中点四边形的形状

洪联平

【摘要】 顺次连接任意四边形各边的中点，把形成的新四边形称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形的两条对角线是否相等与垂直来决定.本文主要探究原四边形的两条对角线既不相等又不垂直;互相垂直;相等;既相等又垂直这四种情况下中点四边形的形状.

【关键词】 原四边形;中点四边形;对角线;相等;垂直;形状

问题 已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到中点四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

（1）四边形EFGH的形状是;证明你的结论.

（2）当AC，BD滿足时，四边形EFGH是菱形;

（3）当AC，BD满足时，四边形EFGH是矩形;

（4）当AC，BD满足时，四边形EFGH是正方形.

解 （1）结论：四边形EFGH是平行四边形;

证明连接AC，BD，因为四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EH∥BD，FG∥BD，

所以EH∥FG，

同理GH∥EF，

所以四边形EFGH是平行四边形.

（2）当AC=BD时，四边形EFGH是菱形.因为由（1）得四边形EFGH是平行四边形，

因为HG=12AC，EH=12BD，

所以EH=GH，

所以四边形EFGH是菱形;

故答案为AC=BD.

（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.因为由（1）得四边形EFGH是平行四边形，

因为AC⊥BD，

EH∥BD，EF∥AC，

所以EF⊥EH，

所以∠FEH=90°，

所以四边形EFGH是矩形.

故答案为AC⊥BD.

（4）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形.因为AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，AC=BD时，四边形EFGH是菱形，所以四边形EFGH是正方形.

故答案为AC⊥BD，AC=BD.

归纳总结

原四边形的形状中点四边形的形状

任意四边形平行四边形平行四边形

两条对角线相等的四边形（包括距形和等腰梯形）菱形

两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形）矩形

两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形）正方形

应用

例1 顺次连接任意四边形各边中点所组成的中点四边形是（）

（A）平行四边形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）任意四边形.

解 原四边形为任意四边形，两条对角线既不垂直也不相等，所以它的中点四边形为平行四边形，故选（A）.

例2 顺次连接菱形各边中点所组成的中点四边形是（）

（A）正方形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）等腰梯形.

解 原四边形为菱形，菱形对角线互相垂直但不相等，所以它的中点四边形为平行四边形，再加邻边互相垂直，所以是矩形.

故选（B）.

例3 顺次连接矩形各边中点所组成的中点四边形是（）

（A）平行四边形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四边形为距形，矩形对角线相等但不垂直，所以它的中点四边形为平行四边形，再加邻边相等，所以是菱形.

故选（C）.

例4 顺次连接对角线互相垂直的等腰梯形的各边中点所组成的中点四边形是（）

（A）平行四边形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四边形为对角线互相垂直的等腰梯形，等腰梯形对角线相等再加上垂直，所以它的中点四边形为平行四边形，再加邻边相等与邻边垂直，所以是正方形.

故选（D）.

例5 顺次连接正方形的各边中点所组成的中点四边形是（）

（A）平行四边形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四边形为对角线相等且互相垂直的正方形，所以它的中点四边形为平行四边形，再加邻边相等与邻边垂直，所以是正方形.

故选（D）.