合理构造模型,解决数学问题

张玉宾

(山东省枣庄市第八中学南校)

数学建模是指在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.特别地,根据题目创新情境与应用等,构造出相应的数学模型,并借助数学模型来合理分析与求解问题,最能体现与考查数学基础知识、数学思想方法和数学能力.

1 构造函数模型

例1汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间划分为4段(如图1),分别为准备时间t0,人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位:m·s-1),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到表1(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9).

图1

表1

(1)请写出报警距离d(单位:m)与车速v(单位:m·s-1)之间的函数关系式,若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施,仍以速度v行驶,求当k＝0.9时,汽车撞上固定障碍物的最短时间;

(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于80 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下?

分析根据题目条件,构造函数模型.

(1)结合关系式和参数的值,构建关于时间t的函数关系式,利用基本不等式确定相应的最值问题,即汽车撞上固定障碍物的最短时间.

(2)利用报警距离构建相应的不等式,通过解不等式确定汽车行驶的限制速度.解 (1)根据题意可得

所以所求函数关系式为

当k＝0.9时,有

当且仅当v2＝360,即v＝时等号成立,所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是

(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于80m,则当k∈[0.5,0.9]时,d＝20＋＜80恒成立,即当k＝0.5时,有

即v2＋10v-600＜0,解得-30＜v＜20,所以0≤v＜20,所以汽车的行驶速度应限制在20m·s-1以下.

题目以“汽车智能辅助驾驶”为背景,通过函数模型的选择与应用来解决一些相关的应用问题.特别地,在解决一些应用问题时,根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借助新的构造求解问题,常见的有构造函数、构造方程、构造图形等.

2 构造数列模型

例2风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成,其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.图2是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下:

图2

其中Bn-1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1,n∈N*.

根据每层边长间的规律,建筑师通过推算,可初步估计需要多少材料.所用材料中,横向梁所用木料与正六边形的周长有关,某一风雨桥亭、塔共5层,若A0B0＝8 m,B0B1＝0.5 m,则这五层正六边形的周长总和为( ).

A.35m B.45m C.210m D.270m

分析根据题目条件,构造数列模型,通过关系式的变形以及等差数列的定义确定数列{AnBn}的类型,所求的5层正六边形的周长总和即为所构造数列的前5 项和,最后通过数列求和来分析与求解问题即可.

解由已知可得AnBn＝An-1Bn-1-Bn-1Bn,Bn-1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5,可 知AnBn-An-1Bn-1＝-Bn-1Bn＝-0.5,因此数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)是以8 为首项,公差为-0.5的等差数列.

设数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)的前5项和为S5,则

所以这5 层正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210m,故选C.

题目以“风雨桥”为背景,意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养,破解此类问题的关键是建立数列模型,明确问题所求的结论,有时还要结合条件得出相应的方程或不等式,通过解方程或不等式问题获解.

3 构造三角模型

例3岳阳楼是“中国十大历史文化名楼”之一,世称“天下第一楼”,自古有“洞庭天下水,岳阳天下楼”之美誉,与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图3 所示,测得∠DAC＝30°,∠DBC＝45°,AB＝14 m,则岳阳楼的高度CD约为( )

图3

A.18m B.19m C.20m D.21m

分析根据题目条件,构造三角模型,直接利用解直角三角形的知识和三角函数的知识分析与求解问题即可.

解在Rt△ACD中,∠DAC＝30°,则AC＝.在Rt△BDC中,∠DBC＝45°,则BC＝CD.由AC-BC＝AB,得-CD＝14,从 而CD＝≈19 m,所以岳阳楼的高度约为19m,故选B.

题目以“岳阳楼的高度”为背景,考查解三角形等相关知识,引导学生通过观察已知图形的特征,利用解直角三角形的知识,求出楼的高度,展现了方程思想在解三角形中的应用.

巧妙融合数学与生活中各方面的创新应用,联系生活生产实际,合理构造数学模型,创建与题目条件或结论相吻合的数学基本模型,并借助相应的数学知识来分析与求解问题,从而全面有效渗透数学的基础性、综合性和应用性,合理引领与指导高中数学教育,回归数学基础知识、基本技能与基本方法,提倡学以致用,创新应用,强调全面育人、数学核心素养导向.

(完)