经历探究过程 渗透转化思想——以“平行四边形的面积”教学为例

江西省赣州市南康区第一小学 刘升宁 邓马丽

【教学目标】

1.熟练掌握平行四边形的面积计算公式，会正确运用计算公式解决实际问题。

2.通过观察、合作、思考、归纳整理，自主探索并推导平行四边形的面积计算公式，感受转化的数学思想方法。

3.通过一系列数学活动，提升解决实际问题的能力，并在这一过程中感受数学的魅力。

【教学重点】

熟练掌握并能正确运用平行四边形的面积计算公式。

【教学难点】

平行四边形的面积计算公式的推导。

【学情分析】

小学高年级的学生已具备一定独立思考的能力，并且他们非常乐意交流分享自己独特的见解，可以和同学一起合作，有较好的数学学习能力。在此之前，学生已经知道长方形的面积计算公式及它的推导过程，并能正确地计算长方形的面积，对平行四边形的相关内容也有所掌握，这些都是本节课的学习基础。学生在生活中接触过关于平行四边形的感性例子，但不会注意到怎样计算平行四边形的面积，新授时完全接受起来有一定的难度。

【教学过程】

一、迁移类推，初识转化

1.课件出示：每个小正方形代表1平方厘米，图1的面积是多少平方厘米？

图1

（1）学生想法一：数一数，一共有12个正方形,所以是12平方厘米。

（2）学生想法二：把左边凸出的小正方形剪下来，再拼到右边空的那个地方。(此时，教师课件演示动态剪拼的过程，揭示并板书：剪拼）

（3）教师提出问题：我们为什么要剪拼？

（学生回答后，教师板书：转化 长方形）同时，教师引导学生将剪拼的方法和数方格的方法互相印证。

（4）让学生说出自己的解决方法。（略）

2.课件出示：图2的面积是多少平方厘米？

图2

3.通过求上面两个图形的面积，我们发现可以用剪拼的方法来做什么？

（学生回答后，教师多媒体动态展示：将没有学习过的图形剪拼“转化”成学过的图形）

教师进行方法的强调：用剪拼的方法把我们没有学过的图形“转化”成学习过的图形，是我们研究平面图形面积的最常用，也是最实用的一种方法。

学生通过将上图中两个不规则的图形进行剪拼，使其变成规则的已知图形，进而求出它们的面积。在自己动手操作的过程中，学生对转化有了初步的感知，并随之产生将未知转化成已知的解决问题意识，为后面学习平行四边形的面积推导公式做好了充分的铺垫。

二、操作探究，感悟转化

（一）创设情境，出示问题

学校组织美化校园活动，给每个班分配了一块花卉种植地。五（1）班分到一块长方形种植地，而一块平行四边形种植地则分给了五（2）班，两个班的同学都觉得分得不平均。瞧，他们都觉得自己的种植地更小而争吵了起来，同学们可以帮助他们解决这个难题吗？

师：你会算长方形种植地的面积吗？（长×宽=长方形的面积）那五（2）班的种植地面积，你也能计算出来吗？这节课，我们就一起进入平行四边形面积计算公式的探究世界吧。

学生们都非常乐意帮助别人，通过创设学生熟悉又感兴趣的分配种植地的情境，学生的学习兴趣一下得到了激发，同时，其求知欲也被激发出来。教师引导学生回想并复习长方形面积的计算公式，为接下来的迁移转化以及新知的学习做好充分的铺垫，与此同时，把问题抛向学生，让学生顺其自然地进入新课学习。

