IBDP课程数学探究与课程标准数学建模的教学融合

邵爱国 文素珍

摘  要：以“梅林水库面积测量”为例，对IBDP国际课程评价标准与我国高中数学课程标准中涉及培养学生数学探究和数学建模能力的教学内容进行比较和融合，并设计指向数学核心素养提升的教学环节，引导学生开展学习活动，达到取长补短、寻求共同教学价值的目的．

关键词：IBDP国际课程评价标准；数学探究；数学建模；教学融合

为了满足部分学生选择国际课程的需要，我校开设了具有较高学业水准的国际文凭课程IBDP. 在教学中，我们发现IBDP课程提出的对学生数学探究能力的培养与我国《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中提出的数学建模素养具有共同指向，两者的培养目标和实施形式也相近，但IBDP课程的评价标准和实施细则有更明确的要求，值得借鉴. 本文通过一个教学案例，对数学探究和数学建模进行教学融合的探索.

一、数学探究和数学建模的评价标准

在开展数学探究和数学建模活动之前，首先应该明确活动目标，并确定活动的评价标准.

IBDP课程的数学探究（因采用内部评价Internal Assessment的方式，以下简称IA）是通过一篇12 ～ 20页的学术论文展现学生个人进行数学探究的过程，占最终成绩20%的权重. 经过多年的课程改革，IBDP数学（分析与方法）2021年最新大纲优化调整了IA的评价标准，如表1所示.

从以上评价标准可见，IBDP课程的IA鼓励学生结合个人兴趣在生活中发现问题，思考如何使用数学知识解决实际问题，并在不断检验和反思中优化解决问题的方法. 它强调在探究过程中多角度使用不同方法去分析和解决问题（评价标准C），并及时反思、调整方法（评价标准D），将自己探究思考的过程规范（评价标准B）、清晰、有條理地（评价标准A）在IA中呈现出来. 其中，分值最大的数学应用（评价标准E）重点不在于学生使用数学知识的难度，而是学生能否在文章中清晰、准确地解析所使用的数学知识和方法，以此检验学生对数学知识和方法的概念理解和应用能力. 由此可见，IA的目的不是学生进行数学探究所得出的结论，而是学生在数学探究过程中的收获. 通过完成IA，使学生掌握科学探究的方法，培养学生分析和解决实际问题的能力.

IA包括但不局限于数学建模，大部分学生在完成IA时都会使用数学建模的思想. 作为数学核心素养之一的数学建模在《标准》的评价标准中分别从以下四个方面划分为三个水平层次：提出问题，发现问题；建立模型，求解模型；理解建模的意义，用数学语言表述建模的过程和结论；在交流的过程中，用数学模型阐述实际问题.

从两类课程的评价标准来看，在探究和建模的过程中，使用多种方法分析和规范数学语言表达两个方面的要求最为相近. 同时，两类标准都鼓励学生使用信息技术手段进行探究，体现出两类课程在培养目标中都非常重视科学创造性和学术规范性，且配合科技发展的需求. 但是，两类标准又各有侧重点. IA的评价标准更倾向于对学生个人独立完成的学术论文的写作提出细节要求，且要求学生在探究过程的每个阶段都对探究步骤进行反思和调整，即反思不是只出现在探究活动的末尾，而是贯穿整个探究活动，以培养学生的批判性思维.《标准》中的数学建模活动要求学生采取独立完成或者小组合作的方式整理资料，撰写研究报告或小论文，并进行报告、交流和评价，因此更重视数学建模的阶段性和系统性. 在其评价中，还使用除数学建模外的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析五个核心素养评价标准进行分析赋分，多维度评价学生的数学能力和核心素养.

二、案例设计和探究活动过程

定积分在高中阶段最常见的应用是求不规则图形的面积，在学习了IBDP课程中的定积分的应用后，结合IA的评价标准，参考《标准》中数学建模的四个阶段，我们以“梅林水库面积测量”为主题开展本次数学探究活动.

本次数学探究活动，在教师指导下分四个阶段以学生为主体分组进行.

1. 发现和提出问题（第一阶段，课堂进行）

活动目标：讨论可行的测量方法和收集数据的方式，并通过共享文档共享数据信息和探究方法.

