让知识巩固与方法掌握同行——以“平面图形的认识”的整理与复习为例

江苏灌南县新安镇中心小学（222599）于小燕

在“平面图形的认识”复习课一开始，教师先点明了课题，引导学生回忆所学过的各种平面图形，然后板书课题——“平面图形的认识”的整理与复习，由此展开本节课的复习教学。

一、从“角”的角度整理归类

生2：能拼出直角三角形和钝角三角形。

师：这就奇怪了，为什么在直角和钝角上加一条线段只能拼出一种三角形，而在锐角上加一条线段却能拼出三种呢？

师生小结：这主要与三角形的内角有关，由于三角形的内角和为180°，于是可以派生出许多推论，如任意一个三角形至少有2个内角是锐角，至多只能有1个内角是直角或者钝角，最大角是什么角，三角形就属于同名同类的一类三角形。

教师板书：三角形的内角和为180°，至少存在2个锐角。

师：如果按照内角的大小来分类，三角形可分为三大类，可以画图表示它们的种属关系（如图1）。

图1

【设计说明：本环节以“在锐角上加一条线段拼成三角形”进行导入，再让学生在直角和钝角上加一条线段拼成三角形，并通过对比，使学生产生“在不同的角上搭建三角形，其形状不一”的认知，然后顺势而为，让学生对三角形进行分类。通过对在不同类型的角上搭建三角形的操作与对比，激发学生的好奇心和探究欲，使学生的思维沿着“回忆—应用—整理”的逻辑轨道顺利发展。】

传统复习课中，教师大多是让学生将学过的知识重新回顾一遍，或者简略地归纳一下，这种复习很难激起学生的学习兴趣，不能起到巩固旧知的作用，甚至还会让学生产生厌烦和抵触情绪，使原本较为稳固的知识结构变得松散。科学的做法是让学生在富有新意的训练中一步步根据需要启用旧知，而且这还不能是一般的简单应用，应该在学生毫不知情、毫无预兆的情况下出示新题、难题，让学生苦苦思索无果后，能猛然想到曾经学过的看似无用的知识才是解决问题的“金钥匙”。唯有如此，学生才会意识到原来不是知识无趣，而是自己没有领会到其中的奥妙。这样，等到问题迎刃而解，学生不仅进行了深度的训练，而且巩固了旧知。

二、从“边”的角度整理归类

1.以边的长短来划分类别

师：刚刚我们从“角”的角度给三角形分类，若要以“边”的长短划分类别，又该如何操作呢？

师（出示图2）：哪三条线段可以成功围成一个三角形？请说出围成的三角形的形状，然后反馈交流。

图2

生1：用三条3厘米长的线段可以围成一个标准的等边三角形。

生2：我还能围成一个标准的等腰三角形。

师：如果要围成等腰三角形，需要用到哪几条线段？

生3：“4，4，3”、“3，3，4”和“4，4，6”。

生4：还有“3，3，6”。

生5：“3，3，6”这个不行，因为3+3刚好等于6。三角形的三边长存在着相互制约的关系，它们首尾相连，两两相接，任意两边的长度之和要大于第三边。

生6：如果选用“3，3，4”组合，拼出的就是锐角三角形。

师：你敢肯定吗？

生6：有八成把握，但不能说十拿九稳。

师：根据三角形的三边长度比例，的确可以推测出各个角的类型甚至具体度数，但这是初中的课程。

师：刚才有同学能依据边长推断角的类型，请说说“4，4，6”和“4，4，3”这两种组合围成的三角形在形状上有何区别？

生7：“4，4，6”这种组合下的三角形很低矮，其形状极有可能是钝角三角形。

生8：“4，4，3”这种组合下的三角形就显得高耸，其形状极有可能是锐角三角形。

师：刚才拼出的三角形都是特例，有没有常规的？

生9：“3，4，6”这种组合下的三角形就是一般三角形。

师：能够围成三角形的充要条件是什么？

生10：任意两边之和大于第三边。

师：三角形三边的长度一旦确定了，三角形的形状和大小也就无法改变。正因为如此，所以三角形具有稳定性。谁来举例说明三角形具有稳定性？

在复习三角形三边的关系时，如果直接引出“三角形任意两边之和大于第三边”，那么学生会感到索然无味，不仅如此，即使学生将这句话背诵几百次，或者教师反复演示讲解其中的原理，学生也未必会开悟，即使教师讲述清楚，学生也只是当时明白，时间久了就会淡忘。复习时，需要强烈的信息源和探究动机来刺激学生的神经，这种重新解析不是零基础的，也不是完全的重学，而是带有原来的操作经验和直觉印象，学生在利用已经给定长度的线段拼出三角形时，会自觉唤醒原有经验，密切注意到三边之间的关系，即使事前不能预测，但是，一旦遇到无法拼成三角形的情况，他们通过对比、联想、回忆，马上就会幡然醒悟：原来能否拼成三角形与其三边长度有莫大关系。

