大概念教学视角下初中“二次函数”的单元教学设计一则

【摘 要】 二次函数是初中数学的一个重、难点，它是培养学生数学思想和能力的良好载体，具有衔接初、高中函数学习的作用.但学生在二次函数部分的得分率相对较低，究其原因是学生主要以单个知识点学习为主，学习知识碎片化、不系统.本文以促进初中生的深度学习为目的，研究重点是以大概念的思想方法作为单元支架进行单元设计，构建逻辑性强的学习框架，将零散的知识概括为某一个“大概念”的形式，便于学生整体性地学习，促进学生深入思考，培养知识迁移运用的能力.

【关键词】 大概念教学;单元教学设计;深度学习;二次函数

1 研究背景

《普通高中课程方案（2017年版2020年修訂）》中明确指出：“重视以学科大概念为核心，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.”[1]大概念是经过检验，位于学科中心位置的概念性知识[2].黎加厚教授提出深度学习是指学习者在理解的基础上，批判性地学习和将所学知识和思想融入原有的认知结构中，并能迁移运用到新情境，做出决策和解决问题的学习[3].数学深度学习是以数学学科的核心内容为载体，在教师引导下，围绕主题或任务，全身心参与学习活动，开展数学能力培养的思维活动，核心素养导向下培养关键能力[4].

由于课程紧、教学任务繁重等原因，教学大多是按教材编排顺序和课时要求来学习，导致学习的知识零散、停留在表面，迁移运用的能力较差.大概念的内涵和思想方法正好弥补了这些缺陷，可通过大概念教学视角下进行单元设计来落实核心素养的发展和深度学习，如图1.

2 研究思路

研究思路分为四大部分，即内容分析、单元设计、实施过程、反思环节.通过文献分析二次函数单元设计的理论和研究情况，围绕深度学习，从大概念教学视角下，以单元为载体进行教学设计.内容分析环节，依据课程标准，对比不同版本教材中二次函数内容编排的特点，分析不同设置的优缺点，综合三个版本优化内容进行单元设计.

3 二次函数单元教学设计

二次函数是初中数学的一个重、难点，衔接了初、高中函数的学习，也是一个培养学生数学思想和能力很好的素材，所以以“二次函数”为例具有现实意义.

大概念是大单元的上位概念，大单元主要从学科大概念的角度出发，依据核心问题和知识之间的联系，将逻辑紧密的几个单元或者一个单元的内容分解，再根据学习的核心问题进行重组和优化.布鲁纳提出：任何学科都拥有一个基本结构.大概念下的单元教学设计旨在体现这一思想和期望，围绕大概念建立良好的学科基本结构，并围绕这一结构进行单元教学[1].因此，大概念教学理念的实施建立在单元教学的基础上，进行单元设计是基本步骤.

3.1 课标分析

《义务教育数学课程标准（2011版）》要求通过实际问题的分析体会二次函数的意义，会用描点法画出二次函数的图象，借助图象研究函数性质，采用配方法将二次函数的一般形式化为y=a（x-h）2+k的形式，根据y=a（x-h）2+k直接得出二次函数的顶点坐标、开口方向和对称轴.根据函数和方程之间的联系，求方程的近似解，知道确定二次函数的条件，同时，能够解决实际问题.体会所蕴含的数学思想方法，并提高学生的抽象概括、逻辑推理、数学建模、数据处理等基本能力[5].

按上述课标的要求，在义务教育阶段，模型思想作为十大核心概念被提出，但没有单独板块学习.实际上，数学建模素养在初中很多地方有渗透，在函数和方程等模型中的渗透尤为明显，因此，在本单元中的素养确定数学建模素养[6].

