打破思维定式 感悟代数思想

房天营

【案例背景】

方程是小学阶段培养学生代数思想的重要载体，是学生由算术思维迈向代数思维的起点，所以方程在小学阶段具有极其重要的地位。方程是学生在经历了用字母表示数的过程，并且会寻找数量之间的等量关系的基础上学习的。然而，无论是用字母表示数，还是寻找数量之间的等量关系，对学生而言都是很抽象的，他们一下子很难接受代数思维，所以教学的难度很大。

【教学内容分析】

“认识方程”这节课的重点是要学生结合具体情境了解方程的意义，会用方程表示情境中的等量关系，并且经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，学生在学习的过程中将积累等量关系符号化的活动经验。为了使学生体会方程是刻画现实世界的一个数学模型，激发学生的学习兴趣，教材编排了三个情境（如图1-1、1-2、1-3）和三个问题：

第一个问题是用口头语言描述上述情境中的等量关系（如图2）。

第二个问题是引入“用字母表示数”，引导学生用式子表示情境中的等量关系（如图3）。

第三个问题是观察上面表示等量关系所用的式子，抽象并概括出共同特征，从而认识方程（如图4）。

【教学回放】

师（出示图1-1）：估一估樱桃的质量。

生1：我估计大约有10克。

生2：我估计大约有30克。

师：你们说的都是具体的数量，能不能用字母来表示樱桃的质量？

生3：樱桃的质量是n克。

生4：樱桃的质量是x克。

……

出示：

师：根据这幅图说一个式子。

生5：樱桃的质量+小砝码的质量=大砝码的质量。

师：现在樱桃的质量是x克，能列出一个式子吗？

生6：x+2=10。

[教学思考：借助天平直观演示平衡，说明两边物体的质量相等，学生说出等量关系后很容易列出等式。由实物演示到抽象式子的过程，学生的思维能力得到进一步发展。]

出示图6：

师：观察情境图，说出图中的数量关系。

生7：4块月饼的质量=380克。

生8：每块月饼的质量×4=380克。

生9：380÷4就等于每块月饼的质量。

师：如果每块月饼重y克，能列出一个等式吗？

生10：380÷4=y。

师（有点着急）：没错，这是一个等式，但不是根据“每块月饼的质量×4=380克”来列的，还可以怎么列？

（学生沉默）

师：看黑板上的式子“每块月饼的质量×4=380克”，左边是什么？右边呢？怎么列式？

生11：y×4=380。

出示：4块月饼的质量=380克

4y=380

[教学思考：由天平过渡到电子秤，形式的变化使学生失去了直观的两端相等的参照，陷入了用算术法计算结果的惯性思维当中。尽管教师一再启发、提示，但学生由于没有学习方程，始终很难想到用方程式子表示等量关系。]

出示课本情境图：

师：看到这幅图，你会列式吗？

生12：（2000-200）÷2。

师：为什么这样列式？

生12：这样可以算出每个热水瓶能装900毫升水。

师：我们不需要计算出结果，只需要表示它们之间的相等关系。2个热水瓶的容量和1个水杯的容量正好是水壶的容量，应该怎样列式？

生13：2个热水瓶的容量+1个水杯的容量=水壶的容量。

师：如果每个热水瓶的容量是n毫升，怎样用式子表示？

生14：2×n+200=2000。

生15：2n+200=2000。

（教师根据板书的算式分类、归纳，揭示方程的概念。然而在练习环节，学生依然出现了“不列方程，而用算术方法直接算出结果”的现象。）

[教学思考：用语言表达等量关系本身就是教学的难点，更何况是这么复杂的等量关系，学生不能顺利说出等量关系也是意料之中。但教师没有更好的办法引导学生感受顺向思维的优势。]

