排列组合解题中的物理操作

摘 要：对于较难的排列组合问题，如果单纯地从数学角度思考，很难找到解题思路.但换一个思考路径，从物理操作层面探索，往往就有意外的惊喜.

关键词：排列组合;物理操作;化归

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0013-03

排列组合是高中数学的重要学习章节，它对考查学生思维的严密性、深刻性、广阔性具有不可替代的作用.也为学生进一步学习“组合数学”“概率统计”奠定了坚实的基础.但在排列组合解题中，有些题目所需要的思维方式却超出了数学的范畴.如果我们仅仅停留在数学苑囿“深挖洞”，可能最终导致无功而返.如果我们进一步拓广思维视野，跳出数学的方寸天地，就会豁然开朗.我们姑且把这种思维方式，称为“物理操作”.简而言之，就是要通过一系列的“物理”操作，才能完成解题过程.

1 重构操作

即根据题目的意思，在保持原题本质不变的前提下，重新设计操作程序，使新的操作设计更加贴近题意，更具“数学化”.

例1 袋子里有红、黑、白、黄四种颜色的大小相同的小球各10个.每种颜色的10个小球分别标有数字1，2，3，4，…，10.若从中任取4个小球，这4个小球颜色互不相同，且所标数字互不相邻的不同取法共有多少种？

解析 首先假想准备10个无颜色无标号的10个大小相同的小球.

①将其中的6个球摆好，这6个球连同左右两边一共形成7个空位;

②在上述7个空位中，插入另外4个小球，共有

C47种.并将这4个小球做好记号;

③将上述10个小球从左到右标上序号：1，2，3，…，10;

④将插入并做好记号的4个小球取出，给小球依次在“红、黑、白、黄”四种颜色中任选一种涂色，則4个小球的涂色方法数为A44;

⑤则合乎题意的不同取法共有N=C47·A44=840种.

例2 从1，2，3，…，9中任取5个数字组成无重复数字的五位数，要求其中仅含有两个连续的数，且这两个连续的数相邻的五位数有多少个？

解析 （1）将余下的4个数，当作4个相同的小球摆成一排，则一共留出（包括左右两边）5个空位;

（2）将连续的2个数看作2个小球，捆绑成1个小球，插入5个空位中的1个空位;

（3）将余下的4个空位中插入另外3个小球;

（4）标记插入的4个单位的“球”;

（5）将这8个小球（实质上是9个）从左至右依次编号1，2，3，…，9;

（6）取出插入的4个单位的“球”;

（7）将这有编号的4个单位的“球”全排列成五位数;

（8）依题意，满足要求的五位数共有：C15·C34·A22·A44=960个.

2 退步操作

对于有范围限制的排列组合问题，可以先退步思考，满足题设条件，使限制范围变得单一常规.再根据组合模式，寻找进一步的解题方法.

例3 将15个大小相同的小球放入标有“1，2，3，4”编号的盒子里，则每个盒子里放入的球的个数不小于该盒子的编号数的放法一共有多少种.

解析 （1）如图1预先在2号、3号、4号盒子里依次投入1个、2个、3个小球，则剩余9个小球;

（2）将剩余的9个小球摆成一排，中间留出8个空位;（3）在上述8个空位里，任意插入3块隔板;

（4）则满足题意的方法一共有：C38=56种.

例4 已知M=1，2，3，…12，从集合M中任取4个数，要求这4个数中，至少有2个数相邻，问共有多少种取法？

解析 （1）从集合M中任取4个数，共C412种;

（2）将剩余的8个数，当作8个相同的小球摆成一排，一共留出包括左右两边9个空位;（3）在9个空位中插入4个小球，并标上记号;

（4）将上述12个球，从左至右，按1，2，3，…，12编号;

（5）将标上记号后插入的4个小球取出，则这4个小球号码各不相邻;

（6）依题意，满足要求的取法一共有C412-C49=269种.

