初高中数学教学有效衔接的问题设计——以“绝对值”拓展教学为例

张 倩，倪金根

(1.安吉县高禹中学，浙江 安吉 313300；2.湖州市教育科学研究中心，浙江 湖州 313000)

0 引 言

基于学生的认知基础和思维能力，初高中数学教学有其各自的使命与侧重.随着学生认知的不断深化和知识难度的螺旋上升，初中的一些教学内容在高中数学教学中还需继续加深与强化.《义务教学数学课程标准(2021年版)》指出，数学知识的教学要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中，处理好部分知识与整体知识的关系，引导学生从不同角度、不同层次去分析和理解数学知识，感受数学知识的整体性[1].

当前的初高中数学教学不太注重知识的联结与延伸，缺乏对相同教学内容的前后呼应和脉络梳理，致使学生对知识的掌握停留在“碎片化”记忆阶段，对学科的理解常常管中窥豹，难以整体把握教学内容的发展脉络和知识体系，更难体会和感受数学知识表层内隐思想方法的一脉相承[2].如何找准初高中数学教学的契合点，把握好知识“源起”与思维“远点”之间的关系，做好初高中数学教学的有效衔接，为知识的深化与拓展、技能的丰富与精进铺路搭桥，是值得我们深入思考与探索的.本文以“绝对值”拓展教学为例，探究初高中数学教学有效衔接的问题设计，从而获得数学教学有效衔接的启示.

1 教学主线，导图呈现

“绝对值”在初高中数学课程体系中均有涉及.初中阶段课标要求学生掌握绝对值|a|的代数定义，会求有理数的绝对值，理解绝对值在一维数轴|a|上的几何意义，并能借助几何意义理解绝对值的非负性.高中阶段课标要求学生理解|x|、|x±a|的几何意义，会解决含绝对值的方程、不等式、函数等问题，并能运用数形结合的方法理解掌握绝对值三角不等式(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)，在绝对值中体会数形结合、转化化归等数学思想.

结合初高中不同学段对绝对值的教学要求，立足初中学生的知识源起，面向高中学生的思维远点，本文以“绝对值”拓展教学为例，设计从“一维”到“三维”的初高中数学教学有效衔接的基本思路[3]，见图1.

图1 “绝对值”拓展教学思维导图Fig.1 An expanded teaching mind map of “absolute value”

2 立足知识源起——在一维视角下认清绝对值的定义

初中学生已有的认知和经历是初高中教学有效衔接的根底.唯有立足知识源起，在一维视角下认清绝对值的本质，才能在后续的学习与探究中找准根基，拾级而上.

2.1 回顾定义，强化概念

师：我们在初中阶段已学过绝对值的概念，请问何为绝对值？

生：一般地，在数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作“|a|”.

问题1如何在数轴上表示|5|、|-3|、|0|……

设计意图利用数形结合理解概念.以5、-3、0等具体数的绝对值为例，借助数轴，通过具体数所对应的点与原点间的距离，从几何角度理解绝对值的概念.

问题2|a|表示什么？|x|表示什么？

设计意图从具体到抽象，从个例|5|、|-3|、|0|……的距离表示，到一般化|a|的距离表示，最后概括出一维数轴上绝对值的几何本质——两点之间的距离.

从定量到变量，从静态的数a所对应的点到原点的距离，上升到动态的数x所对应的动点到原点的距离，对绝对值几何本质的认识从静态上升到动态，即随着x的变化，绝对值表示的距离也会变化.

2.2 把握本质，深化理解

问题3|x-2|、|x+2|分别表示什么？

设计意图从特殊到一般，把|x|所表示的“数x所对应的点与原点的距离”转化为更一般的“两点间的距离”，进一步概括出|x-a|实质是表示数x所对应的点与数a所对应的点之间的距离.

从“减”扩展到“加”，进一步认识“加”与“减”互为逆运算的属性，即|x+a|实质等同于|x-(-a)|，表示数x所对应的点与数-a所对应的点之间的距离.

