人教A 版新旧教材关于“解三角形”的对比研究

云南师范大学数学学院(650500) 崔永宏 王 仲 马绍文

教材是依据课程标准编制的、系统反映学科内容的教学用书,是课程标准的具体化,以教材为主要教学载体,钻研教材,挖掘教材内隐知识,是每一位教师应该具有的基本素养.随着新教材的落地实用,新旧教材的差异给许多教师的教学带来困扰,本文以“解三角形”为例,对新旧教材从结构、内容、习题几方面进行比较,并据此逐一分析提出教学建议.

1 新旧教材“解三角形”的内容比较

1.1 结构重整

人教A 版新旧教材关于“解三角形”在结构上主要出现表1 所示的变化:

表1 新旧教材关于“解三角形”结构布置比较

从上表可以看出,新旧教材相比较“解三角形”在结构上主要出现两个大的变化,一方面是章节内容整体的变化,另一方面是正余弦定理内容的顺序发生了改变.

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》[1]建议中强调“整体把握教学内容,促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”,在实验版教材中“解三角形”作为一个单独的章节位于必修五中,一般高三上学期才开始学习;在新教材中,“解三角形”没有独立成章,而是将其归纳为平面向量应用之中.值得注意的是,在实验版教材之中,平面向量位于必修4 第二章节,“平面向量”与“解三角形”内容之间存在一定的时间距离,再次在“解三角形”中应用平面向量对余弦定理进行推导时,学生已经对平面向量的知识有所淡忘.而新教材中在学习完平面向量的基本运算之后,在平面向量的应用中便对解三角形内容进行学习,这样的内容安排不仅可以强化学生对向量学习的一种运用意识,还有利于突出知识的连贯性,保证学生数学素养的连续性;另外,对于正、余弦定理内容安排,实验版教材是先学习正弦定理,再学习余弦定理.在实际教学中,教师在讲授正弦定理时总是要讲述两个伴随结论:=2R(R是ΔABC外接圆半径)与SΔABC=absinC,所以在讲授正弦定理的难度比余弦定理大,为了遵循“从简单到复杂”的基本规律,理应先讲授余弦定理在讲授正弦定理[2].新教材正是遵循“从简单到复杂”的规律,便先学习余弦定理再对正弦定理学习,符合学生认知发展规律,让学生更容易接受将新旧知识进行融合学习,提高学习效率.

1.2 内容优化

在教材内容上,新旧教材关于“解三角形”也凸显出很大的变化,正、余弦定理皆有体现.

推导余弦定理时,实验版教材这样引导学生思考:由于涉及边长问题,我们可以考虑用向量的数量积来研究这个问题;新教材则是这样表述:因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角,所以我们考虑用向量的数量积来探究.从上述新旧版本教材的表述对比,实验版教材的表述似乎有点“空穴来风”的感觉,学生难免会疑问为什么涉及边长就要用数量积? 但是新教材中,由于刚学习向量的数量积,涉及到边长与夹角学生自然会想到通过数量积解决问题.

正弦定理的推导在新旧教材之中发生了很大的变化,下面将给出两个不同版本的推导内容并进行比较分析.

图1:实验版教材“正弦定理”推导

图2:新教材“正弦定理”推导

通过新旧教材“正弦定理”的推导可以看出,在实验版教材推导“正弦定理”时只是通过简单的三角函数知识,而正弦定理作为新知识,这样的一种推导方式无法凸显“新”.不仅如此,在用基本三角函数知识推导出正弦定理后又使用平面向量推导余弦定理,使得紧密相连的知识产生“隔阂”,而在新教材中,正弦定理则是使用向量的方法进行推导,保证了正余弦定理推导的一致性.另外,通过推导正弦定理,学生还可以复习单位向量、向量夹角、向量垂直、数量积等知识,确保了学生学习知识的连续性.

1.3 例题精简

《新课标》基本理念中强调精选课程内容,处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系,强调数学与生活以及其他学科的联系,提升学生应用数学解决实际问题的能力,同时注重数学文化的渗透.正余弦定理应用举例中所展现的例题,都是通过所学新知去解决实际问题,让学生感受数学的实际价值,应用价值,学会用数学的眼光去看待现实问题,培养学生解决问题的能力.

