数学教学中学生深度思考的实现

摘  要：数学教学要给学生留足思考的时间，让他们深度参与、探究、交流与表达，并创设开放性问题，引导学生进行自主和自由的思考. 通过设置项目化作业，拓展学生思考的空间，将学生思维的训练引向纵深，真正实现深度思考，提升学生的思维品质.

关键词：数学教学；深度思考；思考时间；开放性问题；项目化作业

学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等过程. 这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模型进行思考和判断. 高中数学教学以发展学生核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 对学生思维的训练就蕴含在思考的过程中. 只有深度思考，才能真正提升学生的思维品质. 没有思维训练的教学一定是浅表性、形式化、灌输式的教学，没有深度思考的学习并不是真正的数学学习.

一、充足的时间：促进学生深度思考的保障

在数学课堂教学中，深度思考有利于学生学习能力的培养和核心素养的提升，是高效优质课堂的保障.深度思考需要时间. 然而，一些教师为了赶超教学进度一讲到底，导致留给学生自主思考的时间少之又少.“教师乐于讲，学生疲于听”的现象比较常见. 在这种教学模式下，学生获取知识依赖于告知式的静态文本输送和浅层模仿的机械操作，学生的思维只能浮于表层. 只有在时间充裕的情况下，学生的思考才能深入，思维才能被激活，才能对问题有深刻的分析，才能真正实现深度思考.

案例1：点到直线的距离公式.

问题1：如何从定义出发求点[Px0，y0]到直线l：Ax + By + C = 0的距离？

给学生一些时间计算，然后提出问题：在运算过程中，你遇到了什么困难？

在推导公式时，无论是求垂足[Qx1，y1]的坐标，还是用两点间的距离公式求线段PQ的长度，都对学生的运算提出了考验，在后面的解析几何的学习中学生还会遇到类似问题. 此时留足时间让学生经历思维困境，突破思维障碍，可为解析几何的学习中运算的优化提供心理基础.

问题2：能否从运算策略上进行优化？

给学生留足自主探究的时间，在学生有了自己的探究方案和运算过程后，当堂展现几名学生的探究结果，让学生说自己的思考方法（学生想到了运用三角函数、等面积转化和三角形相似等策略将线段PQ长度的计算转化为易求的水平或垂直距离）. 在这个过程中，留给学生充足的思考时间，让学生深度参与探究过程，充分暴露思维过程，提炼、总结并优化其中蕴含的数学思想方法.

问题3：之前的运算方案聚焦在如何求出交点的坐标，能否绕过求交点坐标，直接从运算目标x1 - x0和y1 - y0入手尋找突破口？

教师引导学生在思考时关注求解目标PQ =[x1-x02+y1-y02]中的x1 - x0和y1 - y0这两个整体，留出时间让学生思考“点到直线的距离”中隐含着“垂直”和“点在直线上”这两个信息.

提示语：如何表示垂直？如何运用点Q在直线l上？怎么样才能得到x1 - x0和y1 - y0这两个整体？

在教师的提示和引导下，学生思考片刻，得到[Bx1-x0-Ay1-y0=0，Ax1-x0+By1-y0=-Ax0+By0+C，] 然后将两式平方相加，得[A2+B2x-x02+y-y02=C+Ax0+By02].化简，得[x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+CA2+B2].

“将时间还给学生”不应该只是一句口号. 在课堂教学中，教师不要长篇大论地讲授，而要多引导学生自主思考，提供给学生充足的时间对问题进行深入研究. 思维的深刻性往往孕育在深度思考中，教师要让学生有时间暴露他们的思维过程，并交流与表达他们的思考成果. 有了自己的思考与理解，学生的思维才能走向纵深；有了深度思考，才能形成高阶思维，进而发生深度学习.

二、开放性问题：提供学生深度思考的平台

数学思维能力是在运用数学知识和数学方法分析与解决问题的过程中形成的. 教学中，教师应该基于学生现有的思维水平，转化学生潜在的思维水平，促使学生形成新的思维最近发展区. 如此循环，不断转化，促进学生数学思维不断发展. 为了让不同思维水平的学生都能在自己的思维发展区进行思考，设计合适的问题情境非常重要. 合适的问题情境应该具有开放性和发散性，而发散思维正是在解决开放性问题的过程中形成的. 这是因为学生在对给出的材料和信息进行表征时，会在思维的最近发展区内选择不同的角度、方式和经验进行思考，这样更容易引发深度思考.

案例2：椭圆内接三角形面积探究课.

已知△PMN是椭圆[x22+y2=1]的内接三角形，满足 __________（试添加一个条件），探求△PMN面积的最值或取值范围.

课堂上，学生在自己思维的最近发展区内提出了一系列问题，按照三角形三个顶点的运动状态整理如下.

一动两定：直线MN的方程为y = 2x，点P为任意一点；点M，N分别为椭圆的上顶点和左顶点，点P为任意一点.

两动一定：点P为椭圆上顶点，PM⊥PN；点P为椭圆的右顶点，且直线PM，PN的斜率之积为[-12].

三个动点：直线MN平行于长轴，点P为任意一点；点M，N关于椭圆中心对称，点P为任意一点；直线PM，PN分别过椭圆的左、右焦点F1，F2；过点P作直线PM，PN使它们分别经过左焦点F1和椭圆中心O……

学生对自己提出的问题进行自主思考，形成解决问题的策略与方法.

例如，对“直线MN的方程为y = 2x，点P为任意一点”的思考.

生1的思考，如图1所示.

生2的思考，如图2所示.

生1是直接表征三角形的高，而生2则有了“动中求静”的思考. 两种思维方式下，运算烦琐程度将产生差别.

