平顶光束在不同系统中的传输特性比较

姜其畅,张存,苏艳丽,孙悦,马紫微

(运城学院物理与电子工程系,山西 运城 044000)

0 引言

激光自诞生之日起就受到人们的广泛关注,科研人员针对激光的强度特性、频率特性、空间分布特性做了大量的研究。一般激光器产生的激光在空间上呈现高斯函数分布,称之为高斯光束,是人们研究激光相关特性常常采用的研究对象。但是高斯光束自身所具有的中心光强大、边缘光强弱的强度分布,在材料加工、核聚变技术、生物医疗等方面会产生某些不利于应用的效应,所以人们设计了一种在一定范围内呈现强度均匀分布的特殊光束,即平顶光束。目前,产生平顶光束的方法比较多,最常见的是光束整形方法,而光束整形又分为腔内设计和腔外整形,如非球面透镜法、双折射透镜组法、微透镜阵列整型法、衍射光学元件整型法、液晶空间光调制器整型法等[1-3]。同时,研究平顶光束的理论模型也有多个,包括超高斯光束模型[4]、平顶高斯光束模型[5]、费米-狄拉克光束模型[6]、平顶洛伦兹光束模型[7]和低阶高斯光束叠加模型[8]等等。

近年来,研究人员对平顶光束的产生和传输特性有了一些新的研究[9-11],分析了传输轴线上的焦点相对于几何焦点的偏移情况,但是关于传输过程的分析(尤其是同一平顶光束模型在不同光学系统中的传输特性分析)还不够充分。本文对超高斯光束、平顶高斯光束和低阶高斯光束叠加等模型做了系统分析,并着重以平顶高斯光束为例,分析其在自由空间、单透镜系统和复杂光学系统中的传输特性。

1 平顶光束的相关模型

1.1 超高斯光束

关于平顶光束的理论模型,最早的是Silvestri等[4]在1988年建立的超高斯光束模型,此模型中采用直角坐标系,超高斯光束的二维和三维形式分别表示为

式中:E0是光束的振幅常数;ω是光束的束腰半径;N为超高斯光束的阶数,一般为偶数。为简单起见,这里的坐标参数和束腰半径参数均已无量纲化处理。超高斯光束的表达式非常简洁,但是在研究平顶光束的传输特性时不利于进行解析分析,需要借助数值方法。图1是超高斯光束在不同阶数下的二维图形,其中ω=1,纵坐标光强已归一化处理。由图可见N=2时,超高斯光束就退化为一般高斯光束,随着阶数的逐渐增大,平顶特性越来越明显。图2是N=12、ω=2所对应的超高斯光束三维立体图形和相应的二维投影图。

图1 不同阶数下的超高斯光束Fig.1 Super-Gaussian beams at different orders

图2 超高斯光束三维立体图(a)和投影图(b)Fig.2 The three-dimensional stereogram(a)and projection drawing(b)of super-Gaussian beams

1.2 平顶高斯光束

为了克服超高斯光束模型的不足,Gori[5]在1994年提出了平顶高斯光束模型,将平顶光束看成是多光束合成的结果。平顶高斯光束的数学形式比超高斯光束的形式复杂,但是平顶高斯光束模型有利于研究平顶光束的传输特性,后文研究传输特性时采用的即为平顶高斯光束模型。平顶高斯光束模型又分为原始形式和改进形式,可分别表示为

当光束阶数N=0时,两种形式都退化为高斯光束。取束腰半径参数ω=2,阶数N=2、6、10,可以得到平顶高斯光束的二维图形,如图3所示,其中图3(a)是原始形式的图形,图3(b)是改进形式的图形。由图可见,改进后的平顶高斯光束束腰宽度随阶数N的变化不大,是研究人员经常采用的形式。

图3 平顶高斯光束的二维强度包络。(a)原始形式;(b)改进形式Fig.3 Two-dimensional intensity profiles of flattened Gaussian beams.(a)Original form;(b)Improved form

对(4)式所表示的常用形式进行扩展,得到三维平顶高斯光束的分离形式和圆域形式,可分别表示为

(5)式中N、M分别是平顶高斯光束在x、y方向的阶数;ωx、ωy分别是平顶高斯光束在x、y方向的束腰半径。选择合适的束腰半径和阶数参数组合,就可以得到特殊形式的平顶光束,图4是不同参数组合下的平顶高斯光束图形。其中图4(a)、(b)分别为x、y方向的束腰半径参数、阶数分别相等,即ωx=ωy=2、N=M=10时的三维立体图和对应的二维投影图,此时,平顶高斯光束如一正方形的城堡。图4(c)、(d)中束腰半径参数和阶数分别为ωx=2、ωy=1、N=10、M=4,此时平顶光束如一长方体。如果采用圆域公式(6),取ω=2、r=2、N=10,可以得到图4(e)、(f)。可见,通过选择不同参数组合可以控制平顶部分的形状及面积大小。

图4 不同参数组合下平顶高斯光束的立体图和投影图。(a),(b)ωx=ωy=2,N=M=10;(c),(d)ωx=2,ωy=1,N=10,M=4;(e),(f)ω =2,r=1,N=10Fig.4 The stereogram and projection drawing of flattened Gaussian beams under different parameter combination.(a),(b)ωx= ωy=2,N=M=10;(c),(d)ωx=2,ωy=1,N=10,M=4;(e),(f)ω =2,r=1,N=10

