混合式教学模式下的概率论课程实践

殷凤 王鹏飞

摘  要：混合式教学是一个新的教学模式，是线上教学和线下教学的有效衔接和深度融合。文章以概率论的混合式教学为例，谈论混合式教学需解决的问题、混合式教学需重视的关系和混合式教学的实践模式。强调混合式教学法的原则，线上教学坚持过程导向，线下教学坚持问题导向。提出混合式教学的三段式设计模式：线上教学设计——线下教学设计——线上教学设计。

关键词：混合式教学;概率论;教学实践

中图分类号：G642       文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）13-0102-04

Abstract： Blended teaching is a new teaching mode， which is the effective connection and deep integration of online teaching and offline teaching. Taking the mixed teaching of probability theory as an example， this paper discusses the problems to solve， the relationship to be attached importance to and the practice mode of the mixed teaching. The principle of blended teaching method is emphasized. Online teaching adheres to process orientation， while offline teaching adheres to problem orientation. This paper proposes a three-stage design model of mixed teaching： online teaching design--offline teaching design--online teaching design.

Keywords： mixed teaching; probability theory; teaching practice

2020年初，新冠肺炎疫情的爆发，打乱了旧的教学秩序，为了实现“停课不停学、停课不停教”，线上教学一跃成为了教学的主渠道，教师们先后尝试学习通、钉钉和腾讯会议等多种平台，通过直播或录播的方式进行教学与讨论，虽然是迫不得已，但却取得了意外的效果。新冠肺炎疫情改变了教学方式，也改变了教学理念，虽然线上教学已逐渐拉开序幕，但仍然存在不少的问题和缺点，当然，其优点也是传统教学所不具备的，它改变了教师的教，改变了学生的学，改变了学校的管，改变了教育的形态[1]。人类知识正在大幅度乃至成倍增长，更多的新知识包括课外活动被纳入教学体系[1]，有限的课堂时间不能满足学生学习的需要，所以线上线下混合式教学必将成为未来教学的常态化教学模式，如何做好线上线下混合式教学的合理更替与融合，是每一位高校教师将要面临的重大课题。

一、混合式教学需解决的问题

（一）树立变革意识

在大多数数学教师看来，一支粉笔、一块黑板的线下教学存在一定的缺陷，主要体现在不能让所有的学生在同一节课内取得相同的效果，虽然存在这样的共识，却仍对线上教学持有否定的态度， 他们认为，首先数学的课件不容易制作，即便制作好了，在线上直播或录播的时候，也很难体现数学的推导过程，错失了对学生逻辑思维的培养;其次，监管不力，学生不认真听讲、旷课和抄袭作业等现象会比较普遍;再次，课堂气氛淡，教师不习惯面对镜头授课，感觉教学没有温度和灵魂，更多的是自己在独白。其实，线上教学的优势很多，比如，一是反馈及时，可以随时收缴作业，完成批改，及时把信息反馈给学生;二是方便沟通，网络教学，人人都能直接“面对”老师，学生能及时提问问题，老师也能随时回复问题;三是没有干扰，不受空间距离和他人的影响，无论身处何方，想学就可以学习;四是可以回放，没有听懂或忘记的知识，可以随时回放视频，再現还原课堂。仔细分析原因，教师们墨守成规，不愿意接受新鲜事物，没有变革的意识，才导致一直坚持线下教学，不愿接受线上教学。在网络高度发达的今天，中国教育正发生着前所未有的变化，各种以网络为平台的培训、教育教学正如火如荼地进行着，中共中央国务院关于《全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》中提到了“教师要主动适应信息化、人工智能等新技术变革，积极有效开展教育教学”。所以，教师要紧跟时代的步伐，进行信息化教学实践，增强利用线上教学的优点解决线下教学存在的问题的意识。

