偏好、强序刻画和社会选择形式空间等价

肖莉娜,卢美华

(江西科技学院理学教学部,江西 南昌 330022)

0 引言

Arrow不可能性定理有70多年的研究历史，已经有一些具体证明，但各种证明都有一些瑕疵[1].如直观上非独裁性的约束非常弱，而独裁是强约束条件，本质上独裁函数个数是可列举的，并且独裁约束矛盾于其他所有约束公理，从而逻辑上其他约束公理不可能推导出独裁性，但它们与非独裁性又不相容.在Arrow不可能性定理的证明中，J. Geanakoplos[2]已经归纳出2种路径:一种是K.J. Arrow等[3]基于决定集的证明,另一种是S. Barberá等[4]依据关键投票者(Pivotal voters)的证明;Yu Ning[5]归纳了3种具体实现的方法.事实上，每隔10年,都会有著名的学者提出新的证明方法[6-11],并于2014年5个诺贝尔经济学奖获得者再次讨论了Arrow定理的证明[12].在这些文献的证明性过程中克服一个瑕疵,但又会产生另一个瑕疵.近期，左勇华等[1]指出:在本质上该问题是一个公理系统的相容性问题.而Hu Liu[13]采用了形式语句刻画给出了逻辑形式的证明，也预示了Arrow定理证明需要借助元数学模式.

由于Arrow定理涉及整个社会科学的逻辑基础，所以能否进行构造性证明或证明其不成立,除各社会科学外对决策理论最为重要，尤其是群决策理论[14].同时，考虑其保障存在性的约束公理配置，这里至少是一个重要的机制设计方法.同时Arrow定理的证明和偏好刻画方法十分相依，为厘清Arrow定理的技术环节，本文基于强序标定投票者条件，构造问题空间，证明相互包含性和自包含性，为Arrow定理研究提供了一个简化途径，并且也能预示着群决策模式能处理好单决策模式，更是落实文献[1]提出的公理形式化思路.

1 社会选择框架

1.1 基本知识

为刻画社会选择函数(简写SCF)框架，需要规范刻画偏好、序、强序、弱序、偏序、全序、模等基本概念.偏好是一个经济学概念，依赖序的刻画，在对偏好进行公理化刻画后偏好至少是一个偏序，而规范刻画这些概念的基础为关系代数.另外，严格偏好是不包含无差异关系.由于不同文献对于偏好、强序、弱性等的刻画具有较大差异，因此本文给出一些基本概念、符号及其说明.

对于泛指的有限集合S,‖S‖表示S中元素个数，被称为S的范数.对于泛指关系R,即给定集合S,S上二元关系R是S×S的子集，若a、b∈S满足(a,b)∈R⊂S×S,则称a关系R于b,在不产生歧义情况下也称a和b之间有关系R.为方便表述，若a对于b有关系R,则记为aRb;若a对于b没有关系R,则记作aRb.另外，泛指R特性:(i)∀a∈S,⟹aRa,称R在S上满足自反性;∀a∈S,⟹aRa,称R在S上满足非自反性.(ii)∀a、b、c∈S,由aRb、bRc⟹aRc,称R在S上满足传递性.(iii)∀a、b∈S,a≠b,若aRb⟹bRa,则称R在S上满足对称性;∀a、b∈S,a≠b,若aRb⟹bRa,则称R在S上满足非对称性.(iv)若∀a、b∈S,a≠b,必有aRb或者bRa,则称R在S上满足完全性.

泛指R在S上具传递性，称R为偏序；泛指R在S上具传递性和完全性,称R为全序；泛指R在S上具自反性、传递性和完全性，称R为弱序；泛指R在S上具非自反性、传递性和完全性，称R为强序.显然，弱序、强序都为全序.泛指R在S上具自反性、传递性、对称性，称R为等价，并记为“～”,“～”未必为全序.由于偏好满足具自反性、传递性和完全性，所以本文所称偏好序均为弱序.另外，关系可以进行衍生、分解、诱导等构造.如“≼”=“”,R=P∪I,“”=“≻∪～”,后续含义自明.