新旧教材关于正、余弦定理的应用举例中,新教材中列举3 个例题,而在实验版教材中有9 个例题.实验版教材中的例题,针对同一类问题都通过两个例题进行讲解,而新教材中则每一类问题就一个例题.例如在实验版教材中的例3与例4,例3 是求建筑物高度,例4 是求山高,这两个问题的实质是一样的,这样重复出现,显得有些多余.而在新教材中求建筑物高度就出现一个例题,老师引导学生对这一例题的讲解,学生如果确实理解清楚,学会应用,那么对于相同问题便可迎刃而解.留给学生思考和发展的空间,这样更能体现新课标“以生为本”的理念,一切为了学生的发展.

2 基于新课标理念对“解三角形”的教学建议

《新课标》指出“在教学活动中,教师应准确把握课程目标、课程内容、学业质量要求,合理设计教学目标,并通过相应的教学实施,在学生掌握知识技能的同时,促进数学学科核心素养的形成”.教学是教师教与学生学的一个过程,在教学过程中确保学生的主体地位,让学生受到良好的数学教育,在未来生活得到很好的发展.对于新教材中内容的优化,笔者从以下两方面提出对“解三角形”的教学建议:

2.1 重视教材,立足核心素养

教学应该立足于教材,但是在实际教学中,许多教师尤其是老教师都喜欢根据经验教学,然而随着新一轮课程改革,对教师的教、学生的学都有了新的要求.在实验版教材之后,新教材是专家根据经验总结而对实验版教材的精简,所以在教学时,一定要重视教材,发挥教材的重要作用.

在教授“解三角形”时,教师一定要钻研教材,比较新旧教材的不同之处,领会新教材的编写意图,注重学生数学核心素养的发展,不能为了做题而教学,在“解三角形”中涉及到学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,在“解三角形”中的正、余弦定理的应用都是通过已知量求为知的过程.但是,教师不能简单的让学生记住公式,通过做题加深对知识的运用,这样培养出来的仅仅只是做题的工具,而不是社会所需要得人才.新教材中运用向量的方法推导正余弦定理,这就是对学生数学运算的考察,教师应该让学生自己动手进行运算.除此之外,教师还可以让学生以小组为单位进行讨论或作为课后练习,看是否能找到其他推导方法.这样既促进学生的合作意识,也能从多角度帮助学生提高推理论证能力.

2.2 精选习题,培养数学思想

很多人认为学好数学“就得多做、多练”.但是,学习负担繁重的高中学生,哪有那么多时间来学习数学呢? 并且这样的想法也是不对的.正所谓“授之于鱼不如授之于渔”,一味的让学生做题,不如让学生做好题、做少题.做习题是为了巩固新知,教师一定要挑选习题,让学生通过习题,掌握数学思想方法,这样便能做到会一道,通一类.

新教材中关于“解三角形”就有这样一道习题值得精讲,那就是习题6.4 的12 题,如下:

如图3,在ΔABC中,已知AB=2,AC=5,∠ABC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN的余弦值.

图3

解答此题许多学生想到的方法就是根据正、余弦定理去求解三角形,其实教师还可以引导学生通过向量、坐标等方法进行求解,具体求解过程本文不再叙述,通过对此习题的多角度的思考,不仅可以发散学生的思维,还能培养学生转化与化归,函数与方程,数形结合等重要数学思想方法.如果学生吃透本题,以后再次遇到这样的“解三角形”的题时,就可以从多角度去思考,此法不行另寻它法.

3 小结

新教材与实验版教材相比较,以培养学生核心素养为导向,更关注的是学生对未来的发展需求,符合学生的认知发展规律,让学生学起来更轻松.教师在教学过程中,需要立足于教材又高于教材,充分利用好新教材,确实把新课改要求落于实处,做到“一切为了学生的发展”,无愧“师者,传道授业解惑也”.