（二）强化软硬件设备

疫情期间的线上教学，教师的硬件设备就是一台电脑，没有手写板、录屏设备等，基本上就是在读PPT，没有推导过程，缺乏过程性思维。软件设备就一个PPT课件，其他数学软件基本不涉及，课件就是课本内容的再现，缺乏可视化的、试验式的动画内容，缺乏适合线上教学的理念。另一方面，教学设计仍然沿用线下的“是什么、怎么想、为什么、怎么样”的教学模式，没有思考线上教学如何设计、线下教学如何设计，线上教学讲什么内容、线下教学讲什么内容，以及线上教学和线下教学如何结合。要想完成混合式教学，不仅需要必不可少的硬件设备，还需要教师具备过硬的专业素养，掌握相关的计算机及软件技术，能将信息技术应用到教学实践中去。

（三）建设优质平台

学习通、钉钉和腾讯会议作为远程会议或培训开发的平台，用于线上教学都存在一定的缺陷。学习通直播性能较差，不擅长生成和观看回放，直播的优点是可以师生互动，可以监控学情、模拟线下场景，教师和学生的互动，有利于活跃课堂气氛、提升学习效果。钉钉不善于随堂测验、布置作业， 作业不独立，大家互相可见，使得抄袭成为可能，不利于独立思考、合作探究，不利于培养创新思维。这些平台都缺少对测验、作业的考核结果分析系统，不能准确及时地了解学生掌握知识的情况，不利于分层次、分类别下达任务和推送问题。同时不支持数学公式的编写，不利于数学问题的在线讨论交流。应该建设方便使用、方便互动、方便测验和方便文字交流，能对测验结果分析、学习情况监控及学习能力分层的学习平台。

（四）构建评价机制

目前学院教学评价机制包括“三级”听评课制度、教学督导制度、教学指导制度、学生信息员制度、学生代表座谈会、教师代表座谈会和教学常规检查等，信息反馈机制相对不健全，导致授课教师无法准确、及时掌握评价结果。主要存在几个原因：学生不够重视、评价指标不明确、评价方法不科学、反馈信息片面化及反馈信息有拖延。基于目前存在的问题及线上教学的需要，建立科学实用的网上评价机制，设置科学的问卷调查，每节直播课结束时，自动弹出问卷调查，学生与听课教师及时填写问卷，把填写问卷调查作为签到的方式，及时客观真实地反映课堂教学情况，加速课堂教学改进的步伐。

二、混合式教学需重视的关系

（一）统一与差异的关系

课程负责人根据人才培养方案，组织制定满足师范认证标准、满足“三全育人”理念、满足“大思政”课堂要求的教学大纲和考核要求，统一教学目标、教学进度、考核方式和考试内容。

在教学过程中，一方面要求实现“知识与技能、过程与方法、情感与态度、价值观”四维度的教学目标，另一方面要明确“是什么、为什么、怎么样”三大哲学性的问题。具体授课过程，要根据任课教师的认识，发挥自身的优势，打破过往“定义、定理、证明、例题”单一死板的教学模式，实现“大思政”课堂为前提的百家争鸣、百花齐放教学新局面。考核方式按照“实践性作业（15%）+开放性作业（15%）+平时作业（10%）+期中测试（10%）+期末考试（50%）”模式计算，期末试卷统一命题，平时作业、期中测验、实践性作业和开放性作业可根据各班实际情况进行，既能保证基本理论的掌握，也能实现拓宽知识的宽度、挖掘知识的深度，真正实现因材施教的局面。但期中考试和平时测验要尽量避免和期末考试雷同。