1.2 SCF的强序构造

自然数实体可从广为所知的皮亚诺公理出发来构造.自然数是一个集合N，它满足以下公理:(i)0∈N;(ii)若x∈N，则后继性x′∈N(后继的存在)，并且∀x∈N，有x′≠0.于是可形成一个实证性构造，0:=∅,1:={∅};2:=1∪{1}={∅,{∅}};后续采用后继的归纳定义3:=1∪2∪{1,2}={∅}∪{∅,{∅}}∪{∅,{∅,{∅}}},依照定义规则，若已经定义好了n,则如下定义n+1:=1∪2∪…∪n∪{1,2,…,n},这样每个自然数是一个实体性集合对应物,其中逻辑语句“:=”表示“定义为”.以上定义能形成实体性自然数，也就排除了实无穷，并且每个自然数是实体性对象的实体集合.不过，这种力求避免任何数理逻辑矛盾的构造行为形成了极大的书写困难.

为构造SCF的形式框架，以A(alditinative)表示标度性备择物集，以V(Voter)表示标度性投票者集，一般地,SCF不是采用individual,而是直接考虑投票.本文采用文献[7]的Voter表达,并记(A,V)=∪(Ai,Vj),其中(Ai,Vj)表示Ai中有特定个数的i个备择物，Vj中有特定的j个投票者.一般地，可以直接构造出(Ai,Vj)的实体性备择物和实体性投票者(见实体自然数的定义)，但考虑自然数的实体形式化构造的书写极其复杂，直接简化备择物记为Ai={α1,α2,…,αi},并简化投票者记为Vj={β1,β2,…,βj}.∀β以及∀Ak,∃R为相关偏好序，即任给投票者β在任给备择物集Ak上都有一个偏好序R满足自反性、传递性、完全性.为了简化,R直接用≼表示其弱序关系,并且以证明需要适时分解为R=P∪I,前者为严格偏好，后者为无差异,其中严格偏好P满足非自反性、传递性、完全性并直接用表示为强序关系,I满足对称性、自反性、传递性并直接用～表示为等价关系(无差异关系).另外，还采用、≻等符号表示相应的逆关系，其含义上下文是自明的，并且显然有“”=“≻∪～”.

定义1给定(Ai,Vj),(i)称PSCF(Ai,Vj)={R1,R2,…,Rj|1≤k≤j,Rk为Ai上的弱序}为(Ai,Vj)上的SCF的问题空间，记为PSCF(Ai,Vj);(ii)称∪i,jPSCF(Ai,Vj)为SCF问题全空间，记为PSCF;(iii)称PST(Ai,Vj)={(p1,p2,…,pj)|1≤k≤j,pk为Ai上强序}为(Ai,Vj)的SCF加强空间，记为PST(Ai,Vj);(iv)称∪i,jPST(Ai,Vj)为SCF问题加强全空间，记为PST.

定义2在PSCF上，∀Ai、∀Vj,以及∀α1,α2∈Ai,对偏好序Rk规定序对〈Rk+,Rk-〉:

(i)当α1Rkα2为α1～α2时,α1Rk+α2为α1α2,而α1Rk-α2为α1≻α2;并对其他全部的α～α1～α2,规定αRk+α1为α～α1(α2),规定αRk-α1为α～α1(≻α2).

(ii)当α1Rkα2为α1α2时，α1Rk+α2⟺α1Rkα2且α1Rk-α2⟺α1Rkα2;称〈Rk+,Rk-〉为Rk在α1,α22个等价点上的有序分影，记为φα1α2Rk,即φα1α2Rk=〈Rk+,Rk-〉.同时称Rk为〈Rk+,Rk-〉在〈α1,α2〉上的合影.