学生通过网上检索，获得梅林水库的地图及比例尺，并由文献数据搜索获得梅林水库的面积为0.64平方千米. 学生分小组进行头脑风暴，提出如下几个简易的测量方法.

（1）三角形划分法.

如图1，将水库平面划分为若干个三角形，通过地图的直线距离测量功能获得三角形的三条边长. 利用海伦公式计算三角形的面积，最后将所有三角形的面积求和得到水库的面积为0.591 546平方千米. 结论接近实际面积，但仍存在误差，主要原因是部分三角形未能完全覆盖或者过度覆盖实际水库平面.

（2）方格划分法.

如图2，通过在平面图上划分方格，粗略数出水库所在区域共计222个方格，按照比例尺估算每个方格的面积，得出水库总面积约为2.22平方千米，与水库实际面积相差甚远. 反思总结其原因，主要有：存在与三角形划分法类似的覆盖误差问题；比例尺设置误差. 与三角形划分法相比，方格划分法的优势在于计算量小，更容易操作.

（3）方格细分法.

方格细分法是方格划分法的升级. 通过缩小方格的面积，以减小覆盖问题引起的误差. 但随之产生的新的问题是随着方格数量的增加，探究的操作难度加大. 由此提出，使用较大的矩形将中间可确保完全覆盖的区域进行整体的面积计算，简化操作难度，如图3所示. 最终得到“水库的面积为0.593 27平方千米”的结论. 结论更加接近水库的实际面积，在精确度和可行性之间取得了一定的平衡.

通过共享文档，各小组之间即时分享数据和探究方法. 在课堂上，学生讨论不同方案的可行性和可靠性，并提出改进方法. 例如，针对方格细分法，教师引导学生得出结论：在确保可行性的前提下，无论选用什么几何图形都可以估算面积，越细分越精确. 由此联系到学过的梯形法则和黎曼和，从而引导学生提出使用定积分的方法解决问题，实现知识和方法的迁移.

从IA的评价标准来看，鼓励学生从不同角度使用不同方法对问题进行数学探究是评价标准C（个人参与度）的重要体现. 因此，在数学探究的过程中，鼓励学生大胆试错并完整记录数据和思路，让学生充分享受探究的过程. 在进行多种探究尝试后，根据评价标准D（反思），要求学生批判性分析每种方法的利弊，从而确定进一步探究的方式，体现对学生批判性反思能力的培养.

参照《标准》的要求：学生能使用不同几何图形面积之和的方法解决不规则图形的面积计算问题，并在图形的形状和大小上进行分析和改进，可以认为学生能达到直观想象、数学运算和数学建模水平一的要求；学生能从简单的几何图形面积之和问题联想到使用定积分进行计算，可以认为学生能达到数学抽象水平一的要求.

2. 建立和求解模型（第二阶段：课上或课下完成）

活动目标：建立模型，确定参数，拟合函数，求解计算.

解决方案基本确定为通过建立平面直角坐标系，把水库平面图的边缘曲线分为上下两个部分，确定边界点坐标，利用上部边缘曲线与x轴围成的图形面积减去下部边缘曲线与x轴围成的图形面积求得水库面积，如图4所示.

根据曲线的变化趋势，将边缘曲线分成若干段，确定每一段的端点坐标，分组完成分段拟合函数，分别使用定积分求面积.

问题分解1：延伸课堂学习，获得选取拟合函数类型的新知识.

IA的评价标准C（个人参与度）的一项重要体现就是鼓励学生自主探究课外知识以实现数学探究过程中所需要的理论支撑.《标准》中也提到教师应该优化课堂教学，转变教学方式和学习方式，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源. 选取拟合函数对学生来说是一项新的挑战. 对边缘曲线拟合函数，若用IBDP课程中的线性回归模型进行拟合显然会导致较大的误差. 因此，引导学生自主查阅了解非线性模型的类型，以及如何用拟合值[R2]来选取最适合的函数模型. 常用的几种非线性拟合函数模型（如指数函数、对数函数和多项式函数）都是课程范围内的知识点，学生也比较容易进行自主学习.

问题分解2：选取技术工具，确定利用定积分求面积的方法和步骤.