问题4能否根据绝对值的几何意义，求解|x|=1？对方程|x-2|=1又该如何求解？

设计意图从几何直观入手，解决形如|x|=m(m>0)、|x-a|=m(m>0)的绝对值问题.利用数轴上的正向距离与反向距离，直观地解释方程的解所具有的不唯一性(具有两个解).

问题5|x-2|+|x+3|有何几何意义?→|x-2|+|x+3|=5是否有解？→不等式|x-2|+|x+3|≥5的解是什么？→已知y=|x-2|+|x+3|，求y的最小值?

设计意图从含一个“绝对号”的等式问题上升到含两个“绝对号”的等式问题，从含绝对值的等式问题上升到不等式及函数最值问题，以问题串的形式实现问题难度的螺旋式上升，并在难度递进的过程中牢牢抓住“两点间的距离”这一几何本质，让学生体会“形变而神不变”！

2 巧设学习支架——在二维视角下挖掘绝对值的内涵

在一维数轴上，我们已经认清了|x|、|x-a|、|x+a|的几何意义，并学会了利用“两点间的距离”这一几何本质解决等式、不等式及函数最值等一系列问题.那么，在二维平面直角坐标系下，这些绝对值又有何含义？初高中数学教学的有效衔接就是要通过巧设支架找到联结点，找到“新知”与“旧知”之间的内在关联，从而实现拓展与延伸.

2.1 方法迁移，由点到线

问题6已知P(2，1)是平面直角坐标系中的一个点，该点到x轴(即直线y=0)、y轴(即直线x=0)的距离分别是多少？

变式1已知P是平面直角坐标系中的一个点，且该点到x轴(即直线y=0)、y轴(即直线x=0)的距离分别是2和1，则点P的坐标为多少？

变式2若P的坐标是(x，y)，则该点到x轴(即直线y=0)、y轴(即直线x=0)的距离如何表示？

变式3若P的坐标是(x，y)，则该点到直线x=2、直线y=-1的距离如何表示?

变式4若P的坐标是(x，y)，则该点到直线x=a、直线y=b的距离如何表示?

设计意图基于一维视角下两点之间的距离可用绝对值来表示，尝试将二维视角下点到直线的距离也用绝对值来刻画，即将点P(x，y)到直线x=a、直线y=b的距离分别表示为|x-a|、|y-b|.

2.2 链接中考，整体建构

变式5对平面直角坐标系中任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，|x1-x2|+|y1-y2|称作P1、P2两点之间的直角距离，记作d(P1,P2).已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)=2，请写出x和y满足的等量关系，并画出所有满足条件的P所组成的图形[4].

设计意图链接中考考点中提到的“直角距离”(高中曼哈顿距离)，d(O,P)=|x-0|+|y-0|.d(O,P)=2，即|x-0|+|y-0|=2.通过“直角距离”这一概念，将二维平面直角坐标系中形如 |x-a|、|y-b|的一元绝对值“点到直线的距离”的几何本质,扩展与迁移至|x-0|+|y-0|这类含两个未知数的绝对值“直角距离”的几何本质，在难度上呈螺旋式上升.

变式6若P的坐标(x，y)满足|x-a|+|y-b|=2，能否猜想其表示的图形?

点P与点(a,b)之间的“直角距离”可通过|u|+|v|=2的图形平移得到，从而猜想满足|x-a|+|y-b|=2所表示的图形，即由d(O,P)=|x-0|+|y-0|=2对应的正方形平移得到.

3 触及思维远点——在三维视角下猜想绝对值的本质

三维视角下的绝对值，并非初高中数学教学要求的范畴，教学中设置此环节的初衷不是学生能否真正画出式子所代表的确切图形，而是学生能否从横向和纵向角度编织知识网络，感受零散知识间内在的连接与统一，对各阶段所学的内容进行整体地认知与建构，从而为后续的自我研究提供指引.