罗云峰等[15]归结了广泛的集结路径研究，本质上有序分影具有路径相依性.不过，以上定义中φα1α2≠φα2α1Rk，但正好有φα2α1Rk=〈Rk-,Rk+〉.为消除此类路径相依性，可以给出等价对(α1,α2)的分影(Rk+,Rk-).当然，合影只有在合适分影对上才能实施，后续将考虑在无任何3元循环时均可做合影，这将进入直接的集结运算.

显然，偏好Rk中等价的分影只分解一个等价关系.文献[10]用偏好投影、保序运算，由此考察多面体顶点.一方面这是整体性操作；另一方面，文献[10]方法部分可拟操作，构成全局分影，毕竟在备择物α1、α2上等价序的分影过于局限.但全局分影需考虑整个偏好序R的分解R=P∪I,再考虑在等价关系中全部等价序的分影.

考察加载偏好序的备择物集(A,R),A={α1,α2,…,αi},I为包含于R中的等价关系.作A/～={Λ1,Λ2,…,Λk},其中若满足:(i)A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk;(ii)任何Λs∪Λt=∅(s≠t);(iii)在任何Λs中,∀α、α′∈Λs,有α～α′,即αIα′,则称A/～为A的等价类划分.同时建立一类集序,∀Λs、Λt∈A/～,∀α∈Λs、α′∈Λt,定义等价类序如下:

(i)ΛsΛt⟺αα′;(ii)ΛtΛs⟺α′α.

一般地，当(A,R)不包含“～”时，所有的Λk都是单点集.当(A,R)含“～”时，对于非单点集Λk，可建立在(A,R)上A/～的分影，记为φA/～Rk,φA/～Rk=(Rk+,Rk-),规定(Rk+,Rk-)如下:

(i)∀ΛsΛt以及∀α∈Λs、α′∈Λt,规定αRk+α′、αRk-α′均为αα′.

(ii)∀Λs∈A/～,记为Λs={αs1,αs2,…,αsi},规定αs1Rk+αs2Rk+…Rk+αsi⟺αs1αs2…αsi,并规定αs1Rk-αs2Rk-…Rk-αsi⟺αs1≻αs2≻…≻αsi.

另外可以定义偏好序对的对影.由以上构造，等价类上的分影同样也不唯一，但显然具有如下引理.

引理1∀(A,R)∈PSCF,φA/～Rk在A/～上保持了等价类序.

定义3R+、R-∈(A,R),且都为其中的偏好强序，称(R+、R-)为A上的对影偏好，若∀α、ξ、ζ∈A,R+、R-对α、ξ、ζ3者的排序不在孔多塞循环中.

为充分明晰采用对影偏好的性质，采用文献[14]的可排规则来刻画，由于R+、R-都是强序偏好，不妨定R+在α、ξ、ζ3者上的排序为αR+ξR+ζ(定向为αξζ),所以R-排序α、ξ、ζ不能为ξR-ζR-α(定向为ξζα)、ζR-αR-ξ(定向为ζαξ).R-排α、ξ、ζ序可有4种:αξζ、α≻ξ≻ζ、αζξ、ξαζ.本质上，对影是共识的重要刻画，另外可划分A形成分片对影、3个投票者对影等.

考虑SCF的本质是集结运算，为提供准确的证明，有必要约简问题规模，形成更为标准的形式.众多文献提出了很多SCF约束公理，同时还可以考虑公理配置,如单峰偏好就是重新配置了UD公理.为此，以AS代表一组约束公理(Axiom system),考虑SCF的存在性.若在2个空间中,SCF的存在性是一致的，则称之为集结性等价,并以Oscf及一般性集结.

定义4称空间P1与P2在约束公理系统AS下是集结性等价的，若在AS下，在P1中存在SCF必然在P2中也存在SCF,反之亦然.

2 主要结果

定理1Ai={α1,α2,…,αi},P1、P2为Ai上的两强序偏好，(P1,P2)为对影序，则Oscf(P1,P2)为序偏好.

