例谈含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题几种解题策略

摘 要：本文例析含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题的解题策略，提高学生分析和解决函数综合问题的能力，促进学生数学学科核心素养的达成.

关键词：函数不等式;恒成立;参数范围;解题策略

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0023-03

近年来，全国高考试题及高考模拟试题中出现了颇有新意、构思精巧的函数不等式恒成立求参数范围的综合题，这类题涉及知识面广、综合性强，对能力要求較高，能较好地考查学生的思维能力，很值得重视和探究.

1 特值探路

例1 已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围.

解析 将x取特殊值1代入不等式中，不等式应该成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1.

令g（a）=a+lna-1，易知函数g（a）单调递增，g（1）=0，所以a≥1.

点评 利用特殊值探路可以迅速化解题目难度，快速找到题目的答案（准答案），减轻解题思想压力，转换解题思维角度，补全充分性证明过程即可完美收官.一般对数函数可将真数取特值1，指数函数的指数可取特值0.2 分类筛选

点评 含参数函数不等式恒成立求参数范围问题可以利用逐段筛选讨论法求解，对参数按照重要节点进行分类，在每一类中证明不等式成立或举反例说明不成立，最后得解，体现了化整为零的思想和归类整理的思想.

3 分离参数

例3 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

点评 不等式恒成立求参数范围问题，只要容易实现参变分离，就可以很容易转化为最值（或上、下界）问题求解，但在求最值（或上、下界）时常常要用到洛必达法则.

4 构造函数

点评 在含参数函数不等式恒成立求参数范围问题中，将不等式两边转化成同构式，根据同构式构造新函数，利用新函数单调性进一步转化问题，使得问题得到降维求解，此法虽然有一定难度，但能够发现命题人的命题路径及数学问题的本质.

5 虚设零点

点评 虚设零点体现设而不求思想，是解决导数问题常用方法，当导数的零点存在但不易求出的时候，就可以虚设零点，回代到原函数解析式中求值，确定函数值的符号.

6 数形结合

构造函数g（x）=ax-1，h（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]，画出函数g（x），h（x）图象如图1，g（x）图象是过（0，-1）点的直线，h（x）的图象也过（0，-1）点，在[0，3π4]上单调递增，在[3π4，π]上单调递减，要使ax-1≤sinx-cosx在[0，π]上恒成立，只需x∈[0，π]时g（x）图象在h（x）图象下方，由图象知a≤2π时不等式恒成立，即a的范围是（-@，2π].

点评 数学是研究数量关系和空间形式的科学，通过挖掘数学式子背后形的特征，以形助数，是解决数学问题的常用方法.

参考文献：

[1] 张平.函数与不等式中参数的取值范围[J].中学数学教学参考，2018（18）：30-32.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：赵忠平（1972-），男，甘肃省庆阳人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：2020年度甘肃省“十三五”教育科学规划课题“优化教学环节，构建三段六环‘一模多型高效数学课堂导学模式的实践研究.（项目编号：GS[2020]GHB1964）.