（二）局部与全局的关系

受时间和空间的限制，不管是期中考试，还是期末考试，一两份试卷不可能全面考核所涉及的知识，只是对学生局部的知识理论考核，所以不能客观真实地反映学生的学习状况和教师的授课情况。线下课堂教学也很难实现分层次教学，不能照顾到每个学生的学习情况，很难满足所有学生的需求，对于一些基本概念，学生预习的时候已经完全掌握，教师还要重复去讲，导致一些学生产生了不耐烦的心理，影响了学习兴趣的激发。另有一些问题，能力强的学生听一遍就懂，能力差的听两遍还是云里雾里，教师选择讲或不讲都不能满足全体学生的需求，这就需要线上教学的补充。另外，线上教学可以进行期中测验或随堂测验，利用平台进行数据分析，掌握学生的学习情况，差一点的学生，布置相对容易的探讨题、浅显的应用题;好一点的学生，布置相对有深度的问题、复杂的应用题，这样能照顾到所有的学生，让学生各取所需。通过分层次作业、多次测验实现对学生全局的知识理论考核，激发学生的学习积极性、拓展学生的视野，解决了传统教学一刀切的作业和考试弊端，实现了因材施教。

（三）有法与无法的关系

著名的教育家叶圣陶说过“教学有法、教无定法、贵在得法”，不管是线下教学、还是线上教学，都需要抓住教育的客观规律，任何学科的教学都有规律可循，但在具体的教学过程中又不存在一成不变的教学方法，一切都因人而定，因内容而定，因环境而定，要紧盯情景体验，根据学情合理地选择、使用适合学生的方法。不同的老师有不同的个性特点，必然形成不同的教学风格，不同基础的学生，能力有很大的差距，需要不同的教学方法。只要方法具有科学性、兴趣性、实效性，从学生自身知识储备出发，符合学生的生理和心理发展规律，有利于学生健康持续发展，就都是得当的教学方法。

（四）线上与线下的关系

在旧的教学秩序下，概率论课程教学实行“五步”教学法，即1退——退到源头，认识产生原因;2理——理清原理，掌握数学思想;3译——破解要点，挖掘知识深度;4推——改变条件，拓展知识宽度;5用——回归生活，解决实际问题。在新的教学秩序下，1退、2理、3译实行线下教学，4推、5用實行线上教学，线下采取传统教学，授课时间长，梳理产生原因，解释原理过程，渗透思想方法，集中精力打基础;线上采取慕课教学，授课时间短，拓宽知识宽度、解决实际问题，通过碎片化学习，实现知识的全面性，培养学生的创新思维，这样既解决了课时数紧缺的问题，也能保证授课的完整性，同时也能实现各自教学环节的独立性，混合式教学方法的应用，为学生构建了一个立体化的教学情境[2]。

1. 线下教学，坚持问题导向

（1）发挥教师的主导作用

通过课前预习，学生初步了解授课内容，掌握基本的原理，并提出相关的问题，整理并通过网络送达教师，教师根据课前预习反馈的信息，确定教学重点和教学难点，设计课堂教学方案、准备课堂提问问题，在课堂教学中，从现实问题出发，以学生所提问题为导向，在教师的组织引导下及在学生的积极参与下，完成1退、2理、3译的线下教学任务。

（2）体现学生的主体地位

在课堂教学中，舍弃传统的教师讲、学生听的粗犷又单调的教学模式，以问题为主线，以学生为主体，通过充分分析问题、总结规律、猜想结论和猜想证明方法，在教师引导下实现自我分析问题、自我思考问题和自我解决问题，让学生成为课堂的主人，让学生体会解决问题的成就感，激发学生的学习热情。

