线段、射线、直线中的数学思想

陆欢

【摘要】线段、射线、直线是学生在学习几何时最先需要掌握的基础知识之一.在解答与它们有关的计算题时，常常要运用一些数学思想.本文举例阐述线段、射线、直线中的数学思想.

【关键词】数学思想;几何图形;数学解题

1 数形结合思想

数形结合思想，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合来解决问题的一种思想方法.

例1同学们去公路旁植树，每隔3m植一颗树，在21m长的公路旁最多可植多少颗树？

分析 为了便于理解题意，准确求解，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问题.此题，同学们可能会不假思索地回答7颗数，因为21÷3=7，只考虑了有7段，没有考虑要求的是端点数.

解 由图1可知，可植8颗树.

点评 根据题意作出图形，数形结合，这样可以直观且快速地得出正确答案.数形结合思想可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.

2 方程思想

方程思想，就是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题的一种思想方法.

例2 如图2，已知线段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，线段AB，CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长.

分析 由BD=13AB=14CD，可设BD=x，则AB=3x，CD=4x.根据题意，知EF=2.5x=10，从而求得x的值，进而求出AB，CD的长.

解 设BD=xcm，则AB=3x cm，CD=4x cm.

因为E、F分别是AB、CD的中点，

所以AE=12AB=1.5x（cm），

CF=12CD=2x（cm），

所以EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x（cm），

因為EF=10cm，所以2.5x=10，解得x=4，

所以AB=12cm，CD=16cm.

点评 本题中线段之间的关系较复杂，但如果我们设了适当的未知数，就能理顺各线段之间的关系，并且根据等量关系，建立方程模型，帮助我们快速解题.运用方程思想求解线段的长度也充分体现了数形结合的思想.

3 分类讨论思想

分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后，综合各类结果得到整个问题的解答.

例3 已知C是线段AB的中点，在直线上有一点D，且BD=1.5，AD=6.5，求线段CD的长度.

分析 此题没有明确点D的具体位置，所以我们在解答时，应对点D的情况进行分类讨论，当点D在点B左侧时的情况以及当点D在点B右侧时的情况.

解

（1）当点D在点B左侧时（如图3），

AB=AD+BD=6.5+1.5=8.

因为C是线段AB的中点，

所以CB=12AB=4，

所以CD=CB-BD=4-1.5=2.5.

（2）当点D在点B右侧时（如图4），

AB=AD-BD=6.5-1.5=5，

因为C是线段AB的中点，

所以CB=12AB=2.5，

所以CD=CB+BD=2.5+1.5=4.

所以，线段CD的长为2.5或4.

点评 如果题中没有明确点的位置，应分情况讨论.实质上，分类讨论可以化整为零，各个击破，再积零为整.此题还需要根据题意画出图形，以形助思，数形结合.

4 整体思想

整体思想，就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从而解决问题的一种数学思想.

例4 如图5，已知线段AB=16cm，C是AB上的任意一点，E、F分别是AC，BC的中点.

（1）求线段EF的长度;

（2）若线段AB=a，其他条件不变，你能猜测出EF的长度吗？并证明，并请用一句话表述你发现的规律.

分析 根据线段中点的定义和线段的和差来计算，题目中仅知道线段AB的长，要求线段EF的长，根据条件可以考虑整体思想来解决.

解 （1）因为点E是AC的中点，点F是BC的中点，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=8cm.

（2）猜想EF=12AB=12a.

证明 因为点E是AC的中点，点F是BC的中点，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=12a.

从而得到一般规律：线段上任意一点把线段分成的两部分的中点距离等于原线段长度的一半.

点评 本题中将EC+CF看作一个整体，再根据题目中的有关条件作整体处理，进而解决问题.利用整体思想往往可以使问题得到最合理的解决.

5 从特殊到一般的思想

从特殊到一般的思想，就是从特殊的事例中总结出一般的规律，从而解决问题的一种数学思想.

例5 根据题意，完成下列填空：如图6所示，l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线l3，那么这3条直线最多可有 个交点;再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有 个交点;由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，nn为大于1的整数条直线最多可有 个交点（用含n的代数式表示）.

分析 通过阅读题目中提供的材料，可从两条直线相交、3条直线相交、4条直线相交等特殊情况入手研究，进而推出一般的规律.

解 2条直线最多可有1个交点，3条直线最多可有1+2=3个交点，4条直线最多可有1+2+3=6个交点，所以可以猜想：6条直线最多可有1+2+3+4+5=15个交点.

由此可见，nn为大于1的整数条直线最多可有1+2+3+…+n-1=n（n-1）2个交点.

点评 在求解本题时，通过从特殊的情形入手，进行观察、分析和猜想，从而得出一般性的结论.