及“多元表征理论”的指导意义：我们不仅应当善于从多个不同角度去认识，还应高度重视不同方面的必要互补与适当整合. 当然，除去“联系的观点”以外，后者应当说也与“变化的思想”密切相关，即我们应当善于通过不同方面之间的转换有效地解决问题.

最后，应当强调的是，这直接关系到了认识的深度. 这也就是指，只有不断地拓宽视野，特别是用联系的观点进行分析、思考，我们才能达到更深度的认识（当然，也只有达到了更深度的认识，我们才能更好地发现不同事物与现象之间的联系）. 特殊地，这显然也可被看成“数学抽象”的本质所在.

进而，从同一角度相信读者也可以更好地理解笔者的以下主张：数学基础知识的教学，不应求全，而应求联. 这也就是指，我们在教学中应当很好地突出“联”这样一个关键字.

（2）“变化的思想”与思维的灵活性.

前一篇文章中关于“解题教学”的讨论显然已经涉及了这一论题，即我们应当善于通过变化去分析问题和解决问题，包括很好地实现“化难为易，化复杂为简单，化未知为已知”.

以下就是数学中经常用到的一些变化方法：逆向思维、整体思维、数形互换……除此以外，我们当然也应十分重视“特殊化”与“一般化”这样两种方法，包括这样一个相关的主张：数学基本技能的教学，不应求全，而应求变.

例如，无论是面积计算中经常用到的“割补法”，还是算术中所谓的“速算法”，显然都可以看成通过变化（等值转换）解决问题的典型例子.

再者，所谓的“关系映射反演方法”（RMI方法）则可被看成“变化的思想”更高层次的应用. 因为，这一方法不仅可以被用于解决诸如求取某个未知量这类具体的数学问题（如对数计算），也可用于解决与理论的整体性结构有关的这样一类更高层次的问题（如解析几何的创立就可被看成通过映射实现整体性转换的一个实例）. 而且，这一方法又不仅可以被用于得出问题的肯定性解答，即按照原来的要求解决问题，也可被用于得出问题的否定性解答，即证明了原来的问题不可能得到解决.

由上述分析也可以看出：对于“思维的灵活性”我们不应理解成单纯的“快”，乃至将此看成数学教学应当努力追求的一项目标. 具体地说，我们应当更加重视思维的深刻性;另外，相对于“快”的简单提倡而言，我们显然也应更深入地思考如何才能实现这样一个目标，而这也就意味着我们应当更加重视相应的一般性思维策略与学生思维品质的提升.

例如，所谓的“变式理论”（特别是“概念变式”）就可被看成这样的一个例子，即我们如何通过适当变化帮助学生更好地理解概念的本质，也即达到更大的认识深度. 更重要的是，我们又不应局限于如何能够通过适当的变化有效地解决问题，而且也应以“变化”作为直接对象去开展新的研究.

具体地说，后者显然可被看成“函数观念”的核心所在，这标志着我们已经超出“初等数学”进入了“变量数学”. 当然，就我们目前的论题而言，我们又应更加强调这样一点：即使就初中与小学高年级的数学教学而言，我们也应十分重视相关思想的渗透，从而促进学生思维的发展，包括努力提升他们的思维品质.

例如，在不少学者看来，我们就应将“对应关系的视角，以及协变 / 共变的视角”看成“代数思维”的一个重要含义，并应十分重视其在小学与初中阶段的渗透：小学和初中阶段的学生可以关注两个同时变化的数量，描述一个量与另一个量的关系，理解“输入—输出”规则，并识别出对应关系.

更一般地说，我们在教学中不仅应当注意“在变化中抓不变”，也应十分重视“在不变中抓变化”.

最后，由以下實例可以看出，“变化的思想”也与我们如何能够改进教学密切相关.

案例2：是“学生笨”，还是“老师笨”？

这是某著名特级教师的一个亲身经历：班上有一名学生数学学得不好，因此教师就经常给该生“吃小灶”，即有针对性地进行个别辅导. 有一次，教师给这名学生讲一道题，可是整整讲了3遍该生还是不懂，这下该教师可真有点失去耐心了：“讲了3遍还是不懂，你可真‘笨！”没想到学生对此却很快做出了反应（由此可见，在数学学习与思维的灵活性之间并无必然联系）：“你讲了3遍都没有把我讲懂，你才真正‘笨！”

这两个人中究竟何人真“笨”？相信以下分析即可给你一定的启示.

众所周知，中医治病以辨症为先，但是，由于号脉、看舌苔等传统辨症方法有很大的经验因素. 因此，现实中就常常会出现“对不上号”的现象，也即医生所开的药似乎完全无效. 但又恰是在这一点上我们即可看到“好中医”与“一般化中医”的区别：前者在先前药路不对的情况下往往能够及时加以改变，转而采取另一全新的路子，后者则只会“一条路走到黑”……

由此可见，这也正是上述实例中教师的不足之处，即是未能通过“求变”去解决问题！

综上可见，这就是数学教学应当很好地突出又一关键词——“变”. 当然，在实践中我们又应特别重视“变”与“联”的综合应用！

（3）“总结、反思和再认识”与思维的自觉性.

这是笔者近年来经常提到的一个观点，即是数学教学应当帮助学生学会“长时间思考”. 因为，尽管“快思”可以被看成日常思维的主要形式，“慢想”显然也有广泛的应用，更有益于我们纠正“快思”所造成的各种弊端，特别是一些规律性的错误. 当然，这也是这方面的一个明显事实，即真正的数学问题往往都不可能轻而易举地得到解决，而需要研究者（学习者）做出持续的努力. 在很多人看来，这就是数学的真正魅力所在. 由此可见，数学学习不仅需要，也十分有利于人们学会“长时间思考”.A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

显然，上述分析也更清楚地表明了这样一点，即教学中我们应当注意纠正对于“快”的片面追求. 当然，对此我们又不应理解成“消极等待”，而应进一步去思考放慢节奏后应当做些什么.

上述问题事实上也直接关系到了数学学习的基本性质：这主要是一个不断优化的过程，并主要依赖于主体的自觉总结、反思与再认识. 当然，正如前面所提及的，这也应被看成自觉性的又一重要表现，即是我们应当努力提升自身的元认知水平，也即对于自身正在从事的数学活动始终保持清醒的自我认识，并能通过及时的分析评估做出必要的调整，包括纠正可能的错误.

综上可见，我们在教学中应为学生的“长时间思考”提供充分的时间和空间. 特别是，相对于一味鼓励学生尽快做出反应而言，我們在教学中应当表现出更多的耐心，并应很好地处理这样一些关系：“快”与“慢”，“多”与“少”，“热闹”与“安静”，“引”与“放”，等等. 另外，从同一角度我们显然也可以很好地理解这样一个“经验”——“教师不要太聪明”，即在教学中我们不应过快地由特殊上升到一般，而应保证学生有充分的体验，包括“基本活动经验”的必要积累.

简言之，我们应将帮助学生学会“长时间思考”看成数学教学的又一重要目标，包括在教学中很好地突出这样几个“关键词”：总结、反思与再认识（优化、深化）.

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