2. 线上教学，坚持过程导向

（1）利用模拟仿真，实行可视化教学，把抽象的数学概念、数学结论生动化，增加趣味的同时，强化视觉冲击，提高对概念、结论的认识。

（2）通过模拟演示，实现体验式教学，在多次试验中统计试验结果，发现试验规律，得出相关结论，增加体验感受，加深对知识的理解。

（3）线上知识拓展，利用测验板块，提出一些开放性的问题，布置一些应用型的问题，要求整体的章节小结，通过分组讨论或个体作答的方式完成。

三、混合式教学在概率论课程中的实践

（一）课前线上教学设计

1. 提前布置学习任务和目标

提前三四天通过网络平台发布即将授课的学习任务和目标，给学生指明预习的方向，让学生带着任务自学，对所學内容有整体的了解，形成自己的认识，提出相关的问题。

例如，在学习随机事件及其运算之前，给学生布置一些任务：（1）随机试验的特点，给出随机试验的生活实例;（2）一个随机试验是否对应一个样本空间，并举例说明;（3）事件和运算与差的运算等式是否可以两端移项，并给出相应的说明;（4）事件的和运算与差运算是否满足结合律，用事件的运算含义给出解释。在学习随机变量分布函数之前，给学生布置任务：（1）随机变量的分布函数能否改为左连续？如果可以，如何用分布函数表示随机变量取值的概率？（2）二维随机变量的联合分布和边际分布是否具有同样的分布属性？并举例说明。

2. 收集学生预习的反馈信息

学习委员收集全班学生预习的反馈信息，归纳整理，提前一天把信息反馈通过网络平台提交给授课教师。反馈信息是教授教学设计制定、教学重点和教学难点制定及课堂问题设置的依据，所以，反馈信息必须全面、准确。

3. 确定教学重点和教学难点

教学的重点和难点不只是针对教材本身而言的，教师要结合学生的实际情况，制定相应的教学重点和教学难点。教师通过课前信息反馈，结合前期对学生认知水平的了解，制定相应的教学重点和教学难点。

（二）课中线下教学设计

1. 知识产生的源头

通过探寻知识的产生源头，帮助学生掌握知识产生的背景，分析已有的条件，培养猜想的意识，提升自学探究能力。例如，在讲授全概率公式时，通过生活实例引出全概率公式，例一，通过抓阄的办法决定中午去哪个餐厅吃饭，共有3个阄，3个阄分别对应3个餐厅，只有一个学生抓阄，问该同学抓到他想去的餐厅的概率是多少？学生一定知道是1/3。例二，通过抓阄的办法决定中午去哪个餐厅吃饭，共有3个阄，3个阄分别对应3个餐厅，三个学生一次抓阄，问每位同学抓到他想去的餐厅的概率是多少？如何计算？在教师的引导下，学生们自然能够正确求出最后的结果。

2. 理论推导的过程

通过对前面猜想的证明，培养学生严谨的推理能力、细致分析能力、敏锐的洞察能力。

通过对上述两个例题的分析，在教师的引导下，学生们能够找到解决问题所需要的条件，对任意问题，对任意的随机事件，只要满足上述条件，就能猜想得到最后的结论，就是要学的全概率公式。

3. 数学思想的呈现

通过对知识的发现过程、产生背景和证明过程的分析，提炼数学思想，为解决问题提供技术支持。

对上述猜想结果进行证明，进一步总结出关键词：划分（互不相容）——完备事件组。

总结出基本思想：整体——部分——整体（否定之否定哲学思想）。

4. 数学条件的挖掘

通过分析证明过程，明确哪些条件是必须有的，哪些条件是可以没有的，减弱条件形成推广，培养学生的科研能力。

返回头再看证明过程，哪些条件是必要的，哪些条件是充分的，必要条件的是不可替换的，充分条件是可以减弱的，分析得出：B1，B2，…Bn是完备事件组是不必要的，互不相容是必须要有的。

将完备事件组改为任意事件                 ，事件的个数可以是有限个，也可以是无限个，于是可以给出三个全概率公式推广定理。进行课堂练习，举两个生活实例，例一，假设教室的粉笔来自三个不同厂家甲、乙、丙，三厂家提供粉笔的合格率分别为98%、95%、96%，三个厂家提供粉笔数量分别占总数的40%、30%、30%，则任取一盒封笔，合格的概率是多大？例二，假设班里有10个乒乓球，7个是新的，3个是旧的，第一次任取3个，打完后放回，假设没有坏掉，第二次再取3个，问3个中有2个是新球的概率多大？通过课堂练习，总结出找完备事件组的方法：（1）利用产生该事件的所有可能原因找完备事件组;（2）利用前一事件的所有可能结果找完备事件组。

