渗透数学模型思想的教学策略

李志　涂几会

［摘 要］建立数学模型是学生认识数学与外部世界联系的基本途径，数学概念、原理和数学理论体系都可以视为数学模型。在教学中，教师可以从五个方面渗透模型思想：巧设情境，寻找模型的原型；巧设活动，助力模型的建构；巧用抽象，经历建模的过程；巧用对比，探究模型的本质；巧设练习，拓展模型的外延。

［关键词］数学模型；渗透；教学策略

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）29-0078-03

小学数学教材中，具体的数字、算式、四则运算的意义、运算定律、方程、典型的数量关系等都是数学模型，从广义的角度看，数学概念、原理和数学理论体系都是数学模型。学生经历了数学模型建构的过程，才能较好地掌握新知识、形成新思想、积累操作经验、提高数学核心素养。如何渗透数学模型思想呢？笔者认为有以下几个策略。

一、巧设情境，寻找模型的原型

“数学是研究数量关系与空间形式的学科。”“建立数学模型是学生认识数学与外部世界联系的基本途径。”对于这两句话，笔者有自己的理解。第一，数学模型源于现实生活。第二，数学模型是现实生活情境与具体事物的高度压缩、去伪存真、深度抽象后呈现出来的数学结构。第三，数学模型可以服务于生活，是解决生活问题的有效工具。由此可见，在教学中渗透数学模型思想时离不开生活情境，教师要为学生创设生活情境，带领学生寻找模型的原型。

1.语言叙述

教师若是口头叙述生活中的情境，在叙述之前，要求学生认真倾听后把重要的数学信息写在纸上。例如，吴正宪老师在教学“小数的除法”时，就绘声绘色地讲述：“有4名同学聚餐，聚餐结束后李强去付款，给了收银员100元，收银员找补3元。4名同学要平摊聚餐费用，另外3人分别要给李强多少元？”吴老师以口述的方式呈现生活情境，再引导学生将生活情境转化成数学问题，让学生感受数学与生活的联系，寻找模型的生活原型。

2.趣味故事

趣味童话故事能够激发学生的兴趣，因此，教师可以编创学生熟悉且感兴趣的数学故事，再引导学生将故事中的情境转化成数学问题。例如，唐僧师徒的故事、阿凡提的故事等，都是学生熟悉的故事。

3.图表图片

例如，关于正反比例的知识的情境可以用图表呈现，这利于学生发现两个量的变化规律。又如，“乘法分配率”一课中，用图片呈现“有一群人去植树，每组中的4人负责挖坑、种树，2人抬水、浇水，一共有25组，一共有多少人去植树”的情境。

4.操作演示

例如，给每名学生一根长31.4分米的绳子，让他们去操场圈地，看看谁圈出的面积最大，然后生成数学问题：周长相等的长方形、正方形、三角形、圆，哪个图形的面积最大？

5.设计游戏

例如，教学“鸽巢原理”一课时，教师可以设计“抢凳子”的游戏：让4名学生抢3张凳子，总会有2名学生抢1张凳子。

二、巧设活动，助力模型的建构

学生的数学学习应当是生动活泼且富有个性的，学生应该有足够的时间去开展猜想、推理、观察、实验、计算、验证等活动。在数学课堂上，教师应该创设一系列有效的教学活动，使学生能够充分、自主地参与学习活动。教师在设置学习活动时，既要体现数学模型的形成过程，又要展示数学模型的应用过程，使得学生亲身经历“模型的抽象—模型的应用与拓展”的过程。教师还要设置想一想、算一算、比一比、做一做、画一画等多种活动，使学生的听觉、视觉、触觉等多种感官协同作用，学生才能理解研究对象的本质属性，提取研究对象的特征以及各种关系，并将其逐步抽象成数学模型。

例如，在教学“分数的意义”时，为了建构1/4这个数字的模型，教师设置了以下活动。

活动一：说说你对1/4的理解。

活动二：动手操作，表示出你所想的1/4。（学生将学具袋中的8个长方形看成一个整体，其中的2个长方形表示整体的1/4）

活动三：小组交流，说说你如何得到1/4。

活动四：学生交流，观察作品，看看有什么相同之处与不同之处。

活动五：如果不用长方形做道具，你还能说出1/4的意义吗？

活动六：用1/4编一个故事。

三、巧用抽象，经历建模的过程

数学模型是现实生活或具体事物被高度抽象的产物，没有抽象就没有数学模型。数学抽象活动是一种思维活动，它具有层次性。一般来说，抽象出数学模型有三个阶段：第一阶段，抽象简约情境，根据事物的内在关系与本质特征，将复杂的情境简单化、条理化、数学化；第二阶段，符号抽象，去掉内容的情境化外衣，利用具体的数学符号、字母、关系式、图表等抽象出内容本质；第三阶段，建构模型，通过假设和推理建构数学模型，并能够理解数学模型具有的一般意义。教师在课堂教学中要引导学生经历数学模型的形成与发展过程这三个阶段，这样，数学模型在学生的眼中才是有生命力的，学生才能灵活应用数学模型解决生活中的问题。

例如，在教学“乘法分配律”时，教师出示题目：某公司老板定制了5套服装，1套衣服中的1件上衣100元、1條裤子80元，一共花了多少元？

抽象数学模型的过程：

（1）怎么求总价？（上衣单价×5+裤子单价×5）

（2）还能怎么求总价？有更简洁的算式吗？[（上衣单价+裤子单价）×5=上衣单价×5+裤子单价×5]

