老师，这样做是否更简洁？——一道立体几何问题的求解

福建省福清第三中学高二6班 (350315) 魏佳雪 何 灯(指导教师)

2021年10月初，我校高二年进行了第一次的月考，数学单选的压轴题是一道空间线面成角余弦值的取值范围求解问题.在评讲试卷的时候，老师利用建系给出了该问题的一个解法，本人觉得老师的解法虽然常规，但是运算量较大，事实上，利用图形之间存在的相关关联，不需要太繁杂的计算，就能求解出该题.下面展示试题及其两个解法.

试题已知E、F、O分别是正方形ABCD边BC、AD及对角线AC的中点，将三角形ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为( ).

图1

解法一(老师的解法)：由于OC⊥OB,OC⊥OD，且OB∩OD=O，所以OC⊥平面BOD，所以平面ABC⊥平面BOD.在平面BOD内过O点作l⊥OB，因为平面ABC⊥平面BOD，且平面ABC∩平面BOD=OB，所以l⊥平面ABC.

解法二(本人的解法)：如图2所示，分别取AD、AO、AB中点H、M、G，连接FH、FM、FG、HG、GE.由于HG//BO，所以HG//平面BOD，同理可证FG//平面BOD，又HG∩FG=G，所以平面GHF//平面BOD，则直线EF与平面GHF所成的角等于为直线EF与平面BOD所成的角.因为OC⊥OB,OC⊥OD，且OB∩OD=O，所以OC⊥平面BOD，又平面GHF//平面BOD，所以OC⊥平面GHF，再结合GE//OC可得GE⊥平面GHF，所以∠EFG为直线EF与平面GHF所成的角.

图2

解题感悟：王安石在《游褒禅山记》中有这样的感悟：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.对于我们的解题而言，在正确求解的前提下，如能勤反思、善总结，往往能够获得“非常之观”，从而有利于我们水平的提升.

指导教师点评：魏佳雪同学的解法较常规解法(建系)来说，思维量较大，需要构造5条辅助线，但正因为她多想了一步，对题中的图形与数量关系进行了充分的理解，所以避免了繁杂的计算，简化了整个问题求解过程.

在教学过程中，教师可以尝试通过具体的问题情境，让学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划等认知活动和反思总结等元认知活动，在活动中明晰算理、拓展思维、积累经验、培养数学运算核心素养.