（三）课后线上教学设计

1. 模拟仿真，概念生动化

利用计算机编程模拟探讨概率问题，将计算机生成随机数的结果通过动画形式展现出来，把抽象的问题具体化，直观理解概率论中的基本概念，激发学生的兴趣，明确几种重要分布图像及其关系，实现直观视觉。

例如：在学习完二项分布、泊松分布及超几何分布以后，通过计算机模拟仿真，形成动态的分布图，观察二项分布的性态，探讨二项分布概率达到最大值时的条件和分布图为对称图形时候的条件、泊松分布概率达到最大值时的条件及泊松分布近似计算二项分布和超几何分布的条件。

2. 模拟演示，结果可视化

利用计算机编程模拟探讨概率问题，通过试验过程与结果将随机试验可视化，既能检验事件概率计算的正确性，又能明确频率和概率的关系。

例如：通过计算机编程，进行大量的重复模拟随机试验，统计某一个事件出现的频数，计算出频率与概率的理论计算进行比较，验证了事件的概率，明确了频率和概率的关系。

3. 知识拓展，理论外延化

通过条件的改变、概念的对比、内涵的挖掘，推演新型定理、命题、结论，提升对理论的理解。

例如：在学习事件独立和不相关之后，讨论三个事件两两独立和三个事件独立的关系，证明或举例说明;讨论三个事件不相关和三个事件两两不相关的关系，证明或举例说明;讨论两个事件不相关和两个事件独立的关系，并加以证明;在学习分布函数、密度函数以后，探讨联合分布与边际分布的关系，并加以证明;在学习随机变量数字特征之后，讨论数学期望和方差的定义中为什么要求无穷级数或无穷积分绝对收敛。

4. 知识实践，理论生活化

通过实际问题的解决，强化理论联系实际，实现理论知识的应用价值。

例如：在学完全概率公式和贝叶斯公式以后，让学生用全概率公式解决2016年巴西里约热内卢奥运会女子排球比赛，在中国女子排球队、美国女子排球队、荷兰女子排球队和塞尔维亚女子排球队都进入半决赛的前提下，半决赛中国女子排球队对阵荷兰女子排球队，美国女子排球队对阵塞尔维亚女子排球队，此时中国女子排球队夺冠的概率是多少的问题;让学生用贝叶斯公式解释“烽火戏诸侯”的典故中，为什么在周幽王点燃烽火后诸侯都不前去救援的原因。除此之外，还可以用概率原理解释生活谚语， “先下手为强，后下手遭殃”“三个臭皮匠胜过诸葛亮”“只要功夫深、铁杵磨成针”“韩信点兵、多多益善”“三人行必有我师”，这样既能掌握理论知识的应用价值，也能从中悟出一些人生哲理，实现社会主义核心价值观的教育。

虽然混合式教学处在摸索阶段，理论体系和实践经验还有不足，但短短的教学体验颇为丰富，采用“课前-课中-课后”的立体化、混合式的教学模式[3]，能降低学生学习的认知负荷[4]，能给学生足够的自主学习空间，能培养学生的自主思维意识，能提升学生对知识的认知水平，符合师范专业认证的理念——“学生中心，产出导向，持续改进”。

参考文献：

[1]徐长永.后疫情时代“高等数学”混合式教学初探[J].黑龙江教育（高教研究与评估），2021（1）：62-64.

[2]张登华，岳红英，高钦.混合式教学在高等数学教学改革中的应用[J].教育教学论坛，2020（13）：272-273.

[3]王芬，张少艳，吴小英.混合式教学模式下概率论与数理统计课程的改革与实践[J].高教学刊，2020（28）：86-88.

[4]张锦，杜尚荣.混合式教学的内涵、价值诉求及实施路径[J].教学与管理，2020（3）：11-13.