（3）能不能用一个等式表示这一类的等式？[（a+b）×c=ac+bc]

又如，在教学“加减法的意义和各部分之间的关系”时，教师引导学生将教材中的情境图转化成数学问题“哈尔滨到拉萨的距离是多少”。

抽象数学模型的过程：

（1）用简洁的语言说说要解决什么问题。

（2）画线段图表示题意。

（3）根据线段图列式，将直观的线段图抽象成具体的数学符号算式，用字母表示加法算式。

四、巧用对比，探究模型的本质

每一个數学知识都是一个数学模型，每一个数学模型都有独特的属性与特征，但是这些数学模型并不是孤立存在于数学知识体系中，模型与模型之间存在着千丝万缕的联系。在教学的时候，教师一定要善用对比，让学生在对比中明确数学模型的本质，了解各数学模型的区别，从而牢牢记住数学模型。

1.在新课的引入环节巧用对比

学生都是在掌握已有知识的基础上构建数学模型的。在引入一个新的数学模型之前，教师要认真研究教材以及学生的学习情况，清楚学生已掌握的知识。新课伊始，可以先复习旧知识，以旧引新。例如，在教学“小数乘法”之前，先复习整数乘法，回顾整数乘法笔算的算法，在此基础上，学生根据情境列出算式，对比分析，发现今天学习的内容与学过的内容的不同点：一个是整数乘法，一个是小数乘法。教师据此引出新课，板书课题，为新的模型建构奠定知识基础。

2.在探究新知的过程中巧用对比

例如，教学“方程”时，教师先出示一些式子“180+100<300，180+200>300，x+180=300，120×2<300，2x>300，2x=300，120+60=180，2x+80=320”，再引导学生思考：“你是怎样将这些式子分类的？”学生观察和操作后把这些式子分成两大类——等式与不等式。最后，学生通过独立思考、小组合作，将几个等式又分成两类：含有未知数与不含未知数的。这个时候，教师提问：“为什么这样分？这两类等式分别有什么特点？”经过探索和交流，学生认识了方程的特征，归纳出方程的意义，构建了方程的模型。在此基础上教师可以再次引导学生对比分析：“120+60=180是方程吗？”学生答道：“不是，它虽然是等式，但不含未知数。”教师又问：“2x>300是方程吗？为什么？”学生答：“不是，它虽然含有未知数，但不是等式。”教师接着问：“x÷6=2是方程吗？为什么？”学生答：“是，因为它既含有未知数，又是等式。”探究新知的过程中，教师引导学生对式子进行了三次判断，第一次的判断引出了方程的概念，第二次判断强调了方程的概念，第三次的判断加深了学生对方程本质的认识。通过三次对比，学生牢固地构建了方程模型。

在数学课堂教学中，巧用对比，可以使学生轻松实现知识的迁移，实现新知向旧知的转化；巧用对比，可以使学生发现知识之间的区别与联系，深化学生的认识；巧用对比，可以发散学生的思维，令学生完善知识体系，牢固地构建数学模型。

五、巧设练习，拓展模型的外延

数学通过自己的语言系统及关系结构建立起描述自然现象和社会现象的有效模型，帮助人们准确把握客观世界。如今的数学已突破了传统的应用范围，向许多知识领域渗透，各门学科也向着“数学化”发展，这里的“渗透”“数学化”说到底就是数学模型的运用。数学模型思想的渗透是一个循序渐进的过程，数学模型建立以后，教师要设计层次性练习，培养学生运用数学模型解决问题的能力，并在运用的过程中加深对数学模型的理解。

1.利用数学模型讲生活中的事

通俗地说，数学模型就是借用数学语言讲述现实世界的事。例如，“单价×数量=总价”就是一个典型的数学模型。学生建立这个模型以后，教师可以让学生用这个模型讲讲生活中的事，如“1本笔记本的价格是8元，买4本这样的笔记本要花8×4=32（元）”“1千克苹果的价格是12元，买3千克苹果要花12×3=36（元）”。这种生活中的事，学生讲得越多，就越能理解“单价×数量=总价”这个模型。

2.设置层次化练习题

例如，学生学习了“按比分配”后，已构建了这类问题的模型：已知几个量的比与几个量的和，求几个量分别是多少。对此，教师可出示练习：（1）一班共有60人，男生与女生的比是3∶2，男、女生各有几人？（2）三班去植树，分成三个小组，一共要植树48棵，第一小组植了13棵，余下的按照2∶3分给第二小组与第三小组，第二、第三小组各植树几棵？（3）用一根长48厘米的铁丝做长方体的框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的体积是多少立方厘米？设计本课练习题时要紧抓“按比分配”这类问题的解题模型。首先，找准练习的起点，每道练习题都让学生寻找几个量的和是多少、几个量的比是多少，然后按比分配。其次，注意练习题的梯度，由简单到复杂，有知识点单一的练习题，也有综合性练习题，时刻关注学生的解题过程，循序渐进，以练习促进学生建模能力的提升。最后，关注练习的针对性，关注学生的弱点，暴露问题，集中研讨，抓住按比分配的本质，如第（2）题中“几个量的和是剩下的部分”。

总之，教学模型思想的渗透是一个循序渐进的过程，教师在教学的过程中，要选择恰当的教学内容，设计有效的教学活动，引导学生经历生活情境到数学模型再到模型的拓展这样一个数学化的过程，使得学生的综合素养得到提升。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 王光明，范文贵.小学数学课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[3] 吴正宪.吴正宪课堂教学教学策略[M].上海：华东师范大学出版社，2012.

（责编 黄 露）