黄秀旺
有些数学问题,如果从局部入手,难以求解,但若能从宏观上进行整体分析,运用整体思想方法,则能出奇制胜。整体思想方法在七年级数学上册的有理数的运算、代数式的化简与求值、解一元一次方程、线段及角的计算、解立体图形等方面都有广泛的应用。
一、整体换元再计算
例1 计算:1[-12][+14][-18][+116][-132][+164]
[-1128][+1256]。
【解析】如果按常规方法计算,运算量很大。我们仔细观察后可以发现,从左到右,符号依次为+、-、+、-、+、-、+、-、+,且后一个数的绝对值是前一个数的[12],故可将算式当成一个整体来思考。
解:设1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128]
[+1256]= x,①
则①×[12],得
[12][-14][+18][-116][+132][-164][+1128][-1256][+1512]=[12]x,②
①+②,得1+[1512]=[32]x,
解得x=[171256]。
故1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128][+1256]=[171256] 。
例2 计算:(1+[111]+[113]+[117])×([111]+[113]+[117]+[119])-(1+[111]+[113]+[117]+[119])×([111]+[113]+[117])
【解析】先观察算式,发现算式中涉及多个分数,如果直接计算,显然比较烦琐。我们再仔细观察,发现[111]+[113]+[117]或[111]+[113]+[117]+[119]多次出现,故可把它们中的一个或分别把它们当成一个整体来思考。
解:令a=[111]+[113]+[117],
b=[111]+[113]+[117]+[119],
则原式=b(1+a)-a(1+b)=b-a=[119]。
二、整体代入求值
例3 若m2+2m=1,则4m2+8m-3的值是 。
【解析】把代数式4m2+8m-3变形为4(m2+2m)-3,再把m2+2m=1代入计算,可得4m2+8m-3=4(m2+2m)-3=4×1-3=1。
例4 已知y=ax5+bx3+cx-5。当x=-3时,y=7,那么,当x=3时,y= 。
【解析】把x=-3代入y=ax5+bx3+cx-5,
得-(35a+33b+3c)=12。我们把35a+33b+3c看成一个整体。当x=3时,ax5+bx3+cx-5=35a+33b+3c-5=-12-5=-17。
三、整体变形解方程
例5 解下列方程:
(1)4(x-1)=1-x;
(2)[2(x+1)3]=[5(x+1)6]-1。
【解析】(1)可以把(x-1)当成一个整体进行变形;
(2)可以把(x+1)当成一个整体进行变形。
解:(1)由4(x-1)=1-x,得4(x-1)=-(x
-1),
移项,得4(x-1)+(x-1)=0,
合并同类项,得5(x-1)=0,
系数化为1,得x-1=0,
所以x=1。
(2)去分母,得4(x+1)=5(x+1)-6,
移项,得4(x+1)-5(x+1)=-6,
合并同类项,得-(x+1)=-6,
系数化为1,得x+1=6,
所以x=5。
四、整体处理线段及角的计算
例6 (1)如图1,已知点C在线段AB上,AC=8cm,BC=6cm,M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长度;
(2)如图1,如果线段AB=14cm,M、N分别是AC、BC的中点,可以求此时线段MN的长度吗?如果线段AB=acm呢?
【解析】(1)根据点M、N分别是AC、BC的中点,求出CM、CN的长度,则MN=CM+CN;
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点,则CM=[12]AC,CN=[12]BC,所以MN=CM+CN=[12](AC+BC)=[12]AB。
解:(1)∵AC=8cm,点M是AC的中点,
∴CM=[12]AC=4cm。
∵BC=6cm,点N是BC的中点,
∴CN=[12]BC=3cm。
∴MN=CM+CN=7cm,
∴线段MN的长度为7cm。
(2)∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM=[12]AC,CN=[12]BC,
∴MN=[12](AC+BC)=[12]AB。
当AB=14cm时,MN=7cm。
当AB=acm时,MN=[12]acm。
例7 如图2,OB平分∠AOC,OD平分∠EOC。已知∠BOD=α,求∠AOE的大小。
【解析】根据角平分线的意义,得
∠BOC=[12]∠AOC,∠COD=[12]∠EOC,
根據∠BOD=∠BOC+∠COD=[12]∠AOC+[12]∠EOC=[12]∠AOE,即可求出∠AOE的大小。
解:∵OB平分∠AOC,OD平分∠EOC,
∴∠AOB=∠BOC=[12]∠AOC,
∠COD=∠DOE=[12]∠EOC,
∴∠BOD=∠BOC+∠COD
=[12]∠AOC+[12]∠EOC
=[12](∠AOC+∠EOC)
=[12]∠AOE。
∵∠BOD=α,
∴∠AOE=2α。
五、整体处理几何体的表面积
例8 李强用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图3所示的图形,然后把露出的表面都染成红色,则表面被他染成红色的面积为 。
【解析】本题要计算几何体的表面积,解决的关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积。如果按一般思路处理较为困难,我们不妨整体考虑。三层中,面朝上的三部分整体就是一个边长为3的正方形,其面积为9;而其他4面,分别含6个边长为1的正方形。故红色部分的面积为9+4×6=33。
(作者单位:江苏省南京市江宁区教学研究室)