2019年浙江省高考数学第21题的探究与拓展

施利强 江战明

本文以2019年浙江省高考数学第21题的圆锥曲线试题为例，探究问题的本质，并从多角度进行拓展.

1 试题再现

如图1，过焦点F（1，0）的直线与抛物线y2= 2px（p>0）交于A，B两点，点C在抛物线上，AABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q（点Q在F点右侧）.

（1）求抛物线的方程及准线方程;

（2）记AAFG，△CQG的面积分别为S1，S2，求S1/S2的最小值及此时点G坐标.

1.1 试题解读

本题考查了抛物线的几何性质、在直线与抛物线相交背景下求两三角形面积比的最值问题，主要涉及直线与抛物线的位置关系等知识点，本题是圆锥曲线中的“非对称性问题”，主要涉及圆锥曲线中设点、设直线的切入问题，其最大难点在于三角形面积的表示以及复杂的函数运算以及最值求解.

1.2 试题解析

本题求解的切入点比较宽泛，可以设直线、可以设点、也可以通过面积比值化简后再进行最值运算，但三种方法没有大的本质区别.最终都是殊途同归通过函数求出面积比的最值，笔者將进一步挖掘问题的本质并进行拓展.

2 试题拓展

2.1变定曲线为任意抛物线

变式1如图1，过焦点F（P/2，0）的直线与抛物线y2= 2px（p>0）交于A，B两点，点C在抛物线上，AABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q（点Q在点F右侧）.记△AFG，△CQG的面积分别

评注 本题将抛物线改为任意抛物线，其它条件不变，发现跟原题的结果是一致的，并求得此时重心坐标为G（p，0）.

2.2 变定点为任意点

变式2如图2，过x轴正半轴上定点P（s，o）的直线与抛物线y2= 2px（p>0）交于A，B，点C在抛物线上，AABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q（点Q在点P右侧）.记AAPG，△CQG的面积分别为S，S2，求S1/S2的最小值及此时点G坐标，

答案：G（2s，0）.

评注 变式2计算的核心与变式1类似，因此笔者只给出答案，以下同，本题在变式1的基础上进一步将条件改编，将定点变为数轴正半轴上的任一点，发现结论也是一样的，让人联想到本题的结论与定点的位置并无关系，

评注 本题将问题放到椭圆中，椭圆比抛物线有更多的对称性质，题干中略去了焦点位置关系的条件，改为A，C两点的位置关系，求解得到面积比的最值，跟抛物线中的结论一致，与抛物线中不同

评注 本题在变式3的基础上再进一步加强了条件，定点变成了椭圆长轴上的非焦点，此时要取到面积比的最值需要保证定点的范围.

3 背景探究

在对本题的一题多解探究和变式研究过程中，不难发现该模型在不同条件下面积比的最小值是不变的，因此这个问题应该有更深的背景.

3.1 条件探究

注意到原题中条件“点Q在点F点右侧”，由对称性不妨假设Yi>O，然后分四种情况进行讨论，

①当Y128时，由解法3可知两面积比为：

从上述讨论可以看出本题中条件“点Q在点F右侧”的必要性，缺少这个条件将要讨论最值取等的条件，进一步画出面积比的函数图象，从图象可以看到存在两个极值点xA=√3-2，XB=√3-2，而题给条件是将比值限制在了极值点所在区域内，

4 总结反思

从上述探究不难发现，本题的模型可以从抛物线上三点推广到椭圆或双曲线上三点，也可以拓展到任意三点，直接“架空”曲线，从这个角度讲，本题失去了圆锥曲线解析的本质，但确实给人以耳目一新的感觉，或许试题已经很难用“难或简单”加以评论，因为它本身就是在考查学生的综合素养，那么，如何在有限的时间里，实现“透过表象看本质”？相信只要在平时的教学过程中注重对问题本质的探究，注重学生发散性思维的培养，注重学生核心素养的提升，那么还是有可能快速破解此类问题的，或者至少会进行多角度尝试并简化运算，7AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E