（二）初步验证，感悟方法

师：请同学们回忆一下，长方形的面积公式是怎样推导出来的？一开始，我们采取的是什么方法？你认为这个方法也可以应用于平行四边形的面积计算吗？

（教师课件出示方格图，请学生用同样的数方格的方法计算平行四边形的面积，不满一格就都按半格计算）

生1：我数的是21平方米，我是先数整格的，再把不是整格的拼成整格的。

生2：我数的也是21平方米，我是把左边的三角形平移到右边，拼成长方形之后再数的，所以，根据长方形的面积计算公式，得出3×7=21。

生3：只有沿着高的直角三角形，才可以拼成长方形。

师：为什么要拼成长方形？

生：拼成长方形好数。

师：把难数的图形转化成容易数的，把平行四边形转化成长方形，再计算长方形的面积，那我们得到的这个长方形的面积和原来平行四边形的面积有什么关系呢？

生：它们的面积相等。虽然平行四边形被切下来一部分移到另一个位置，但是面积没有缺掉，根本没有变化。

师：哇，同学们太厉害啦！老师明白了，只要将平行四边形“转化”成长方形，就可以计算出面积了。所有的平行四边形能否都转化成长方形呢？这个图形可以用底×高来计算面积，那所有的平行四边形面积都可以用底×高来计算吗？我们如果只用数格子这一种方法来验证，还不具有说服力。大家想不想自己动手剪一剪、拼一拼？

通过具体操作体验如观察、数、算再进行比较，学生对平行四边形和长方形之间的关系就有了初步的感知，在将平行四边形转化成长方形方面也有了初步的体验。接着，教师引发思维碰撞：所有的平行四边形都可以转化成长方形吗？仅靠数格子这种单一的途径验证缺乏说服力，再次引发学生的数学思考。最后，放手让学生去探索、研究、比较，验证自己的猜想。

（三）自主探究，推导公式

1.小组合作，动手操作。

师：任何一个平行四边形是否都可以转化成长方形呢？

（每个组运用手中不尽相同的平行四边形进行动手操作，教师巡视）

2.剪拼转化，发现规律。

生1：我们小组是沿着平行四边形的一条高剪下一个直角三角形，然后将剪下来的这个直角三角形放到右边，就拼成了一个长方形。（如图3）

图3

生2：我们小组也是沿着高剪开，剪下一个三角形，再拼。（如图4）

图4

生3：我们小组也是沿着高剪开，剪下ー个直角梯形。（如图5）

图5

师：同学们为什么都说要沿着高剪呢？

生：因为只有沿着平行四边形的高剪开，才可以得到一个直角，才能拼成我们想要的长方形。

师：哦，原来沿着高剪开，才是剪拼成长方形的关键。

师：看来，再特殊的平行四边形也可以通过剪、拼转化成长方形。但老师有点不明白，为什么一定得剪拼成长方形呢？其他图形可以吗？

生：因为我们学过长方形的面积计算公式。

十个随性、自由、零散的行动不如一个理性、正确、系统的思想，学生能在教师的引导下说出解决问题的方法，这足以说明教学成功了一半。教师将问题“任意一个平行四边形是否都可以转化成长方形”直接抛向学生，给予学生充分的思考空间，这就体现了数学的严谨性。要回答这个完全未知的问题，学生只有先将头脑中储存的与平行四边形相关的所有知识及经验储备唤醒，才能进一步找到可能的方法来解决问题。要把平行四边形转化成学生熟悉的长方形，关键是要利用转化思想，运用好剪、拼的方法。学生完成后，与全班一起交流剪、拼的方法，可以进一步理解剪、拼的本质，同时，促进思维的灵活发展，通过语言描述，提升逻辑思维能力。整个操作和交流的过程，加强了学生对转化思想的认识、理解，让学生初步感知底×高就可以得出平行四边形的面积，为后面的面积计算公式的推导起到了铺垫作用。

（四）观察比较，推导公式

师：原来是用旧知识去解决新问题，同学们是把平行四边形转化成之前学过的长方形，那通过剪、拼转化得到的长方形和原来的平行四边形有什么关系？

生1：我发现它们的面积一样。

生2：转化后的长方形的长就是原来平行四边形的底。

生3：转化后的长方形的宽就是原来平行四边形的高。

生4：因为长方形的面积=长×宽，所以，平行四边形的面积就等于底×高。

师：如果平行四边形的面积用字母S表示，底用字母a表示，a底边上的高用h表示，由此得出S=ah。

（五）学生尝试运用计算公式

师：我们推导出来的这个平行四边形面积的计算公式，可以应用到任何一个平行四边形的面积计算中吗？看来，我们可以帮助五（1）班和五（2）班的同学解决难题了，请你用面积公式帮五（2）班同学计算出他们所分到的平行四边形种植地的面积，再比较这样计算面积的计算结果是否和数方格的结果一样，比较计算结果与数方格求得的面积结果是否一样。

