灵活选择角的表示,优化几何表达的过程

湖北省武汉市华中科技大学同济附中(430030) 王凯旋

在七年级上册,我们学过的角的表示方式有四种,(1)用三个大写字母表示,例如∠ABC,∠BAC,∠BCA(如图1) ;(2)用一个大写字母表示,例如∠A,∠B,∠C(如图1);(3)用一个特殊的字母表示例如∠α,∠β,∠γ(如图2);(4)用一个阿拉伯数字表示,例如∠1,∠2,∠3(如图3).学生在解答平面几何问题时,往往处理得很简单,不管三七二十一就用三个大写字母表示一个角.这种做法很多时候使解题过程略显复杂.每次考试阅卷,批阅几何题的速度都是最慢的,阅卷老师总是抱怨不好批改.其中一个原因就是角的表示都选用三个大写字母表示,老师要逐一判断每一个角的对应.如何解决学生这一表达习惯? 教师可以考虑在教学过程中贯彻以下三个原则,并不断渗透,直到学生不拘泥于一种表示方式,掌握角的多种表达方式,并在解题中熟练地选择出最为合适的一种表达方式,使解题过程显得更为清晰和简洁.

图1

图2

图3

1 简单原则

在平面几何图形中如果一个顶点只有一个角,我们自然选择方式(2),这就是最简单的表示方式;如果一个顶点处有多个角,大多情况下,选用方式(1),但为了使解题过程简单,可以选择方式(4),即尽量避免全部用三个大写字母表示.这样可以使整个解答过程简单,表达清晰.

例1 如图4,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA,求证:BE//DF.

图4

图5

说明:1.∠ABC,∠ADC的顶点处有多个角,为了相互区分,选用三个大写字母表示是最准确的;2.∠A,∠C的顶点处只有一个角,不选择三个大写字母表示,选择一个大写表示就是最优化的;3.∠1,∠2,∠3 的顶点处有多个角,不选择三个大写字母表示,选择用数字来表示角就是最优化的.

例2 已知如图6,直线AM//DN,求证:∠A+∠C=∠B+∠D.

图6

证如图7,分别过点B,C作BE//AM,CF//AM,∵AM//DN,∴BE//AM,BE//CF,CF//DN,∴∠A=∠1,∠3=∠2,∠4=∠D,∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D,即:∠A+∠BCD=∠ABC+∠D.

图7

说明:1.∠ABC,∠BCD的顶点处有多个角,为了相互区分,选用三个大写字母表示是最优化的;2.∠A,∠C的顶点处只有一个角,不选择三个大写字母表示,选择一个大写表示就是最优化的;3.∠1,∠2,∠3,∠4 的顶点处有多个角,不选择三个大写字母表示,选择用数字来表示角就是最优化的.

2 结构原则

在几何图形中,如果一个角自身需要用三个大写字母表示,而且除了顶点外,其余字母可以有多种选择,这样我们可以根据“结构原则”进行表示.即对这个角进行定位,所研究的角是放在哪个三角形或者哪个多边形中,则三个大写字母选择相应的顶点字母.例如“全等三角形”和“相似三角形”中的对应关系.而非随意选择三个大写字母.

例3 如图8,已知D,E分别为AB,AC上两点,且BE,CD交于点O,AD=AE,BD=CE,求证:OB=OC.

图8

说明:1.∠A同时在ΔBAE和ΔCAD,选择用一个大写字母表示,既体现了“结构原则”又提现了“最简原则”;2.∠AEB,∠ADC,∠BDO,∠CEO,四个角的表示方式都不唯一,除了顶点字母,另外两个字母可以有不同的选择;选择这三个大写字母表示,主要体现其所在的三角形.

上面所说的“简单原则”和“结构原则”中角的表示方式,集中在表示方式(1)(2)(4),这三种角的表示方式,它们都依赖一定的几何图形,强调了角的位置.而方法(3),可以脱离几何图形指某个角,教材中也有这样的例子.例如:①∠α的度数是48 度56 分37 秒,记作:∠α=48°56′37′′;②∠α的补角是它的3 倍,∠α是多少度? 在此,并不知∠α在哪一个具体的图形中.但不影响角的相关计算.在此基础上,可进一步补充一种角的表示方式,这种方式体现了角的代数性.

3 计算原则

在解答几何问题时,有一部分问题仅仅侧重角度的大小计算,可以考虑具体的几何图形,也可以不考虑.此时可选择一个小写字母来表示角的大小,常用有:x,y,z等,这样可以使角度的计算过程流畅,计算的结果明确.这种表示方式遵循的是“计算原则”,主要强调了角的大小运算.

例4 如图9,在ΔABC中,三条角平分线AD,BE,CF相交于点G,GH⊥BC于H,求证:∠BGD=∠HGC.

图9

说明:1.∠BAG,∠CAG,∠ABG,∠CBG,∠ACG,∠BCG选择用三个大写字母表示,既体现了“结构原则”又提现了“最简原则”;

2.同时为了使计算更明确,对于参与运算的这6 个角我们选用小写字母x,y,z表示,体现了“计算原则”,这样还可以使角的运算大小明确,快速做出判断.

例5 如图10,AD,BC相交于E,连接AB,CD,AF,CF分别平分∠BAD和∠BCD,交点为F,CF交AD于G,求证:

图10

说明:1.∠GCD,∠BAH,∠HCF∠GAF这4 个角选择了用三个大写字母表示,既体现了“结构原则”又体现了“最简原则”;2.∠GCD,∠BAH,∠HCF∠GAF这4 个角选用小写字母x,y,z表示,使运算更流畅,体现了“计算原则”,使角的运算大小明确,快速表示出三个角之间的相互运算关系.

俗话说,“一花独放不是春,百花齐放春满园”.在解答几何问题时,如果能灵活选择角的表示方式,应用于角的多种运算关系,优化解答过程.可以使解题过程简洁,思路清晰.同时能减轻阅卷老师的负担,增加自己的得分,何乐而不为也?