例5 一排共18个座位，A，B，C三人按如图2方式入座：任意两人之间至少有3个座位，且三人的顺序是A在B与C之间，则不同的坐法共有多少种？

• 解析 （1）先将B，C在座位上坐好，再排好，有A22种，并把A放在B，C之间;

（2）在B，A之间放置3个空座位，在A，C之间放置3个空座位;

（3）将余下的9个空座位，插入如图2所示的4个部分：x1，x2，x3，x4;

（4）即转化为求不定方程x1+x2+x3+x4=9的非负正整数的个数;

（5）因为xi≥0，令yi=xi+1，则

yi≥1，i=1，2，3，4，y1+y2+y3+y4=13;

（6）由隔板法知：方程y1+y2+y3+y4=13的正整数解的个数为C312;

（7）综上所述：满足题意的不同坐法为A22·C312=440种.

3 配位操作

对于“搭配”问题，可以先进行配位操作，使之成为一个“大单位”的“元素”，再按照常规思路考虑.

例6 有14个年轻人和5个老人站成一排，要求每个老人左右至少各有一个年轻人搀扶，问有多少种不同方法？

解析 （1）先从14个年轻人中拿出10个，与5个老人左右搭配，做成5个“年轻人甲+老人+年轻人乙”模式的单位“人”;

（2）将上述5个单位的“人”，与剩余的4个年轻人全排列;

（3）综上所述：满足题意的方法数有A1014·A99种.

例7 公园里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右两边都要有空椅，则有多少种不同的坐法？

解析 （1）先将不坐人的5把椅子排成一排，中间一共留下4个空位;

（2）将3个人安排，每人坐一把椅子;

（3）将“人+椅子”看作1个单位的“人”，在上述4个空位中选择3个

空位推进去;

（4）满足题意的坐法共有A34=24种.

4 无为操作

对于有些题目，表面上看是有序排列问题，但深入细究，却是组合问题.因为各个元素是相异的，本身就存在天然的次序.这就需要我们“无为而治”.相反地，如果真正“有为操作”，则会弄巧成拙.

例8 把五位数abcde满足“a>b>c，c

解析 （1）从“0，1，2，3，…，9”中任取5个数，共有C510种，将取出的5个数中最小的数赋给c;

（2）从取出的5个数剩余的4个数中取出2个数，共有C24種，将取出的2个数中较大的赋给a，较小的赋给b;

（3）将5个数中还剩余的2个数，较大的数赋给e，较小的赋给d;

（4）综上所述：五位“凹数”一共有C510·C24=1512个.5 筑巢操作

对于有些排列组合问题，单从表面思考，很难找到突破口.若我们将此问题放置在一个大的背景下思考，则会迅速迸发出思维的火花.给一个较难的问题，安置一个大背景，我们形象地称之为“筑巢操作”.

例9 如图3，在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点.将x轴上这5个点与y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限的交点最多有多少个？

解析 （1）从x轴正半轴上的5个点中任选2个点，共有C25种;

（2）从y轴正半轴上的3个点中任选2个点，共有C23种;

（3）以上选出的4个点，共可构成C25·C23=30个四边形;

（4）每个四边形的对角线都有1个交点;

（5）满足题意的交点最多有30个.

6 符号操作

对于题目所描述的现象，我们可以抽象为用数学符号来阐释，把这一类操作称为“符号操作”.它的好处在于能迅速建立操作与数学符号的有机联系，为数学化解决问题做好铺垫.

例10 如图4，A，B，C，D，E站成一圈传球，每人只能将球传给其左右相邻两人中的一人.

由A开始传出（算作第一次），经过10次传球又回到A的传球方式共有多少种？图4

解析 记向左传为“+1”，向右传为“-1”.由A开始传出10次球后，又回到A，就是在10个“1”前面添加正号或负号，使其代数和为10，或0，或-10.

（1）当代数和为“10” 时，全是“+”，有1种;

（2）当代数和为“-10”时，全是“-”，有1种;

（3）当代数和为“0”时，即有5个“+”，5个“-”，共有C510=252种;

综上所述，满足题意的传球方式有：1+1+252=254种.

参考文献：

[1] 武增明.细看近八年高考中的排列组合试题[J].数理化解题研究，2021（07）：41-45.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：鲁和平，特级教师，从事中学数学教学研究.