在问题的驱动下构建精彩纷呈的数学课堂

陈建兴

［摘  要］ 问题驱动下的数学课堂改变了传统数学课堂的机械和沉闷，使教师“教”得更有效，学生“学”得更积极. 在高中数学教学中，教师应结合学生实际设计一些真实的、递进式的多元问题激发学生的探究欲，充分发挥问题在“教”与“学”中的价值，从而让学生的思维活跃起来，课堂动起来，让学生的学习能力得到稳固的、全面的提升.

［关键词］ 问题驱动；探究欲；学习能力

问题是促进学生发展的动力源，是促进思维发展的加速器，是开展探究性学习的动因，是培养学生创新精神的起点和关键点. 因此，在数学教学中有必要创设一些问题，开展一些探究活动，从而发展学生的数学思维，提高教学效率. 但在现实教学中，部分教师对探究性学习的认识不够充分，片面认为探究在一定程度上会影响课堂教学进度和教学秩序，不利于教学活动的开展，因此在日常教学中，尤其在新知教学中，部分教师还是习惯使用“照本宣科”的讲授法，依旧是课堂中的主体，学生难以提出有价值的问题，学生的思维能力和学习能力难以在问题的驱动下得到较大提升. 为了改变这一现象，在日常教学中，教师有必要设置一些探究性问题，让学生在问题的引领下自主发现、自主探究，从而获得属于自己的知识，将思维引入更深处，提高学生解决问题的能力［1］.

[?]借助实际问题，开展数学探究

实际问题更具生活味，更易于引发学生共鸣，更易于激发学生探究热情，因此开展探究性学习时，教师要善于借助实际问题为学生提供主动发现、主动探究的学习条件［2］.

1. 借助生活味，激发学生的探究欲

在日常教学中，教师应站在学生的角度，巧妙地将教学内容进行整合和重组，为学生提供真实的、有思考价值的问题，如生活素材、热点话题等，引导学生用数学思维去看待和解决实际问题，进而激发学生思维活力.

案例1 三角函数的应用.

真实情境：某电力公司需要一台62 m的混凝土泵车对相关机组进行“泵车注水”冷却作业. 已知该机组高46 m，而泵车只能在距离该机组9.6 m以外的区域进行作业，那么该泵车是否能够满足作业要求呢？

问题：假设泵车高AB=3.2 m，三段臂长BC=30 m，CD=25 m，DM=7 m. 机组为底边长48 m，高46 m的正四棱柱，注水方案要求如图1所示. AB⊥AF，DM∥AF，出水口M需至少伸入机组宽度的，问该泵车是否满足作业要求？

解析：如图2所示，设∠DCT=θ，出水口M伸入机组的宽度为y，由题意可以求出NG，CG，GT的值. 因为y=GT+DM，GT可求，已知DM，故可得y.

由GT=25cosθ->0，可得sinθ∈

，1

. 因为y=GT+DM=25cosθ-+7，所以y′=-25sinθ+，令y′=0，解得sinθ=. 当sinθ∈

，

时，y单调递增；当sinθ∈

，1

时，y单调递减. 故当sinθ=时，y取最大值12.4，又机组宽度的为16 m，所以y=12.4<16，所以该泵车不符合要求，需至少再接3.6 m.

设计意图：该设计从实际问题出发，让学生亲身体验数学在实际生活中的重要应用价值，从而提升学生的数学应用意识. 在教学中，通过真实情境与数学问题相对比，使“生活”与“数学”完美地融合于一体，进而使生活问题更具体，使数学问题更具亲和力.

2. 设置递进式探究问题，激发学生的潜能

数学知识是抽象的，因此学习时学生难免会产生畏难情绪，然设置一些递进式、缓坡度的问题有助于学生了解数学，让学生感觉数学知识并不是遥不可及的，完全可以通过自己探索、分析、归纳、总结而获得，从而帮助学生建立良好的数学情感，激发学生学习的兴趣和潜能［3］. 另外，通过自主探究获得的知识一定更易于学生记忆和理解，更易于学生建立属于自己的独特的认知体系，更易于提高学生解决问题的能力.

案例2 几何概型.

问题1：若A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，从A中任取一个数，试求这个数不大于3的概率.

问题2：若A=［0，9］，从A中任取一个数，试求这个数不大于3的概率.

设计意图：对于问题1，大多数学生都能够利用古典概型轻松求解，这样帮助学生实现旧知巩固，为新知探究做好铺垫；问题2是问题1的变式，通过设置悬念让学生思考A=［0，9］中有多少数是不大于3的. 在问题1的铺垫下，理解问题2会更加自然、舒畅，有助于提升学生的探究信心.