2.整合三角形的关系

师：请将按边分类和按角分类统整为一个集合来表示它们的种属关系。

（学生画出两种图案，如图3所示。）

图3

师：这两种图案的共同点是什么？

生1：将等边三角形归置于锐角三角形内，等腰三角形与三种类型的三角形均交叠。（其他学生都表示同意）

师：还有别的不同意见吗？

生2：因为等腰三角形与等边三角形存在交集，也就是有些三角形既是等腰三角形又是等边三角形，所以我赞同第一种。

生3：我反对！等边三角形统统属于等腰三角形。我觉得两个都画错了。

生4：应该把等边三角形完全归置于等腰三角形区域中，同时又要将其完全归置于锐角三角形区域中，因为等边三角形既是等腰三角形又是锐角三角形。（板画出图形，如图4）

图4

师：这样画，等边三角形、等腰三角形、锐角三角形之间的关系全部厘清。看来画对几何图形不容易，要有全局观。

3.整理方法回顾

师：刚才我们是如何一步步整理和复习三角形的知识的？

师：从三角形的角、边入手，系统全面地回顾了它们的特点，理顺它们的种属关系。这也是复习平面图形的一种方法。我们能否用同样的方法来整理四边形？

【设计说明：本环节相当于二次操作，只不过切换了角度，从“边”的角度通过“回忆—应用—整理”来复习三角形的相关知识，并最终与角的分类顺利“汇合”。双线叙事下演绎复习思路，能够让学生在头脑中形成复习“图形与几何”的基本操作模式，即通过对图形的特征研究和辨别来给它们分门别类。值得赞赏的是，两种分类方法本是孤立并存的，本环节将它们熔为一炉，通过“等边三角形的双重属性”打通二者之间的壁垒，让学生在辨析中学会统筹考虑问题。】

复习具有巩固、梳理、整合三大功能，很多教师认为整合就是简单的归整，这是不科学的，如果只是对分散的知识点进行简单的拼组，其内部结构还是松散的。如三角形的分类，可以按角分类，也可以按边分类，如果只是将两种分类方式打包成一个分类主题，那么学生的认知水平并未得到提升。但是，如果将两种分类方式互相渗透，创造出一个新的分类方式，那么不但可以达到对分类这个旧知的整合，而且能够让学生的思维更加缜密，学生对三角形的形状和性质也会有更加全面、深刻、系统的认知。比起简单的知识重组与合并，无论是在广度还是在深度上，这才是卓有成效的复习。

三、独立整理四边形

师：我们已学过的四边形有哪些？回忆其特征，画出分类集合图。

板书：

图5

师：根据集合图回答下列问题。

（1）梯形和平行四边形最明显的不同之处是什么？

（2）“正方形和长方形是特殊的平行四边形”这种论断的理由是什么？

（3）“正方形是特殊的长方形”这种论断的理由又是什么？

师：平行四边形的两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行，另一组对边不平行，它们在四边形这个集合中属于特例。

【设计说明：本环节从“边”和“角”两个角度整理复习四边形。学生在独立整理的时候自觉应用前面学过的平面图形基本复习模式，既能复习关于四边形的旧知，又能及时总结复习平面图形的方法。】

四、复习策略总体构想

复习课主要有三大任务：一是对学生的已有知识进行摸底，及时修补漏洞，同时帮助学生梳理所学知识，弄清知识的发展脉络，形成知识体系；二是训练学生的动手操作能力和解题能力；三是进行复习方法指导，教会学生自学、自习。这些任务的完成离不开教师。

第一，复习需要分层落实。本课教学有两大主轴：一是知识层面，将分散的知识点串联起来；二是方法层面，让学生慢慢体验和逐步掌握复习方法。

第二，复习材料需要切合知识本身。教材上的知识点较为分散，时间跨度大，如何在短时间内集中全面地复习？复习材料的选择极为关键。在本课中，选取三角形的“角”和“边”两种分类方式作为基本材料展开复习，并将按角分类和按边分类整合在一起，于是，在自主整理复习四边形时，学生依葫芦画瓢，有模有样。以平面图形的边和角作为典型材料来展开复习，让整节课条理清晰、层次分明，以一个爆发点辐射到整个知识面，提高了复习效率。

第三，复习应重在方法。本节课严格遵照“回忆—应用—整理”的模式展开复习，在授课过程中出示的素材十分开放，学生有很大的自主权，可边复习知识边应用。通过复习，学生的知识得以巩固深化，复习的方法和经验也得到了显著提高。