一道2021年高三八省联考试题的多解探究

摘要：解析几何一直是高考中的重要内容，常在选填题中考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义与方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，此类问题综合性较强，本文通过多种解法探究，以期培养学生的几何直观素养、数学运算素养.

关键词：直线;圆;抛物线;八省联考

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0095-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：谢新华（1979.8-），男，福建省莆田人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题“学科素养视域下‘读思达’教学法的数学课堂应用研究”（项目编号：Fjjgzx20-077）.

[FQ）]

1 试题呈现

题目（2021年全国新高考适应性考试暨八省联考数学第7题）已知抛物线y2=2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆（x-2）2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为 （）.

A.x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

2 试题解析

解法1因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

设过点A（2，2）与圆（x-2）2+y2=1相切的直线的方程为y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

则圆心2，0到切线的距离

d=2k-0+2-2kk2+1=1，

解得k=±3.

如图1，直线AB：y-2=3x-2，

直线AC：y-2=-3x-2.

联立y-2=3x-2，y2=2x， 得

3x2+43-14x+16-83=0.

所以xAxB=16-833.

由xA=2，得xB=8-433.

所以yB=23-63.

联立y-2=3x-2，y2=2x， 得

3x2-43+14x+16+83=0.

所以xAxC=16+833.

由xA=2，得xC=8+433.

所以yC=-23-63.

所以yB+yC=23-63+-23-63=-4.

又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率为kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12y2B-12y2C=2yB+yC=2-4=-12.

所以直线BC的方程为

y-23-63=-12x-8-433.

即3x+6y+4=0.故选B.

解法2因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

设B（x1，y1），C（x2，y2），设直线AB，AC的方程为y-2=kx-2，联立y2=2x消去x，得

ky2-2y-4（k-1）=0.

即（y-2）（ky+2k-2）=0.

所以y1，2=2k-2.

因为直线AB，AC是圆（x-2）2+y2=1的两条切线，所以d=2k-0+2-2kk2+1=1.

解得k=±3.

所以B（（2-23）22，23-2）.

所以kBC=y1-y2x1-x2=y1-y212y21-12y22=2y1+y2=223-2+23+2=-12.

所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.

解法3因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，

所以p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

设过点A（2，2）与圆（x-2）2+y2=1相切的直线的方程为y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

则圆心2，0到切线的距离

d=2k-0+2-2kk2+1=1，

解得k=±3.

不妨设直线AB的斜率为3，则2yB+2=3.

所以yB=23-2，

xB=4（13-23+1）2=4（2-3）3.

设点A关于x轴的对称点为点A′，由极限知识可知BC斜率与抛物线在点A′处切线斜率相同均为-12，所以直线BC的方程为

y=-12（x-8-433）+23-63.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法4因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，所以p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

如图2可得直线AB，AC的斜率为±3.

设B（2b2，2b），C（2c2，2c），可得直线BC的方程为y-（b+c）=x-（b2+c2）b+c.

即x-（b+c）y+2bc=0.

又因为k2AB=（2b-22b2-2）2=3，

即3b2+6b+2=0.

同理可得3c2+6c+2=0.

即b，c是关于t的方程3t2+6t+2=0的两根.

所以b+c=-2，bc=23.

所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.

解法5因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，所以p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

如图2可得切线的斜率为±3，

切线方程为y-2=±3x-2，

联立（y-2）2=3x-22，y2=2x， 得

y-22=3（12y2-2）2.

即y+22=43.

所以y2+4y+83=0.

所以2x+4y+83=0.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法6因为A（2，2）在抛物线y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以抛物线方程为y2=2x.

设B（x1，y1），C（x2，y2），

所以x1=12y21，x2=12y22.

所以kAB=y1-2x1-2=y1-212y21-2=2y1+2.

所以直线AB的方程为y-2=2y1+2x-2.

即2x-（y1+2）y+2y1=0.

因为AB是圆（x-2）2+y2=1的切线，

所以d=4+2y1（y1+2）2+22=1.

所以3y12+12y1+8=0.

所以6x1+12y1+8=0.

即3x1+6y1+4=0.

同理可得3x2+6y2+4=0.

所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.

3 试题变式

变式1设点F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C三点在抛物线上，且四边形ABCF为平行四边形，若对角线BF=5（点B在第一象限），则对角线AC所在的直线方程为（）.

A.8x-2y-11=0B.4x-y-8=0

C.4x-2y-3=0D.2x-y-3=0

变式2已知P是圆C：（x-2）2+（y+2）2=1上一动点，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为（）.

A.14B.34C.38D.12

变式3过抛物线x2=2pyp>0上两点A，B分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点P1，-2，则直线AB的方程为（）.

A.y=12x+2B.y=14x+3

C.y=12x+3D.y=14x+2

参考文献：

[1] 纪定春，夏逸天，周思波.一道三诊试题的多解及推广[J].中学数学研究，2021（02）：34-36.

[2] 左效平.一道平几赛题的多解[J].数理天地（初中版），2021（02）：34-35.

[3] 蔡海涛.着力一题多解 引领学生思考——以一道高三质检题为例[J].中学数学月刊，2021（01）：61-63.

[责任编辑：李璟]