证若P1、P2为在A2={α1,α2}上的两强序偏好，则(P1,P2)为序同向或异向，故任何Oscf(P1,P2)=P1=P2,或者Oscf(P1,P2)=“～”.在A2={α1,α2}上Oscf(P1,P2)是平凡的.

若Ai={α1,α2,…,αi}不少于3个备择物，则∀α、ξ、ζ∈Ai,既然P1、P2为强序，为方便设αP1ξP1ζ定向为αξζ,由对影知P2排α、ξ、ζ序有4种:αξζ、α≻ξ≻ζ、αζξ、ξαζ.下面分4种情况讨论，并且采用文献[14]的刻画方法.

(i)若P2排α、ξ、ζ序为αξζ，则Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序为αξζ.∀δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,显然,P1排α、ξ、ζ、δ序为δαξζ,或αδξζ,或αξδζ,或αξζδ.

若P1排序为δαξζ，则P2只能排序为δαξζ或αδξζ,否则P2排序为αξδζ或αξζδ.在这2种情况下，无论何种情况，P1、P2对δ、α、ξ都会存在孔多塞循环的连续排序.当P2排序为αξζδ时δ、α、ζ以及ξ、ζ、δ甚至也都构成了孔多塞循环的连续排序.为此，Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ、δ序为δαξζ或δαξζ.

若P1排序为αδξζ，P2必不排序为αξζδ，否则ξ、ζ、α将在P1、P2下构成孔多塞循环的连续排序.于是有:P2排序为δαξζ⟹Oscf(P1,P2)排序δ～αξζ;P2排序为αδξζ⟹Oscf(P1,P2)排序αδξζ；P2排序为αξδζ⟹Oscf(P1,P2)排序αδ～ξζ.

显然，若P1排序为αξζδ，则证明过程同于P1排序为αδξζ的情况；若P1排序为αξδζ，则证明过程同于P1排序为αδξζ的情况.

于是，综合上述，若P2排α、ξ、ζ序为αξζ，则Oscf(P1,P2)得证.

(ii)若P2排α、ξ、ζ序为α≻ξ≻ζ，Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序为α～ξ～ζ.再考虑∀δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,显然P1在αξζ上δ有4种排位.若P1排序为δαξζ,则P2排序为δ≻α≻ξ≻ζ⟹Oscf(P1,P2)排序为δ～α～ξ～ζ.

若P1排序为δαξζ，则P2排序为α≻δ≻ξ≻ζ,即ζξδα⟹ξδα与δαξ构成孔多塞循环的连续排序⟹(P1,P2)不为对影序⟹P2不排序为α≻δ≻ξ≻ζ;同样,若P1排序为δαξζ,则P2也必不排序为α≻ξ≻δ≻ζ.

若P1排序为δαξζ，则P2排序为α≻ξ≻ζ≻δ⟹Oscf(P1,P2)排序为δα～ξ～ζ.

这种情况说明:若对影序(P1,P2)严格反序排任何3个备择物,则其他备择物只能是在该3个备择物的边界上.

(iii)若P2排序为αζξ,Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序为αξ～ζ.再考虑∀δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,同样P1在αξζ上δ有4种排位.若P1排序为δαξζ,则P2排序为δαζξ⟹Oscf(P1,P2) 排序为δαξ～ζ;若P1排序为δαξζ,则P2排序为αδζξ⟹Oscf(P1,P2)排序为δ～αξ～ζ；若P1排序为δαξζ,则P2必不排序为αζδξ，否则δαξζ、αζδξ⟹δξζ、ζδξ在P1、P2下构成孔多塞循环的连续排序;若P1排序为δαξζ,则P2必不排序为αζξδ，否则δαξζ、αζξδ⟹δαξ、αξδ在P1、P2下构成孔多塞循环的连续排序，甚至δ、α、ζ也在P1、P2下构成孔多塞循环的连续排序.

这说明:P2排序为αζξ，Oscf(P1,P2)能集结为偏好序.

(iv)若P2排序为ξαζ，依情况(iii),同理可证Oscf(P1,P2)能集结为偏好序.

