走进位置关系，探索转化构建

张宏祥

[摘  要] 直线与曲线的位置关系问题在高考中较为常见，这样的问题往往以解析几何为背景，解析突破需要充分结合图像，利用图像分析点、直线、曲线之间的位置关系，通过代数运算推导、确认关系. 文章以一道直线与圆相切的考试题为例，进行解题探究、知识总结.

[关键词] 解析几何;直线;曲线;位置关系

判断直线与曲线的位置关系是解析几何常见的问题类型之一，也是重要的知识考点. 由于这样的问题常以圆锥曲线为背景，对其赋予了“数”与“形”的属性，因此找准解决问题的突破口也应立足该特性. 2021年全国高考甲卷理科第20题为抛物线背景下的直线与圆的位置关系问题，下面以此为例进行深入探究.

走进考题，思路突破

1. 走进考题

考题：（2021年全国高考甲卷理科第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ. 已知点M（2，0），且⊙M与l相切.

（1）求C和⊙M的方程;

解读：本题以抛物线为背景，设定抛物线及坐标系上的点，形成了直线、圆等，探究直线与曲线的位置关系是重点，可结合图像来分析.

2. 思路突破

（1）该问求的是抛物线C和⊙M的方程，需要理解图形构建过程，以及其中的位置关系.

已知直线l：x=1，说明直线l平行于y轴.

点P和点Q是直线l与抛物线C的两个交点，由对称性可知两点关于x轴对称，故两点的横坐标相等，纵坐标为相反数.

直线OP与OQ为垂直关系，即OP⊥OQ，故△OPQ是等腰直角三角形;若设直线l与x轴的交点为N，则可推知△ONQ和△ONP均为等腰直角三角形.

直线l与⊙M为相切关系，线段MN是⊙M的半径;又知点N（1，0），M（2，0），则可直接求得⊙M的半径MN=1，同时可确定点N为OM的中点.

根据上述点、直线、抛物线、圆之间的位置关系的解析，可绘制如图1所示的图像.

解后评析，总结归纳

1. 解后评析

上述考题以抛物线为背景，取点成直线，由点构成圆，求解抛物线与圆的解析方程，探究直线与圆的位置关系. 从解析几何角度理解直线与圆的位置关系是探究突破的重点，上述突破过程有以下几大特点.

特点2：数形结合，直观形象. 题设给出了直线与圆的两个相切条件，讨论第三条直线与圆的位置关系. 从问题形式来看，几何属性鲜明，故绘制图像有助于问题分析. 上述分情形讨论结合了图像——对可能存在的情形绘制了相应的图像，从几何视角对其加以验证.

特点4：引入距离，直接判定. 问题核心是讨论直线与圆的位置关系，问题具有圆锥曲线的背景，故讨论位置关系需要借助于代数等相关知识，上述解析充分将位置关系问题转化为圆心到直线的距离问题，通过比较距离d与圆的半径r的大小关系来确定结论. 整个过程精准具体，充分利用了直线与圆的方程.

2. 总结归纳

判定直线与圆的位置关系是常见的问题类型，解析几何中可以从代数与几何两大视角进行探讨. 几何视角：分析距离d与圆的半径r的大小关系;代数视角：联立直线与圆的方程，则方程的解的个数就是直线与圆的交点个数，可用判别式Δ加以判断. 位置关系与对应知识如下.

直线与圆的相切问题十分常见，通常有两种命题形式：一是直接求与圆相切的直线方程;二是给出相切条件，推导其他关系或求解析式.

对于第二种命题形式，若直线l与圆相切，连接圆心与切点，则该连线与直线l为垂直关系，从而将相切关系转化为直线之间的垂直关系，并利用向量积或斜率乘积来体现.

深度探究，相切转化

下面进一步对直线与圆相切进行关联探究，结合实例分析相切条件的转化方法.

（1）若点P到圆心M的距离等于它到抛物线C的准线的距离，试求点P的坐标;

（2）若点P（1，2），设线段AB的中点的纵坐标为t，试求t的取值范围.

解析：本题设定了抛物线与圆，并构建了圆的两条切线，以此形成了一些切点，探究此类问題需要把握由相切关系推导直线的方法.

评析：上述问题的核心是直线与圆的相切关系，解析突破即将相切关系转化为圆心到切线的距离，实现了几何关系向代数方程的转化. 若问题中为相离关系，则可构建圆心到直线的距离d与圆的半径r的不等关系，即d>r.

写在最后

直线与圆的位置关系在初中数学就有涉及，但高中学段对其赋予了更深刻的意义，在解析几何背景中实现了“数”与“形”的结合，从不同视角剖析可以获得不同的思路. 建立位置关系与距离、斜率、弦长、方程判别式之间的联系是探究突破的关键. 教学中要引导学生合理采用数形结合法，利用图像确定解题的切入点，转化位置关系条件，高效构建解题思路.