两类标准皆鼓励学生注重信息技术与数学课程的深度融合，适当、合理借助科技手段（如计算机软件或科学计算器等）进行数据处理. 尤其在数学探究和数学建模的过程中，经常会涉及大量的数据处理，熟练使用信息技术手段解决问题显得尤为重要. IBDP课程在课程设置和考核方式上对学生熟练使用图形计算器的要求较高. 图形计算器、Desmos绘图软件和Excel软件都是IBDP课程中常用的技术工具.

经过讨论，学生确定先借助TI图形计算器或Desmos绘图软件在水库平面图中描点并获取各点的坐标. 再利用Excel软件或Desmos软件的拟合函数功能，通过输入数据点坐标形成散点图，进而拟合函数，并通过观察拟合值[R2]选取最恰当的函数模型. 确定函数模型后，使用TI图形计算器完成较复杂的定积分计算.

以第四组的一段边缘曲线拟合过程为例. 经观察，出现曲线形状符合四次多项式函数图象特征. 通过在Excel软件中选取四次多项式函数，得到拟合值[R2≈][0.738]. 学生尝试将拟合函数类型调整为五次多项式函数，如图5所示. 得到拟合函数[y=0.071 7x5-5.266 7x4+]

由于五次多项式函数的拟合值趋近于1，故学生决定选取五次多项式函数为该段曲线的拟合函数. 利用TI图形计算器进行定积分计算，得到

每个小组都通过描点、选取拟合函数和定积分计算完成了本组的面积求解任务. 在此过程中，教师提醒学生思考并讨论取点的数量和计算结果的精确度可能对结果误差的影响. IA的评价标准B（数学表达）要求学生根据实际数据选取适当的精确度.

在此阶段，教师要求学生在课堂上详细描述选取某种函数模型进行拟合的原因. 例如，观察到某段曲线有水平渐近线，所以选择具有水平渐近线的指数函数模型，并进一步参考其拟合值[R2]. 在IA的评价标准E（数学应用）中，要求学生深刻理解所使用的数学知识，從而恰当地将其应用到解决问题的过程中. 对数学知识的理解，并不只是正确的计算和解答，而是要给出解释，即为什么选用这类数学知识来解决问题. 同时，对使用的数学知识的深刻理解也体现了IA的评价标准C（个人参与度），深刻理解后展开的批判性思考则体现了IA的评价标准D（反思）. 三个标准环环相扣，相互依存.

根据《标准》的评价标准进行分析，学生通过图形初步判断拟合函数的类型，经历通过图形建立直观猜想、通过计算验证结论的思维与操作过程，提升了直观想象和逻辑推理素养. 此阶段需要收集数据，利用技术手段选取拟合函数，并使用定积分进行计算. 在探究过程中，有个别小组利用微积分基本定理写出了求定积分的步骤，可以认为学生能达到数据分析水平一的要求，以及直观想象、数学运算和数学建模水平二的要求.

3. 检验和完善模型（第三阶段：课堂完成）

活动目标：各小组分享探究和计算的结果，并提出在探究过程中遇到的问题，讨论改进模型的方法.

经过一周的课下分组拟合函数，学生在课堂上共享计算结果并展开讨论. 学生提出了一个有趣的问题：因为观察到曲线有多个拐点，大多数小组都选取了多项式函数进行拟合，并通过比较拟合值[R2]的大小选取最恰当的多项式函数模型. 然而，有两个小组在使用函数模型计算定积分的过程中却得到了负数的结果. 这显然与面积为正数相矛盾. 经过学生反复检查，确定定积分的计算过程是正确的，显然问题出在函数模型的选取中. 很快，有学生发现这两个小组为了简化步骤都选择了较长的一段边缘曲线使用一个函数模型来拟合，在比较[R2]大小选取函数模型的时候，都根据最佳的拟合度选取了较高次数（五次或六次）的多项式函数模型. 放大函数图象可以发现，虽然选取的较高次数的多项式函数模型与已知数据点拟合度高，但是函数图象在此区间内有较多部分在[x]轴下方，导致求出的结果为负值. 学生反思后总结：拟合函数时不能一味追求拟合值[R2]接近1，而应该结合实际问题考虑选取适合的方法. 在分段拟合边缘曲线时，每一段尽量少包含一些拐点，以一到两个为宜（如图6），这样可以减少以上错误发生的可能性.

另外，还有小组分享了使用不同的取点方法比较同一段曲线，使得拟合函数的类型有差异，进而引出结果的误差.