学生独立完成(说明格式要求)。

新授知识的教学由学生猜测、验证、应用三个步骤组成，符合学生的心智发展和学习的一般认知规律。学生经历一系列的操作活动，如数一数、猜一猜、剪一剪、拼一拼等，这些过程，就是学生经历新知形成的过程，学生在掌握所学新知识的同时，又能体会到数学学习的乐趣。学生在亲历操作和沉浸式体验中，充分展现了自主学习和探究性学习的精神。

通过教师引导和学生的思考，学生能探索用转化的方法将未知的平行四边形面积转化成学过的长方形的面积来计算。但在学生转化之前，教师首先应让学生充分理解一些问题。第一，将平行四边形转化成长方形的这一过程，只是将平行四边形通过剪、拼转化成了长方形，其面积不变，即转化后的长方形和转化前的平行四边形面积大小是一样的。在这一基础上，学生通过观察、对比平行四边形和长方形，得出转化后得到的长方形的长就是原来平行四边形的底，长方形的宽就是原来平行四边形的高，因此推导出平行四边形的面积就等于底×高。第二，在学生操作、活动等过程中，教师应将转化的数学思想渗透到学生的心中。在学生成功完成转化之后，教师应适时引导学生思考：为什么要将平行四边形转化成长方形？思考这一问题的目的是让学生理解：因为求长方形的面积是我们已经能解决的问题，将未知的平行四边形的面积转化成长方形的面积，就是将未知问题转化成已知问题，从而解决新问题。教学中，我们应特别注意的是，转化不应该是教师提出的要求，而应该成为学生在解决问题过程中迫切的内在需要。否则，整堂课中，学生的动手操作、思考都将处于被教师牵着鼻子走的被动状态，学生对转化的理解也就只能停留于表面。

三、学以致用，解决问题

师：经过计算，我们发现五（1）班和五（2）班分到的种植地面积相等。下面请同学们运用这节课所学知识计算下列平行四边形的面积。（如图6）

图6

师：老师为大家的进步感到高兴，再出道题考考你们吧，可以怎样计算下面平行四边形（如图7）的面积？(强调：平行四边形的面积=底×底边对应的高)

图7

师：比较下面a、b、c三个平行四边形（如图8）面积的大小。你发现了什么？（等底等高的两个平行四边形面积相等)

图8

学生在层次鲜明、形式多样化的练习中，有效地巩固了本节课所学的知识，并在一定程度上提高了应用技能。教师通过让学生解决实际问题，增强了学生的应用意识，培养了学生发现规律、表达想法、阐明道理的能力，让学生感受到数学来源于生活、运用于生活。

四、总结全课，拓展提升

师：这节课，我们将未知的平行四边形，通过剪、拼等方法，转化成我们已知的长方形，成功推导出平行四边形的面积计算公式，用字母表示是S=ah。像这样把未知的知识转化成学过的与之关系密切的旧知识来进行研究，就是数学上常用的转化思想。希望大家在今后的学习中能够举一反三，运用迁移类推、转化等思想解决更多的数学问题和生活问题。

在此前的数学教学中，教师能将转化思想随教学内容渗透给学生，使学生对转化有了简单的认识，只是还停留在初识阶段。所以，在本节课的教学中，教师应让学生深刻体会运用转化思想解决问题的优势，进而加深其对转化思想的认识，并会加以运用，让转化的思想在学生学习中绽放美丽的数学之花。

最重要的是，在相关的知识教学中，如平行四边形转化成长方形的教学，在操作探究后，教师要让学生自主探讨、思考，从而得出正确的结论。教师在教学中，首先，应引导学生重点关注平行四边形和长方形的面积计算公式以及图形之间的变换等，即新旧知识之间的联系，什么不变，如何转化等。其次，教师应让学生在解决问题的过程中体会转化思想，掌握转化思想的方法。比如，教师可以在知识的巩固和运用阶段，巧妙地设计一些与新知相关的练习，让学生在实际问题的解决中进一步体会转化思想。