3.2 教材分析

表1从不同维度对三版教材进行比较分析，三者存在的共同点：情景选取与生活比较贴切，类型基本相同.不同点：二次函数所处位置、内容呈现结构、信息技术的使用、总结方式.人教版中二次函数紧接在一元二次方程的学习之后，两者有紧密联系，紧接着学习利于知识的迁移与理解，其他两个版本都分隔开.内容呈现结构上，人教版较为详细，有系统的归纳，以“总—分—总”的结构，北师大版和苏科版对学生的基础水平要求比较高，以探索性学习为主，北师大版是“分—总”型.另外，人教版和苏科版都使用了几何画板，苏科版中在网格中作图且以对照的学习方式，这对学生深度理解二次函数具有一定的作用.北师大版中将确定二次函数的表达式作为单独的一节，加深学生认识二次函数的形式，这个部分保留.三个版本都包含阅读性材料，能够拓展学生课外知识，加深对函数的理解.所以，课外阅读可以结合使用.总结方式上，人教版和北师大版以问题串和思维导图方式梳理知识，有助于在学生认知中构建一个完整的学习框架.

3.3 学情分析

依据北师大版教材的内容编排顺序，一次函数、反比例函数和一元二次方程编排在二次函数前，学生已体会了函数的内涵和基本学习方法.二次函数和对应的方程有紧密联系，类比方程系数的确定方法，学生很容易得出函数的系数.思想方法上，可以类比先前函数的学习方法和活动经验，探索二次函数的图象和性质.从学生的认知角度，初三学生思维活跃、具备较强的观察能力，通过观察一些现象，能找出一些规律，和能用简单的语言概括事物的基本特点.还可从完成作业、回答问题和学习态度的情况分析，评估学生的知识与能力水平，进而发现学生薄弱点，有针对性设计教学.另外，教学设计应遵循面向大多数学生，兼顾少部分需要拔高的学生.因此，需要有层次的设计任务和问题.

3.4 单元学习目标分析

单元学习目标依据三维目标融合确定，实际教学中，三者是紧密联系，在过程中学习知识和技能，掌握一些数学的学习方法，体会二次函数单元蕴含的数形结合等数学思想.情感态度与价值观是更高层次的维度，是基于前面两个的基础上，在学习过程的熏陶下逐渐形成，需要一个长期的过程进行影响.二次函数的单元学习目标，如表2.

3.5 教学过程

3.5.1 整体纵观单元

一个单元包含许多小节，单元统领小节.首先，需要整体把握单元学习内容，如图2.

情境导入：以喷泉、投球和抛物线型的拱桥导入，以视频播放的形式.

学生行为：让学生观察轨迹形状，初步感受本单元的学习对象.

整体目标：学生阅读章前节的学习目标.

学习脉络：（1）学习对象是什么？（2）我们学习一次函数时，依次学习了哪些内容？（3）类比一次函数的学习，将大致按什么逻辑顺序学习二次函数？

设计意图 体会二次函数在生活中的应用，整体感受本章学习内容，明确整体学习目标.

依据学习任务的需要设计学习活动，包括独立思考、合作交流、成果展示和解决问题四个环节，从知识和方法方面小结，达到利用新知解决问题，培养迁移运用的目标，具体流程如图3.以下节选a的值如何影响二次函数图象的课例为例.

课例1 探究a的正负如何影响函数图象.

活动1：画二次函数y=x2的图象.

复习回顾：作图步骤是什么？

预设：存在的难点学生不知道x应该取哪些值，为了突破难点，引导学生尽可能的多取一些点，取的点尽可能涉及负数、0和正数.

师：在黑板上绘制直角坐标系，之后，巡视学生作图情况.

展示成果：学生展示作的图并分享想法，根据学生展示和表述的情况，给予及时鼓励和评价.

追问：x可以取哪些值？不妨多取一些点，使x取互为相反数的两个数时，观察结果.

（1）二次函数y=x2的列表，如表3.

（2）在直角坐标系中描点.

（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象，如图4.

观察思考：教师在黑板上演示作图过程，学生观察图象并思考以下几个问题.

（1）你能描述二次函数的形状吗？

（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

（3）图象是轴对称图形吗？如果是，它的對称轴是什么？请找出几对对称点.

（4）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

（5）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

合作交流：小组相互交流上述问题，并汇报小组讨论结果.

设计意图 培养学生独立思考和合作交流的能力.