第三阶段在IA的评价标准D（反思）中属于过程性反思，培养了学生的批判性思维能力，即在探究过程中通过不断反思改进和调整方案. IBDP课程将反思作为十大培养目标之一，鼓励学生在学习过程中运用批判性思维肯定积极行为，发现存在的问题并解决问题. 在数学探究中，应用反思是优化问题解决方案的最佳推动力，在《标准》中，反思行为是实现数学建模基本过程中检验结果的重要手段. 随着反思的深入，可以根据其程度认为学生能达到逻辑推理和数学建模的水平二的要求，甚至水平三的要求.

4. 分析和解决问题（第四阶段：课堂完成）

活动目标：展示结论，总结反思，问题延伸.

各小组对自己的数学模型进行进一步调整和优化后，基本能得到接近官方数据0.64平方千米的结论. 然而，在这一阶段，最重要的并不是结论，而是对整个数学探究过程的反思和延伸. 探究过程流程图，如图7所示.

在分享时，各小组从各个角度提到了本组选取的方法的局限性. 例如，测量和计算的误差问题，拟合函数模型的选取问题. 还有学生分享了用其他软件（如Matlab，Origin）拟合函数的方法. 教师鼓励学生思考本次数学探究的方法还可以用来解决什么实际问题，学生各抒己见. 例如，有学生提到可以测量自己手掌面积的大小.

教师进一步引导学生改变维度，将计算不规则图形面积的二维计算问题引申为探究不规则图形的周长和体积问题. 例如，利用定积分求曲线长度的方法测量水库周长. 教师抓住学生的好奇心，引导学生进一步查阅学习著名的海岸线长度问题. 有学生提到，能不能从探究水库面积延伸到探究水库的容积，还向大家展示了他查到的水库蓄水位和总库容的数据，提出能否用圆柱或者圆台的体积公式近似求水库的容积，从而引起学生针对不规则立体图形的容积问题展开了新一轮的讨论. 教师在此适时提醒学生，定积分可以用于求不规则图形的面积，也可以用于求旋转体的体积，那么非旋转体的体积如何求呢？教师引导并鼓励学生查阅二重积分的相关内容.

在第四阶段中，教师重点引导学生对探究方法进行总结和延伸. 在内化探究的过程中，使学生在获得知识和技能的同时提升发散性思维，将IA的评价标准延伸到不同的情境中. 评价标准D（反思）和评价标准E（数学应用）中都提到鼓励学生思考如何将探究方法进行拓展. 而在《标准》的评价标准中，则可以认为学生在此阶段能达到逻辑推理和数学建模水平三的要求.

三、收获与反思

1. 探究过程比获得结果更重要

在这堂课的最后，大部分学生会重点关注数学探究的结论及其局限性. 教师应该及时引导学生将数学探究进一步延伸，提升数学探究的开放性，激发学生的求知欲，培养学生终身学习的习惯. 同时，回归《标准》中提出的新课程理念，即教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新、从局部实施到整体构想，经历“选题、开题、做题、结题”的活动过程，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯.

2. 主動建构比被动接受更高效

建构主义提倡在教师指导下的以学习者为中心的学习，学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象. 由此可见，无论是IBDP课程的数学探究还是《标准》的数学建模，都是让学习者在一定的情境中借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料和工具，通过意义建构的方式形成新的认知. 其过程符合知识获得的本质和规律.

3. 融合旨在实现有效融通

在条件允许的情况下，把IBDP课程与国家课程中的相关内容在教学实践中进行符合国情的融合处理是一种开放式的有益尝试. 教师和学生可以从不同的课程体系中博采众长、取长补短. 从这个课例中不难看出，数学探究和数学建模都指向学生素养的提升，可谓异曲同工、殊途同归. 在融合中借鉴，寻找教学价值取向的融通，丰富了我们的教学方式和教学内涵，这是世界课程改革的大势所趋.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］高文，徐斌艳，吴刚. 建构主义教育研究［M］. 北京：教育科学出版社，2008.

收稿日期：2022-09-26

基金项目：2021年度广东省教育科学研究院中小学数学教学研究专项课题——构建“以学生为主体”的高中数学课堂的研究与实践（GDJY-2021-M089）.

作者简介：邵爱国（1964— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学实践研究.