1.3 低阶高斯光束叠加模型

2002年,Li[8]提出平顶光束可以由多个低阶高斯模式叠加而成,在叠加模式满足平顶光束性质的限制下,最终给出了此模型下平顶光束的表达式

式中光束阶数N主要表征叠加的函数个数。当N=1时,(7)式退化成高斯光束;当N＞1时,就可以构造出各类型的平顶光束。图5(a)是此模型下ω=2、阶数N取不同值的情况,可以看到,随着叠加函数个数的增加,平顶特性越来越明显。这一模型下,当阶数N＜1时,会出现三角形强度包络和尖峰强度包络,如图5(b)所示。图6是图5中阶数分别为N=6和N=0.5情况下的三维立体图。

图5 低阶高斯光束叠加模型下的二维光束强度包络。(a)N＞1;(b)N≤1Fig.5 The two-dimensional intensity profiles in low-order Gaussian beams overlay model.(a)N＞1;(b)N≤1

图6 低阶高斯光束叠加模型下的三维立体图。(a)N=6;(b)N=0.5Fig.6 The three-dimensional stereogram in low-order Gaussian beams overlay model.(a)N=6;(b)N=0.5

2 平顶光束的传输特性

以平顶高斯光束的常用形式为例,分析平顶高斯光束在自由空间、单透镜系统和复杂光学系统中的传输特性。

首先,借助柯林斯公式研究平顶高斯光束在自由空间和单透镜系统中的传输。按照常用的处理方法,自由空间或者单透镜系统采用ABCD矩阵系统表示。其中自由空间的传输矩阵表示为

单透镜系统的传输矩阵表示为

在上述传输系统中,假定透镜置于传输距离z=0处,透镜后面的传输距离为任意z值。

光束通过ABCD矩阵系统的传输由柯林斯公式处理[12]

式中:x1、x2分别为入射和出射光场的横向坐标,λ为波长,k=2π/λ为波数。入射光束采用(4)式描述的形式,经过繁琐的运算化简后,平顶高斯光束通过ABCD矩阵系统后的表达式为

对自由空间系统而言,传输矩阵采用(8)式,上述坐标都认为是归一化的坐标,光强是任意单位,阶数N=10,ω=1。可以得到平顶高斯光束的传输特性如图7所示,由图可见:随着传输距离的增加,在自然衍射效应的影响下平顶部分首先凹陷形成两个侧峰,类似于典型的衍射环[5];然后两个侧峰逐渐向中间靠拢演变为一个峰,最后保持较长传输距离的类高斯光束分布。此处,传输距离也已经无量纲化处理,图中的传输距离对应实际的毫米量级。

图7 平顶高斯光束在自由空间中的传输Fig.7 Propagation of flattened Gaussian beams in free space

如果考虑简单的单个透镜系统,传输矩阵采用(9)式,假设透镜置于传输距离z=0处,从透镜前表面入射的平顶光束在透镜后任意距离z处的传输情况如图8所示,其中f=200,N=10,ω=1。由图可见:相比于自由空间,在单透镜系统中,透镜的聚焦作用使得平顶光束在焦点处呈现强聚焦效应,最大光强为初始光强的37倍左右,焦点之后逐渐恢复平顶分布而不是类高斯分布;在3倍焦距处光强几乎减半,半峰全宽几乎增加一倍。

图8 单透镜系统中平顶高斯光束的传输。(a)z=0;(b)z=100;(c)z=150;(d)z=200;(e)z=250;(f)z=300;(g)z=400;(h)z=500;(i)z=600Fig.8 Propagation of flattened Gaussian beams in single lens system.(a)z=0;(b)z=100;(c)z=150;(d)z=200;(e)z=250;(f)z=300;(g)z=400;(h)z=500;(i)z=600

最后分析平顶高斯光束在复杂光学系统中的传输。为简单起见,直接采用参考文献[9]中的复杂光学系统。系统中光阑上下缝隙为2a,从光阑到透镜的距离为s,透镜的焦距为f,透镜后焦点到出射面的距离为Δz,即透镜后焦点位置处为z=0,光阑-透镜组成的复杂光学系统所对应的ABCD传输矩阵为

图9是平顶高斯光束通过上述复杂光学系统后的传输情况,其中相关参数分别为2a=2、f=200、s=250、N=10、ω=1,这里光阑参数的取值是为了体现光阑的作用,同时又不损耗过多能量。由图可见:对于光阑-透镜构成的复杂光学系统,由于光阑的限制,相比于单个透镜系统,光束形变加剧,尤其是在焦点[图9(c)]之后,光束凹陷加剧,在传输相当长的距离内均没有恢复平顶分布,说明在平顶光束的光路中应当尽量避免光阑元件的干扰。

图9 复杂光学系统中平顶高斯光束的传输。(a)z=-100;(b)z=-50;(c)z=0;(d)z=50;(e)z=100;(f)z=150;(g)z=200;(h)z=300;(i)z=400Fig.9 Propagation of flattened Gaussian beams in complex optical system.(a)z=-100;(b)z=-50;(c)z=0;(d)z=50;(e)z=100;(f)z=150;(g)z=200;(h)z=300;(i)z=400

3 结论

系统分析了超高斯光束、平顶高斯光束和低阶高斯光束叠加三类平顶光束模型的基本情况,并以平顶高斯光束为例,对比了其在自由空间、单透镜系统和复杂光学系统中的传输特性。所得结果对理解平顶光束的特性、分析平顶光束在不同光学系统中的传输具有一定的借鉴意义。