再如，对“点P为椭圆上的顶点，PM⊥PN”的思考.

生3的思考，如图3所示.

生4的思考，如图4所示.

生3属于单向直译的思维方式，导致运算对象较多，而生4也有了“动中求静”的思想，在表示三角形面积时轻松很多.

在这节课中，教师创设开放性问题，学生随堂添加条件，并对自己提出的问题进行分析和运算. 不同思维水平的学生对同一问题的表现呈现出不同的思维特征，这取决于学生的知识水平、认知结构和表征经验. 当然，学生课堂上提出的问题，有的可以及时解决，有的由于难度较大、开放性较强而没有得到解决. 教师应该鼓励学生将思维的触角延伸到课后，将思考进行到底.???????

教师创设开放性问题，引导学生在其思维的最近发展区进行思考，将他们引向不同的思维方向. 当学生有了自己的思维成果，并能与他人的思维成果进行交流与碰撞时，会自发地进行思维的矫正与融合. 这样的过程促进了学生思维的进阶，提升了他们的数学思维品质.

三、项目化作业：拓展学生深度思考的场域

项目化作业是以学生为本开展的学习活动. 学生在教师的组织和引导下收集信息、获取知识、探讨方案，以此解决具有现实意义的问题. 这样的学习过程由个体互动所形成的意义链和关系链构成，推动着学生之间富有内涵的相互学习. 学生以小组为单位进行数学思考，在解决具体问题中习得知识、巩固技能、促进理解. 这样的学习能增强学生的数学探究能力，有利于培养学生的创新思维.

案例3：测量熟悉建筑物的高度.

指导学生按下列环节进行项目化学习：（1）成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具；（2）小组成员查询资料，进行讨论交流，寻求科学有效的测量方法，设计测量方案；（3）分工合作，明确责任，如测量并记录数据、计算求解、撰写报告的分工等；（4）撰写报告，讨论交流，展示成果.

可以看到学生在该项目化学习中有很多创新的思考.

例如，在测量工具的设计上，有学生设计“瓶筷器”（由一个盛有水的矿泉水瓶和一根筷子组成）. 其中，矿泉水瓶起水平尺的作用，筷子起铅垂线的作用. 这就是创新思考的体现.

又如，在测量方案上，一开始的测量方案是：生1让眼睛与“瓶筷器”位于同一水平线上，生2帮助观察水瓶中的液面是否与瓶底平行以确定整个装置是否处于水平状态，生3测量眼睛到装置末端的距离，记录数据. 再让生1向前走2米（用卷尺测量），再次进行上述操作. 学生画出示意图，如图5所示.

数据计算与分析：设第二次测量地至楼底部距离为x米，楼的高度为h米. 由测量数据，得[0.3060.306+2+0.285+x=]

[0.2850.285+x=0.23h-1.65]，解得[x≈31，h≈26.65.] 而实际数据是每层楼高度2.9 × 6 + 車库高度2.47 + 顶部装饰物高度0.8 ≈ 20.67.

对比数据，发现上述方案产生的误差较大，经过思考调整为新方案：如图6，生1蹲在地上，生2站在生1前方并将一支长棒竖立在地面上，调整棒的高度直至生1眼中棒的手握处（视为点M）与楼顶（视为点N）重合，生3测量生1眼睛到地面的距离、生1和生2间的距离及棒的手握处距离地面的高度. 再测量生2与楼之间的距离（通过两者之间砖头的块数和每块砖的长度来估算）. 设楼总高度为h米，[1.855-0.782.13=h-0.782.13+37，] 解得[h≈20.53]，此时与实际数据较接近.（楼顶装饰包含于楼高内.）

学生反思研究方案：第一次测量时，由于装置简陋及场地地面不平，导致计算结果误差较大；第二次测量误差较小（在0.1 ～ 0.2米内），但测量者到楼底的距离的测量操作性不强，若所测物与测量者之间有障碍物（如河流等）则难以完成. 对此，可以通过改进装置减小测量误差与不便，如图7和图8所示，这是学生创造性的表现.

使用图7时，使装置水平后，将木条A对准测量点，铅垂自然下垂，读取刻度为x. 由cosθ=x/L算出仰角θ；然后，将装置朝测量点方向移动. 重复上述操作，得到仰角θ，进而求得测量点的高度. 对于图8，通过调节支架高度使水平仪处于水平位置，从而解决地面不平的问题；移动圆环代替“瓶筷器”可以固定观测点（眼睛）；只让圆环在水平仪上移动可以减小测量中视线频繁移动产生的误差.

不难看出，在这样的项目化学习中，学生既有团队合作和交流，也有面对困难时对测量方案的调整与反思，还有对测量数据误差的理性分析，更有对测量工具的改进与创新. 整个过程融入了学生的动手操作、分工协作、分析数据、设计装置等活动，学生不仅需要调取所学知识与方法进行思考，还需要根据实际情况和数据进行反思. 在这一系列活动中，学生的思维得到了训练.

总之，在数学教学中，只有做到时间上有保障、方式上有创新、空间上有突破，学生才能够进行深度思考. 这样的思维训练才是有效的，才能真正培养学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］丁益民. 指向深度学习的数学单元教学：以《点到直线的距离公式》一课为例［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2021（12）：46-50.

［3］谢全苗. 思维的“最近发展区”的开发与利用［J］. 数学通报，2004（8）：15-18.

［4］吴红梅. 通过项目学习培养学生思维能力的实践与思考［J］. 中小学外语教学（小学篇），2018，41（5）：49-52.

收稿日期：2022-09-11

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划课题——深度学习视域下高中数学单元教学设计与实践研究（C-c/2020/02/50）.

作者简介：丁益民（1981— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教材教法研究.