圆锥曲线的切线方程的三种求法

周红芹

圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.

一、向量法

在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.

例1.已知圆 O 的方程是（x -a）2+（y -b）2=r2，求经过圆上一点 M（x0，y0）的圆的切线 l 的方程.

解：设切线 l 上任意一点 N 的坐标是（x，y）. 由（x -a）2+（y -b）2=r2得点 O 的坐标是（a， b），所以 O M =（x0-a，y0-b），M N =（x -x0，y -y0）.又因为 O M∙M N =0，

即[（x -a）-（x0-a）]（x0-a）+[（y -b）-（y0-b）]（y0-b）=0， 所以过圆上的点 M（x0，y0）的圆的切线 l 的方程是：

（x0-a）（x -a）+（y0-b）（y -b）=[（x0-a）2+（y0-b）2]，所以 l 的方程：（x0-a）（x -a）+（y0-b）（y -b）=r2.

由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N 的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.

二、导数法

我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.

例2.设 A， B 为曲线 C： y = 上两点，A与B 的横坐标之和为4.设 M 为曲线 C： y =上一点，C 在

M 处的切线与直线 AB平行，且 AB⊥BM，求直线 AB 的方程.

解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），

则 x1≠x2，y1= ，y2= ，x1+x2=4，

于是直线 AB 的斜率为k = x1-x2=4 =1.

由 y = ，得 y，= .

设 M（x3，y3），由题意可知： x3=1，解得 x3=2，

则 M（2，1）.设直线 AB 的方程为y =x+m，

故线段 AB 的中点为 N（2，2-m），MN =m +1，将 y =x +m 代入 y = 得 x2-4x -4m =0.  当Δ=16m +1>0，即当 m >-1时，

x1=2+2 或 x2=2-2 ，

从而可得AB=x1-x2=4 ，由AB =2MN 得4 =2（m +1），解得m =7，所以直线 AB 的方程为y =x +7.

在求得直线 AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出 M 点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.

三、几何性质法

在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到橢圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.

例3.求抛物线 C： y2=8x上经过点 M（8，8）的切线 l 的方程.

解：由抛物线 C：y2=8x 可得其焦点 F 为（2，0），准线方程为： x =-2，

过点 M（8，8）作准线的垂线，设垂足为 N ，则 N 的坐标为（-2，8），又设 FN 的中点为 P ，则 P 的坐标为（0，4），

故直线 PM 的方程为： y = x +4，

即 x -2y +8=0，

所以切线l 的方程是： x -2y +8=0.

我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.

相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.

（作者单位：江苏省阜宁中学）