出示图8：

生16：x+20=20+50。

出示图9：

生17：（11-7）÷2=x。

（有的学生干脆直接算出了结果）

【案例研讨】

在议课环节，评课教师给出了积极的评价：执教者语言幽默诙谐，尤其是肢体语言极为丰富，课堂上笑声不断，给学生营造了一个愉快的学习氛围;这节课的教学设计朴实而有新意，教学过程真实而生动，学生学得轻松又愉快。但是也提出了存在的问题：在揭示方程概念时，学生列方程表示的式子始终没能达到要求，虽然这是学生真实的学习状态，但是显然没有达到预期的教学效果。

学生在表示情境图中的等量关系时为什么不会顺向思维用方程表示，非得逆向思维用算术方法计算出结果呢？如何解决这一问题？

【案例分析及思考】

带着这个问题，笔者认真查阅了相關资料并积极和教研组的教师进行了探讨，得出以下几个方面的因素。

1.学生的思维定式。用算术方法计算结果是学生多年的习惯，因为从小学一年级开始，面对问题时，教师常这样提问：“要想求出这个问题，我们该怎么计算？”算术法已经成为学生的惯性思维，因而与新知造成冲突。而学生的认知与经验发生冲突，正是学习新知的一个契机，也是学习新知的增长点。对此，教师首先应认可等式380÷4=y，再引导学生利用字母表示数的知识进行讨论，最后得出4y=380。这样，先让学生明白同样的等量关系可以用不同的等式表达，再引导学生比较这两个等式哪个更好，更符合思维习惯。学生经过比较后也会得出“4y=380更好理解”的结论。

2.学生对于用字母表示数量和把字母当成已知数量参与运算不习惯。因为有了前一节的用字母表示数的认知基础，本节课的教学如果要充分链接旧知识，在涉及从数量等式到含有字母的等式时，就需要适当过渡一下。如一开始的天平平衡，两边都放入已知的砝码，左边放2个5克砝码，右边放一个10克砝码，让学生得出5+5=10，然后把一个砝码换成一个实物，假设它有x克，引导学生写出5+x=10。这样强化等量关系和等式的概念，便能唤醒学生的旧知，学生就能够从生活情境中提炼出方程模型，并用含有未知数的等式来表达等量关系。

3. 学生处在由具体形象思维到抽象思维的过渡时期。用天平演示时，学生很容易得出等量关系，并列出方程，而对于隐藏了天平的实物或图片，学生则不容易列出方程。这就充分说明了具体形象的东西，学生容易理解和接受，而对于需要进行分析和推理的概念，学生则难以接受和领悟。对此，可充分利用多媒体和各种直观的实物教具，先带领学生对等量关系及等式进行有目的地观察，让学生从具体的形象中区分哪些是主要的，哪些是次要的，找出它们之间的内在联系，再用形象生动的语言启发他们比较、分析和判断，找出其中的相同点和不同点，再归纳概括出等量关系与等式之间的本质属性，学生就能从形象思维过渡到抽象思维，列方程就会更加顺利。

4.提出的问题指向不明确。在出示4块月饼重380克的情境图之后，教师提出：“观察情境图，说出图中的数量关系。”接着又问：“如果每块月饼重y克，能列出一个等式吗？”这样的问题指向不够明确，学生的思考也就没有目的性。这里的问题可以更具体些，例如改成“根据情境图，我们可以找到一个等量关系，写出一个等式，那么在图中你还能找到另一块等量关系吗？”这样学生就能容易地说出“4块月饼的质量=380克”。教师再启发学生分析 “当一块月饼的质量未知时，我们可用字母x或y表示，那么能得出一个什么样的等式呢？”这样的引导更自然，学生用方程来表示也会水到渠成。

总之，教学方程知识，教师要根据教学内容和学生的思维水平，运用恰当的教学方法，提出切实可行的要求，对学生进行代数思维的初步训練。只有这样，才能让学生感悟和接受方程思想，从而与初中数学的学习接轨。“教学永远是一门遗憾的艺术”，但只要教师静下心来思考，蹲下身体了解学生，深度把握细节，有效突破难点，就会让课堂精彩而高效，也会让遗憾少一些。

（责编 金 铃）