突破难点：可利用学生熟知的生活情景克服读图能力弱的问题，将从左到右观察图象呈“下降”或“上升”状态形象地类比“下”或“爬”滑梯.“下”或“爬”滑梯引起高度的变化，对应到函数中，即x的变化引起y相应的增大或减小.

设计意图 借助学生熟悉的情景，作类比帮助学生形象理解.

反思回顾：通过上面的活动，存在什么疑问？或理解错误的原因是什么？活动2：作二次函数y=-x2的图象，如图5.

设计意图 对照学习和系统归纳便于学生的区别和理解.

问题思考：想一想它和二次函数y=x2的图象有什么关系？

小组交流：梳理y=-x2的图象和y=x2的图象的关系，分享想法.

总结归纳：（1）知识点：从二次函数y=ax2的图象的形状、对称性、增减性和顶点坐标方面总结，分a>0和a<0两种情况讨论.（2）数学思想：分类讨论、数形结合等.

拓展阅读：完成北师大版九年级下册33页的读一读.

迁移应用：正方形的边长为a，面积为S，试画出S随a的变化而变化的图象.

设计意图 熟悉函数图象的画法，以实际背景促进学生对二次函数的理解.

课后作业：在同一个直角坐标系中作y=x2、y=12x2和y=2x2的图象，并分别找出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标和当x<0时，y随x增大，y如何变化，当x>0时呢？

设计意图 熟悉作图步骤，通过观察函数图象得出函数性质.同时，为下节内容的学习奠定基础.

课例2 探究a的大小如何影响函数图象.

展示成果：呈现学生所作的图，观察和表述三个图象的相同点和不同点.

设计意图 给学生展示的机会，培养学生的自信心和表达能力.

明确要求：请同学们从开口方向、顶点坐标、对称轴和y随x的变化如何变化等方面叙述.

板书设计：

相同点：开口都向上，顶点坐标都为（0，0），对称轴都为y轴，x<0时，y随x增大而减小，x>0时，y随x增大而增大.不同点：开口的大小不同.

思考：二次函数图象开口大小不一样的原因是什么？a的值和开口的大小有什么关系？

活动1：在同一个坐标系中，作y=-x2，y=-12x2和y=-2x2的图象，如图6.

y=-2x2与y=2x2的图象是关于x轴对称，它们a的值有什么关系？

观察：静态与动态展示图象随a值的变化情况.几何画板展示动态过程，如图7.

设计意图 利用几何画板展示，更加形象，学生通过观察能够直观感受a值对开口大小的影响.

小结：a的值决定二次函数图象的开口方向和大小，a>0，开口向上，a<0，开口向下，a越大，开口越小，即函数图象越靠近y轴.

反思：从知识和方法目标方面进行初判.

3.5.2 单元复习归纳

（1）以问题串梳理章节知识.

（2）思维导图归纳知识体系.

设计意图 梳理单元知识内容，知识结构图帮助学生理解与记忆.

4 结语

课标为基准，核心素养为导向，大概念教学视角下进行单元设计，采用“总—分—总”结构进行学习.同时，以问题或解决任务为驱动，分解任务层层递进引导，提问开放性的问题促进学生的深入思考.利用现代信息技术加以辅助，特别是动态的展示，给予学生直观的感受，对突破二次函数抽象、枯燥的难点有积极作用，实现学生在大概念教学视角下进行系统学习，改变学生学习知识零散的现象，帮助学生形成完整的知识体系.

参考文献

[1]张申.基于大概念的单元教学研究与实践——以山东省昌乐二中为例[J].基础教育课程，2021，（19）：35-40.

[2]李春艳.中学地理“大概念”下的单元教学设计[J].课程·教材·教法，2020，40（09）：96-101.

[3]王珏.杜威的教育思想与深度学习[J].软件导刊，2005（09）：6-8.

[4]刘晓玫.数学深度学习的教学理解与策略[J].基础教育课程，2019（08）：33-38.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[6]斯海霞，叶立军.大概念视角下的初中数学单元整体教学设计——以函数为例[J].数学通报，2021，60（07）：23-28.

作者简介 胡晓韵（1995—），女，贵州毕节人，硕士研究生;主要从事中学数学研究.