小议初中数学开放题的解题技巧

陈美娟

【摘要】为了进一步提升学生运用认知的能力，促进他们的素养生长.教师通常会设置一些开放题给学生思维以锻炼的机会，让他们获得更多的成长.开放题往往因为问题本身的设置不是固定的，题目的结论、解法也不是固定的，通常会给学生的解题带来一定的麻烦.教师要指导学生摸索开放题的解题规律，进而更好地促进数学学科素养的成长.

【关键词】初中数学;开放题型、解题技巧

开放题改变了传统的题目设置的方式，给学生更多思维的空间，也给他们更多提升的可能，进而更能激发学生的潜能.教师在指导学生如何求解开放题型时，首先要引导学生分析开放题型，将它们分为不同的类别，进而提取一般的解题方式.

1 条件开放题的求解

条件开放题就是教师在给学生设置解题任务时，给他们设置的题目在条件上是不唯一的.对着预先设置的结论，学生需要逆向思维去找寻一些关联的条件，让条件与结论能对接起来.

例如 以人教版初中数学八年级上册《全等三角形》为例，教师设置这样的题目，如图1，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件“ AB=DE;∠B=∠E; EF=BC;EF∥BC”中，哪一个是不能判定△ABC≌△DEF？

就结论而言，本题其实需要学生掌握三角形全等的判定定理.因此教师可以先引导学生叙述普通的两个三角形全等的四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，以及直角三角形中的HL定理.接着教师问，题目中出现的AAA、SSA，能证明三角形全等吗.显然是不能得的，他们需要假想一个条件，教师给学生四个选项，他们可以采取排除法进行分析，进而解题，也就是说他们在这样的开放题型中逐步地理解、掌握三角形全等的判定方法.

学生先是假设增加AB=DE这一条件.他们从AB∥DE，AC∥DF这两个条件出发，得出∠A+∠AGD=180°，∠AGD+∠D=180°，∠A=∠D.同时又因为∠A=∠D，AC=DF，AB=DE，他们运用SAS判定得出△ABC≌△DEF.接着他们增加∠B=∠E这一条件，因为∠A=∠D，AC=DF，∠B=∠E，他们运用AAS定理，判定出△ABC≌△DEF.他们在增设EF=BC时，发现要证明全等比较困难.因此他们想到增设EF∥BC这一条件，如图2所示，学生延长ED交BC于点O，因为EF∥BC，所以∠E=∠EOC;又因为AB∥DE，所以∠B=∠EOC，∠E=∠B;他们再结合∠A=∠D，AC=DF，再运用AAS定理之后，他们推出△ABC≌△DEF.最后他们发现第三个条件用不起来.可见基于条件的开放题涉及的知识点较多，需要学生能够运用结论，找寻可以添加的条件.教师需要引导学生展开深层次的剖析，让他们体会知识点的内在关联性.显而易见，对条件开放题的求解学生需要具有一定的开放逆向推理能力，进而优化他们的解题方法.

2 结论开放题的求解

结论开放性问题其实是符合学生的认知规律的，有学生可能会由条件得到一些显性的结论，有学生会在不同条件组合与叠加下得出深刻一点的结论.显然地，这种结论开放题需要学生运用发散性思维能力，注重问题思考问题的维度，将给出的条件与所学知识点充分地糅合，进而促成问题的解决.

例如 以人教初中数学为例，在复习矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，三角形中位线定理等方面认知时，教师先是设置这样的题目，如图3所示：

在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点.能不能从图中证明出一组全等的三角形;能不能判断四边形MENF是什么特殊四边形，同时证明你的结论.

显然地这是结论性开放题.学生先要将题目中的明显的条件利用起来，他们从矩形的条件出发，想到了相关的直角三角形;他们再从M是边AD的中点，他们想到了对应的相等的线段;进而他们猜想ABM≌△DCM.也就是说，他们由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS定理证明出，△ABM≌△DCM.对于第二个需要猜想的结论，他们先是想特殊的四边形有哪些，他们将平行四边形、长方形、正方形、菱形、梯形等列出来.接着他们决定将第一问得出的结论利用起来，他们从这个结论得出BM=CM.他们想到了这样的性质，四边都相等的四边形是菱形，因此他们推断这个特殊的四边形是菱形.学生是这样证明的，由1得：△ABM≌△DCM，进而得出，BM=CM;再由E、F分别是线段BM、CM的中点，得出ME=BE=12BM，MF=CF=12CM，ME=MF.同时又因为

N是BC的中点，所以EN、FN是△BCM的中位线，EN=12CM，FN=12BM，进而推断出，EN=FN=ME=MF.最终，学生得出四边形MENF是菱形.

3 解法开放题的求解

当学生按照通常可行的解题思路，结合可以挖掘的条件有条不紊地推算，他们会发现参照结论与所提供的条件之间存在着不同的解题思路.

例如 以人教版初中数学初二年级上册《三角形内角和》这一章节为例，教师设置这样的题目，如图4，已知AB∥CD.求证： ∠D+∠E+∠B=360°

有学生先是由360°想到以E为顶点的周角恰好是360.他们想到寻找以E为顶点的两个角，使它们分别等于∠B和∠D.于是他们又想到根据平行线的性质定理，过E点作一條直线EF，使EF∥AB，进而推的∠BEF=∠B.再有已知条件AB∥CD，他们推得EF∥CD，进而推出∠FED=∠D.教师问学生能不能围绕∠D+∠E+∠B=360°.沿着教师的提问，学生将这三个角分成两组，使每组角的和为180°，他们作EF∥AB，使图中出现两组同旁内角如图5所示，他们过点E作EF∥AB，两直线平行，同旁内角互补所以 ∠B+∠FEB=180°.又因为AB∥CD，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以EF∥CD，所以∠D+∠FED=180°，再由等式性质推出∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°，即，∠D+∠DEB+∠B=360°.

学生在思考中又想到这样的维度，连接DB，如图6所示，将结论直接分为△DBE的内角和两直线平行下两个同旁内角∠CDB与∠ABD的和.三角形的内角和定理与同旁内角互补定理相组合，他们得出最后的结论.教师追问能不能再想一个方法来.学生想到能不能作一个平行线将同旁内角互补定理如图6一样利用起来，他们想到过点B作BC∥DE，如图7所示，所以∠1+∠E=180°， ∠3+∠D=180°，所以∠1+∠E+∠3+∠D=360°.他们又想到AB∥CD这一条件，进而推出

∠2=∠3，∠1+∠E+∠2+∠D=360°，所以结论成立.

4 结语

在教学中，教师应当改变题目设置的方式，尽量给学生设置开放性题目;教师不但要注重他们的基础理论知识，更要注重他们的思维能力以及运用知识的能力.一言以蔽之，教师要引导学生建构起开放题型的思路，形成解题思维，进而为他们的后续的数学学习奠定扎实的基础.

参考文献：

[1] 张芳.新课改下初中数学开放式教学策略研究[J].家长.2020，（17）.

[2]李同天.初中数学开放探究题的类型及解题策略[J].教学管理与教育研究. 2020，5（17）.