问题7类比|x-a|在一维数轴及二维平面上的几何意义，能否猜想|x-a|在三维空间中的意义?

设计意图由|x-a|在一维数轴上所代表的“点点距离”，以及在二维平面上所代表的“点线距离”，合理猜想其在三维空间中的几何意义为“点面距离”.

问题8类比|x|+|y|=2，能否猜想|x|+|y|+|z|=2在三维空间中所对应的图形？

设计意图依据“直角距离”的概念感知，类比|x|+|y|=2在二维平面中表示的由线、线围成的正方形，合理猜想|x|+|y|+|z|=2在三维中表示的是由面、面围成的“体”.

4 初高中数学有效教学衔接的启示

4.1 捋清知识脉络——“学会”

“绝对值”拓展教学设计，遵循的是先在一维数轴上认清|x|、|x-a|、|x+a|的几何意义，再上升至二维平面认识|x|、|y|、|x-a|、|y-b|、|x|+|y|、|x-a|+|y-b|的几何意义.在课堂的总结环节，教师要帮助学生捋清“绝对值”拓展教学的知识脉络，让学生感受绝对值在一维、二维不同层次上螺旋式上升的几何意义，以及本质上的一脉相承，从而为后续理解绝对值在三维空间中的几何意义提供知识积蓄.

4.2 把握解题要领——“会学”

课堂教学的要义在于如何提升40 min的精度和效度，教学追求的目的不仅是让学生“学会”，更应是让学生“会学”，即学生能通过典型例题的讲练，抽象出题面背后所考察的知识核心和本质概念，概括出一类题的通性通法，从而达到举一反三、触类旁通的效果.“绝对值”拓展教学设计虽涵盖有关绝对值的等式、不等式、函数最值等多类题型，但在该专题教学中常用到的解题方法就是“转化”——将代数问题转化为几何直观.把握绝对值的几何含义才是解决相关问题的制胜法宝.因此,教师在进行衔接教学时，应回归概念定义、抓牢几何本质，做到以不变应万变，从而形成前后逻辑连贯的解题技能，为解决千变万化的数学问题提供依据[5].

4.3 领会思想精髓——“得法”

数学思想蕴涵在数学知识的形成、开展和应用过程中，是数学知识和方法更高层次的抽象与概括.就“绝对值”拓展教学而言，教师要让学生在知识的掌握和通性通法的概括中感受解决这类问题蕴含的数学思想，即立足几何视角，借助数形结合，把抽象问题直观化，进而发现问题的实质，采用“以形示数”的策略找到问题的突破口.这种解决问题的“套路”在数学研究中具有广泛的适用性.

4.4 积累活动经验——“得道”

数学活动经验的积累是让学生在不断经历、思考、试错、解决的过程中，探索“发现问题——数学建模——方案设计——解决问题”的路径，形成可推广复制的解决问题的思维策略和一般模式.“绝对值”拓展教学就是通过构架“一维数轴——二维平面”的研究思路，以及“两点间的距离——点到直线的距离”的活动主线，引导学生遵循从特殊到一般、从简单到复杂的研究问题路径，用联系的观点整体把握不同维度绝对值的几何本质，引导学生提出“三维空间”下“点到平面的距离”的设想，从而为学生的后续学习指明方向.

5 结 语

知识的学习没有穷尽，教学不仅要解决学生“学会”的问题，还要解决学生“会学”的问题.初高中“绝对值”拓展教学的有效衔接，不应停留在知识、技能层面，而要上升到活动经验和思想意识层面去授人以“渔”.因此，在初高中教学衔接的“绝对值”拓展教学设计上，教师应立足初中学生实际的数学能力，打通绝对值一维、二维的内在联系，由浅入深层层推进，最终触及学生思维的远点，从而为学生后续在三维下研究绝对值问题提供思路与想法，使学生不仅“得法”，更能“得道”.