综合4种情况,定理1得证.

定理1说明对影序可以把一般序强化为严格序.定理1及其证明过程在比较狭窄的空间上，一方面，给出了一个集结的直接方法;另一方面，给出了可集结性的判断.并且，这里集结性是广泛适应的，也就是在广泛性约束公理上都是适应的，并且在对影和孔多塞循环之间建立了联系.本质上，可以提出3元对影和多元对影，作为可集结性的一个指示.当然，广泛的约束公理并没有指明，其中约束无限制性定义域(UD公理)对于共识非常重要[16];当然UD公理也可以扩充，本质上文献[17-18]在格序上和在弱序上定义群决策就延展了UD公理.考虑SCF问题的规模性，给出如下定理.

定理2对于任何约束公理系统AS，SCF问题全体的问题空间PSCF等价于SCF问题加强全空间PST,后者是前者的真子空间.

证PST=∪i,jPST(Ai,Vj),而其中PST(Ai,Vj)={(p1,p2,…,pj)|1≤k≤j,pk为Ai上强序}.但是,PSCF=∪i,jPSCF(Ai,Vj),其中PSCF(Ai,Vj)={(R1,R2,…,Rj)|1≤k≤j,Rk为Ai上弱序}.

显然，有PSCF⊃PST,即后者是前者的真子空间.那么，对于任何约束公理系统AS，若SCF在PSCF上存在，则SCF必在PST上存在.为此，只需证明若SCF在PST上存在则必有SCF在PSCF上存在.

设公理系统AS下SCF在PST上存在，考察PSCF上的SCF存在性.∀P∈PSCF,∃(i,j)使得P∈(Ai,Vj),为此记P=(R1,R2,…,Rj),其中Rk为Ai上弱序.其中Rk可能包含也可能不包含“～”，都可作φA/～Rk=(Rk+,Rk-),必有φP/～P=(φA/～R1,φA/～R2,…,φA/～Rk,…,φA/～Rj),为了简便,记φP/～P=(R1+,R1-,R2+,R2-,…,Rj+,Rj-)=(p1,p2,…,pj,pj+1,…,p2j).故显然有φP/～P∈PST(Ai,V2j),由AS下在PST上存在SCF,记其中之一为S0:PST(Ai,V2j)→PSCF(Ai,V0),这里(Ai,V0)满足‖V0‖=1,即V0只有1个投标者，故PSCF(Ai,V0)为社会的偏好.从构造上S0通过φP/～P把∀P∈(Ai,Vj)映射为PSCF(Ai,V0)的一个确定性元素，从而得到AS下(Ai,Vj)上的SCF,并且该S(P)=S0φP/～(P).并由P∈PSCF的任意性知，SCF在PSCF上存在.

综上所述，在AS下，SCF问题全体的问题空间PSCF集结性等价于SCF问题加强全空间PST.

定理2说明:基于强序标定投票者条件，在SCF问题空间的构造上集结性等价于其一个真子集.这就为Arrow定理研究提供了一个简化途径；同时，定理2也提供了一个指示可集结的条件,如对影的集结是非常简洁.

3 结论

本文的主要结论显示:社会选择函数能在严格的偏好序空间(即强序空间)上构造，其存在性完全等价于弱序空间上的存在性,从而社会选择函数的问题空间可以压缩.另外，在强序空间上构造社会选择函数无论是文献[15]的可排序，还是图像排序，还是border赋值等各种方法，其刻画描述更为准确和清晰，从而社会选择函数的存在性判断更为具体.同时，从群决策的角度来看，可以形成更为清晰的偏好集结的方式.虽然在形式空间的等价性研究上，并不涉及具体的约束公理，但对于公理系统的约束相容性，至少可更方便的构造指示性算子.也就是说，即使未必能确定性判断约束公理的相容性，但还是可以构造一些运算予以指示.同时，问题空间的不同构造以及不同的加载拓扑，能产生更广泛的结论，至少能统一诸多文献的结论[2-9,16-20].