2021年新高考Ⅰ卷第21题的探究

⦿江苏省沭阳高级中学 徐春华

1 试题呈现

(1)求C的方程；

2 试题背景及分析

2.1 试题背景

普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修4-4《坐标系与参数方程》第38页例4及其变式探究：如图1所示，AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的交角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

图1

教材中例4的类比探究题：把椭圆改为双曲线呢？抛物线呢？

2.2 试题分析

2021年新高考卷第21题是一道圆锥曲线大题，第(1)问比较简单，考查利用双曲线定义求方程，注意轨迹只是双曲线的右支.第(2)问在线段等积式条件下，求两直线的斜率之和，所求隐含斜率和为定值.第(2)问的几何背景是圆锥曲线上的四点共圆，结论是所成四边形的对边(不平行时)或两对角线所在直线的倾斜角互补，当斜率均存在时，所在直线的斜率互为相反数.

2.3 证明四个点共圆和推导四点共圆的充要条件[1]

几何法：四边形对角互补法，外角等于内对角，公共边法(同底同侧顶角相等的两三角形)，圆幂定理法[2](相交弦定理、切割线定理和割线定理的统一形式).

代数法：向量法，托勒密定理的逆定理，圆的定义法，特殊图形法(证明四点组成为矩形、等腰梯形等必有外接圆的图形).

2.4 解题思维导图

对于解析几何综合问题，求解步骤繁杂，计算过程偏多，借助思维导图可以大大提高教学效率，加深学生对问题的理解，本题分别从两小问出发，通过对条件的不同转化给出思维导图如图2所示.

图2

3 试题解析

解题准备：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|⟺kAB+kPQ=0⟺θAB+θPQ=π实现转化.

解法1：直接设直线法.

图3

如图3.由题意可知，直线AB与PQ的斜率一定存在分别设为k1,k2.

|TA|·|TB|

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

解法2：设点法——向量运算.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4).

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得

再结合解法1的方程，殊途同归！

解法3：用直线的参数方程及参数的几何意义求解.

直线与双曲线交于A,B两点，该方程有两个根，分别设为t1,t2.则

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，得

则cos2α=cos2β.又α≠β⟹cosα=-cosβ⟹tanα=-tanβ⟹kAB+kPQ=0.

点评:用交点T建立两条直线的参数方程.这样|TA|·|TB| 和|TP|·|TQ|的值可以用韦达定理得出，并且避免讨论直线斜率不存在的情况.

解法4：二次曲线系法.

|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|⟺割线定理A,B,P,Q四点共圆.

则A,B,P,Q四点的坐标满足如下表示直线AB,PQ的方程：

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|⟺割线定理A,B,P,Q四点共圆，所以上面这个方程表示过A,B,P,Q四点的圆，于是左边展开后x2,y2项的系数相等，且xy项的系数为零，得k1+k2=0.

点评:四点共圆的充要条件可快速判断圆锥曲线上四点共圆，但无法求出圆方程.而用曲线系即可判断四点是否共圆，还可求出圆方程.此题，两法联手珠联璧合，相得益彰！

拓展圆锥曲线上四点共圆的一般性结论与统一证明.

下面我们用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明.

定理若两条直线y=kix+bi(i=1,2)与圆锥曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四个交点，则这四个点共圆的充要条件是k1+k2=0.

证明：两条直线组成的曲线方程为(k1x-y+b1)·(k2x-y+b2)=0,则过四个交点的曲线方程可设为:(k1x-y+b1)(k2x-y+b2)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0

①

必要性：若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中xy项系数为0，即有k1+k2=0.

充分性：当k1+k2=0时，令①式左边展开式中x2,y2项的系数相等得：k1k2+λa=1+λb，联立解得

②

方程②的几何意义是如下三种情形之一：表示一个圆，或表示一个点，或无轨迹.由题设知四个交点在方程②所表示的曲线上，故方程②表示圆.

4 变式拓展

数学问题改编主要包含改变条件和改变结论两种基本方式，这两种方式是基于问题本身内容和结构而言，我们称为结构性改编．而笔者主要从试题难点和涉及技巧对问题进行变化研究．

变式1：若把条件点T所在直线，改为T为不在双曲线上的任意一点，斜率之和是否为定值？

解：设T(a,b),直线TA，TP的倾斜角分别为α,β.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β，

所以,cosα+cosβ=0.

则有,k1+k2=0.

上面就证明了T点在双曲线外的任意位置，结论仍然成立.再继续思考，巧了，这与平面几何中圆的切割线定理类似(如图4、图5).

图4

图5

上面的定理利用相似三角形的相似比容易得到证明.那么问题就来了，圆也有类似的结论，那么对于椭圆，有类似的结论吗？

变式2：若把此题背景换为椭圆.

变式3：初中学习过圆的相交弦定理，圆内的两条弦AB和PQ相交于点T，则TA·TB=TP·TQ.是否可以类比到椭圆中呢？

5 推广探究

结论1.若两条直线与二次曲线Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.

结论2.若两条直线与二次曲线Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的倾斜角互补.

结论3.设二次曲线Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：

(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；

(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；

(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0，且均互为相反数[3].

6 教学反思

对于圆锥曲线的综合问题，很多学生“有思路不敢算”“敢算又算不对”，所以正确率才一直不高，其实最主要的原因是“算理”不明，导致“算法”不灵！而很多教师讲解的时候，又恰恰喜欢只讲思路，不讲“算理”，让学生自己“狠”算.实际上，圆锥曲线的综合问题一般都有多种解法，算理也各不相同，只要明晰“算理”，优化“算法”，就能把握运算的方向和目标，既快又准地算出结果.在日常的教学中要帮助学生分析“算法”，解剖“算理”，并注重锻炼学生的运算能力[4].本文中通过对2021年全国数学新高考Ⅰ卷第21题的赏析，培养学生的数学核心素养，形成学生数学基本特征的思维品质，通过加强数学运算的培养，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.通过对四点共圆问题“一题多解”的研究，从多角度、多途径、多方式看待和解决问题，能提高和培养学生的数据分析、数学运算的核心素养.