问题3：取一根长9米的细线，任意选择一个位置将细线剪成两段，你能算出这两段的长度都不小于3米的概率吗？

设计意图：与问题1和问题2形成对比，让学生理解和区分“有限性”和“无限性”，为得出几何概型定义和后面灵活应用奠基.

问题4：在面积为20平方分米的圆盘内印有一个面积为0.3平方分米的圆形花纹图案，若在圆盘上任取一点，该点落在圆形花纹图案内的概率是多少？

问题5：现有一杯1 L的水，水中有1个杂质，若从中任意倒出0.1 L的水，求倒出的水中含有杂质的概率.

设计意图：面对此类与长度、面积、体积等有关的概率问题时，已经难以用古典概型进行解决，学生迫切需要寻找新的模型，因此几何概型的引出既必要又自然. 通过以上问题的设置，引发了学生的认知冲突，使得学生对新知形成了深刻印象，同时也让学生进一步理解了两种概型（古典概型和几何概型）的区别和联系，为以后灵活运用奠定了堅实的基础.

在教学中，教师应合理创设一些符合学生认知规律、顺应思维发展的问题来激发学生的探究欲，这样既有利于帮助学生更好地理解新知，又能促进学生思维的发展. 在本案例中，无论是新知引入还是新知建构，问题的设计都是合理的，尤其在新知建构时，先从一维的长度出发，与前面古典概型问题形成对比，为新知的探究埋下伏笔，接下来从二维的面积和三维的体积进行合理建构，让学生的认知和思维在递进式问题的驱动下盘旋上升.

[?]借助生成性问题，开展数学探究

有些问题是教师为了达到某种效果提前预设的，而有些问题则是学生在探究的过程中自然生成的，这些自然的生成性问题往往更能激发学生的潜能，更能培养学生的独创精神. 但在现实教学中，为了保证教学进度，部分教师并没有合理看待和应用这些宝贵的生成性问题，这使得学生因提出的问题未能得到正面回应而丧失了探究问题的积极性，这显然不利于问题解决，也不利于学生创新意识的提升. 要知道，学生是探究的主体，只有让学生参与进来，并提出问题，才能使探究更有价值. 因此，教学中教师要为学生提供一个主动探究的平台，让学生在探究中学会提问、学会分析、学会合作、学会自主学习，构造一个精彩的、生动的课堂.

1. 建构探究平台，为探究性问题的生成创造条件

学生是学习的主人，是探究的主体，是课堂的参与者和建构者，每个学生都是鲜活的个体，都具有无限发展的潜能. 学生对问题有着自己独特的见解和感悟，教学中若能合理激发、有效共享，一定可以使课堂丰富起来、生动起来.

案例3 探究“阿波罗尼斯圆”.

片段1：创设问题情境.

师：之前我们学习了椭圆和双曲线，我们知道椭圆研究的是在平面内“到两定点的距离之和的点的轨迹”问题，双曲线研究的是“到两定点的距离之差的点的轨迹”问题，如果让你继续研究，那么你想研究什么问题呢？

生：“到两定点距离之商或之积的点的轨迹”问题.

设计意图：从旧知出发，通过类比方法引导学生自主提出问题，这不仅可以有效激发学生的探究欲，而且为学生指明了研究的方向.

在课后调研中发现，在教师提出这个问题前，没有学生思考或研究过此问题，可见学生主动思考、主动探究的意识不强，学习缺乏探究深度和广度. 那么是什么原因造成这一情况的发生呢？其实这与教师的教学习惯息息相关. 在现实教学中，教师往往讲得过多，而安排学生思考的时间又过少，没有培养学生良好的思考和提问的习惯，当学生面对有规律的问题时，往往视而不见，学生学习是被动的. 因此，教学中教师需要多设计一些探究性问题，培养学生主动思考、主动提问、主动创新等良好的思维品质.

2. 体验知识生成过程，让学生成为真正的探究者

数学学习过程就是“旧知—新知—旧知”交替变化的过程，在日常教学中应多带领学生去体验这一变化过程，从而让学生在掌握“双基”的基础上，还能获得更多的情感体验，培养学生正确的学习观.

片段2：学生活动.

问题1：在同一平面上有两定点A，B，其坐标分别为A（-2，0），B（4，0），若动点P满足=，则点P的轨迹方程是________，其轨迹是________.

