圆锥曲线的定义在解题中的应用

上海师范大学附属外国语中学 (201615) 程莉芳 董海涛

解析几何是沟通代数与几何的重要载体，是培养学生数形结合意识的重要素材.圆锥曲线性质与结论众多，题型灵活多变，且题目计算繁琐，因此在求解有关圆锥曲线问题时，笔者认为必须重视圆锥曲线的定义在解题中的应用.本文精选几例，以期引起大家对圆锥曲线数学定义教学的重视.

一、借助圆锥曲线的定义判断动点轨迹的形状

例1 已知复数z1=x+2+yi,z2=x-2+yi(x,y∈R)，且|z1|+|z2|=6，则动点P(x,y)的轨迹为.

二、联想圆锥曲线的定义探求动点轨迹的方程

图1

评注：当题目中涉及到动点、定点(特别是关于坐标原点对称的两个定点)时，首先联想圆锥曲线的定义，然后结合题目中动点满足的具体条件进行相应的转化，寻找动点与定点的距离和(差)的关系，最后将等量关系解析化，得出距离和(差)的关系式，轨迹形状就清楚了.

变式已知△ABC的两个顶点分别为A(-5,0)、B(5,0)，△ABC的内心在直线x=3上移动，求第三个顶点C的轨迹方程.

图2

三、利用圆锥曲线的定义转化求最值

例3 在抛物线y2=4x上找一点M，使点M到点F(1,0)和点A(3,2)两点的距离之和最小，并求这个最小值.

解析：如图3，不难发现定点F(1,0)为抛物线的焦点，可利用抛物线的定义，转化为点M到准线和点A(3,2)的距离之和最小，因为三点共线时距离之和最小，问题即转化为求点A(3,2)到准线的距离.可得dmin=|AA′|=4.

图3

例4 定长为4的线段AB的端点A,B在抛物线x2=y上移动，求线段AB的中点C到x轴距离的最小值.

图4

在平面几何中我们知道，平面中到两个定点A,B距离之和最小的点应在线段AB上，而到两个定点A,B距离之差最大、最小的点应在线段AB的延长线(或AB的反向延长线上).若要在圆锥曲线上求一个点，使其到两个定点的距离之和(差)有最值，但线段与圆锥曲线却没有交点时，如何利用圆锥曲线的定义进行巧妙的转化呢？

图5

评注：以上几例有关距离的最值问题是圆锥曲线中的典型问题，求解这类题目时，应根据圆锥曲线定义的几何特征，首先作出符合题目要求的图形，结合平面几何相关知识，借助圆锥曲线的定义，寻找动点满足的等量关系式，最后将等量关系式解析化.一般的，只要动点与其中一个焦点有关联，则应优先考虑圆锥曲线的定义.

四、借助定义确定切点位置

图6

解：由椭圆定义易得C△MF1F2=2a+2c,而ME=MG,F2G=F2F，F1E=F1F，所以F1M+ME+F1F2+F2F=2a+2c，即F1E+F1F=2(a+c)，所以F1F=a+c，即点F与点A重合.所以，圆O在x轴上的切点为点A.

图7

总之，圆锥曲线的定义是分析、研究、解决圆锥曲线问题的重要依据与手段，是圆锥曲线几何性质、定理的“起源”.正确对待定义、认真学好定义、恰当合理的运用定义，不但能够提高学生的解题能力，更有助于培养学生形成良好的数学思维习惯和数学素养，进而可以培养学生的创新精神.