问题给出后，教师没有让学生急于求解，而是先带领学生回顾求轨迹方程的一般步骤，为后面变式探究活动的开展做好铺垫. 从教学反馈来看，学生对求轨迹方程有着清晰的认识，因此解决问题1显得得心应手. 在求解问题1时，设点P（x，y）后，结合题设信息，根据两点间的距离公式建立已知与未知的联系，化简后得到轨迹方程（x+4）2+y2=6，其轨迹是圆. 全班学生都能顺利完成该题，为了继续探究，引导学生发现一般规律，教师又给出了如下探究问题：

变式1：若将题目中的“=”改为“=1”，点P的轨迹方程是什么呢？

结合问题1的探究经验，学生轻松地求得轨迹方程为x=1，是一条直线，且该直线为线段AB的中垂线.

变式2：若将题目中的“=”改为“=λ（λ>0且λ≠1）”，点P的轨迹方程是什么呢？

对于不确定值问题的探究，容易造成学生畏难情绪，因此教学中教师需借助几何画板进行展示，让学生结合直观体验发现隐含其中的规律.

设计意图：在该定理的教学中，教师并没有直接给出定理，而是通过恰当的问题情境为新知探究做好铺垫，接下来运用变式和信息技术引导学生亲历“阿波罗尼斯轨迹定理”的形成过程，让学生在解决问题的过程中不仅获得了知识，而且提升了解决实际问题的能力.

3. 借助多元问题，培养学生创新意识

刚刚的定理不是教师直接给出的，而是学生自己探究发现的，使得学生的学习热情被迅速激发了出来，接下来教师继续引导学生去发现、去探究，使该定理与基本知识点相关的内容同化或异化，从而得到更有探究价值的问题，以此让学生体会探究活动既是自然的，又是有着明确方向和目标的，培养学生发现问题的能力.

片段3：知识建构.

师：想一想该定理的题设是什么？结论是什么？（为了便于观察，教师用PPT展示定理）

生：题设为：①给定了相异的两点A与B；②同一平面内动点P满足=λ（λ>0且λ≠1）；结论是：点P的轨迹为圆.

师：说得很好，如果将题设和结论重新组合，你能够提出哪些新问题？

师：若将题设中的“给定了相异的两点A与B”与结论“点P的轨迹为圆”互换呢？（教师发现部分学生并没有理解上述问题，及时给予引导）

问题2：已知点A（-2，0），P是圆C：（x+4）2+y2=16上任意一点，平面上是否存在这样的定点B，使得=？

设计意图：引导学生将有限的资源进行改编，从而形成新问题、新探究，激发学生的创新意识. 同时，为了让学生明晰探究方向，教师将问题1进行了改编，从熟悉的问题出发，更易于探究活动开展和知识生成.

变式：已知P是圆C：（x+4）2+y2=16上任意一点，x轴上是否存在这样的两定A，B，使=？

设计意图：通过问题2和变式的探究，引导学生得出新猜想：若点P为某圆一动点，则平面一定存在两定点A，B，使得为常数λ（λ>0且λ≠1）.

接下来教师又引导学生将题设中的“同一平面内动点P满足=λ（λ>0且λ≠1）”与结论“点P的轨迹为圆”进行互换，学生通过对变式题目的验证、猜想、总结，形成了新认识，由于对有限资源的整合，使教学内容更加丰富了，有效拓展了学生的数学思维.

在本案例的探究过程中，通过由浅入深的问题引导，学生经历了从特殊到一般的数学探究过程，获得了良好的数学体验. 教学中教师应鼓励学生多一些思考，多一些尝试，多一些联想，多一些变换，让学生在掌握基础知识和基础技能的同时，经历知识产生、形成和发展的过程，更好地获得积极的数学体验，以此提高学生的创新意识.

总之，教学中教师要充分发挥好领导者的作用，根据学生实际情况创设一些真实的、多元的探究性问题，在问题的驱动下让学生主动去尝试、去联想、去发现、去探究，从而让學生成为课堂的探究者、开拓者，让数学课堂充满无限生机和活力.

参考文献：

［1］  许清文. 关于引导学生有效参与课堂讨论的策略［J］. 数学教学通讯，2019（35）：29-30.

［2］  王进忠. 探究式教学法在高中数学教学中的运用实践［J］. 时代教育，2015（12）：192.

［3］  张青峰. 在高中数学教学中培养学生思维灵活性的策略［J］. 数学大世界（教师适用），2010（04）：25.