数学建模案例融入高等数学教学的实践探讨

郭连红

【摘要】 在高等数学的教学过程中改进教学方法、灵活调整教学内容、丰富数学教育内涵是提升学生创新思维能力和综合素质，培养高技能人才的一个重要环节.文章从高等数学课程的现状以及选取的数学建模案例出发，阐述了结合专业背景，在课堂或课后小组作业中融入相应的数学模型案例进行实践教学应遵循的几个原则，并给出具体的教学实施案例.

【关键词】数学建模、高等数学、教学实践

【基金项目】广州番禺职业技术学院2021年度教育教学改革项目（2021JG24）

高校开设的高等数学课程，为学生学习后继专业课程或进行科研工作提供了必不可少的知识储备、理论方法和重要工具，作为培养学生理性思维的重要载体，高数课程还为培养学生的创新思维和创新能力提供了学习和训练的机会，这也是学生将来创造性地应用专业知识乃至发现新知识的重要基础.因此，教师在高等数学的教学中改进教学方法、丰富数学教育内涵，是提升学生创新思维能力和综合素质、保证高校人才培养质量的重要环节.

数学建模是将实际问题用数学语言和符号抽象、简化后，建立能近似描述实际问题的模型，通过模型求解达到解决实际问题的一种有效方法.数学建模过程实质上是“问题解决”的过程，也是培养学生分析和解决问题能力的过程，也是培养学生创新能力的过程[1].因此，教师在高等数学的教学中结合专业背景，开展以问题为导向、融入数学建模思想、结合数学建模案例的教学，对于高校数学改革研究具有重要意义.

一、高等数学课程现状分析

高等数学课程是理工类、经管类专业的一门基础课程，是大部分高等院校都已开设的一门必修课程.但是在学时设置上各院校及各专业之间差别较大，部分独立院校以及大部分高职院校，一般将高等数学课程的学时设置为48学时至90学时，有些院校的经管类专业甚至不开设高数课程.在大面积缩减学时的背景下，高等数学教学内容主要集中在一元微积分与微分方程这两大模块上，只有学时达到90学时以上的专业才能介绍二元微积分部分的知识.在不同专业人才培养计划下，实际的教学实施过程中的某些内容还略有不同.教师的课堂讲授方式也较多偏向于传统教学方式，利用数学工具解决实际问题或相关学科问题的实践也很难在课堂上进行.总之，目前的课程设置较多地偏向于数学知识体系本身，缺乏与学生所学专业的融合，与数学课程服务于专业课程的目标有所偏离，不利于学生对数学知识学以致用.

高等数学的主要内容是微积分，而微积分的形成和发展与几何、物理、天文等研究领域的发展密切相关，这为高等数学的实际应用提供了很多现实场景[2].因此在高等数学教学中，教师可选用物理、生物以及经济中许多现象的代表性变量进行分析，进而建立各类简易的数学模型.这些内容融入课堂使得教学内容更加丰富生动，进而激发学生的学习兴趣.教师在有限的课堂教学时间中，找到恰当的切入点，通过融入数学建模思想及案例，依据各专业的不同特征以及对数学的不同需求对教学内容进行取舍，还可以建立以“模型案例”为中心的知识体系，结合课后学生小组合作、社团学习、师生共研等多样的教学实施形式进行教学.

二、数学建模案例的选取

在高等数学教学中进行案例教学的困难主要有两方面.一方面，数学模型往往与具体的数学问题以及较为系统、复杂的数学方法紧密相连;另一方面，低年级本科生、特别是高职院校的学生，数学基础相对薄弱，对数学建模的认识处于起点阶段.因此，如何精选涉及初等数学理论和方法且又能体现数学建模思想的案例融入课程就十分重要.通过教学实践进行总结，一般地，教师在选取数学模型案例时应遵循几个原则：

（一）结合高等数学的知识点，联系专业背景，聯系生活，选择恰当的数学模型

教师选用的数学模型不仅要来源于生活，要与专业背景相契合，还要具备一定的实用性与趣味性，不应涉及太深的专业知识.所以，在选取数学模型进行案例教学时，教师要针对不同专业的需求，尽量选择能精准服务专业课程的案例.例如，在电子技术、工业设计、电气自动化等理工类专业的高等数学教学中，教师讲授极限、无穷小概念时，可结合欧姆定律设计相应的物理问题，建立相应的数学模型;讲授导数时，可结合变压器原理与应用，设计背景问题引入数学模型案例;讲授不定积分、定积分时，可结合交流电路的分析，设计相应问题建立数学模型.在经管类、建工造价类专业高等数学的授课中，教师讲授重要极限时，可引入单利与复利的计算方法，结合第二重要极限，建立极限在经济应用中的数学模型;讲授导数知识时，可结合常用的经济函数，依据最大利润原则，建立相应的经济数学模型.

（二）课堂融入数学模型案例目标明确——引导学生学以致用

在此目标指引下，教师所选模型案例的理论应该简明、易懂，能够在较短时间内讲解清楚，不占用过长的课堂时间，在进行课程设计时，要遵循学以致用的目标，做到精心设计，而不是用“模型案例”的内容占用高等数学的课堂.

（三）数学建模案例的引入，宜采用循序渐进的方式

教师应充分了解学生的学情，面对学生多样化的情况，想要达到数学建模案例对课堂教学效果的辅助作用，就需要在课前精心设计数学模型的讲解过程，内容上安排合理、讲解通俗、循序渐进，同时上课语言幽默和风趣，增加师生互动环节，从而活跃课堂气氛，调动学生的学习动力，提高学生的学习兴趣.

三、数学建模案例教学实践

（一）在概念中引入数学建模案例

任何一门学科的核心概念就是这门学科的精髓，高等数学的概念相对抽象，教师在教学时可以通过引入数学建模案例，抓住复杂的概念的实质，让学生把关键的概念真正学透，体会到数学的趣味[4].

案例1 导数定义——边际分析模型

教师在讲解导数的概念时结合边际分析，将导数概念中的各个要素，分别对应边际分析各要素.比如，结合经济学中常用的边际收益函数.当函数因变量（收益）随自变量（销量）发生变化时，导数就提供了关于这种变化的大小和方向的信息.设产品销量是连续变化的，且产销平衡，则销量从x增加到x+Δx，引起的总收益增量为

ΔR=R（x+Δx）-R（x）（1）

两者的比值表示在x增加到x+Δx之间总效益的平均变化率为

ΔRΔx=R（x+Δx）-R（x）Δx

当Δx→0时，若

limΔx→0ΔRΔx=limΔx→0R（x+Δx）-R（x）Δx（2）

存在，则称此极限为边际收益，在数学上称其为收益函数的导数，记为R′（x）.这样就将导数概念与经济学中边际效益的问题结合起来，更易于学生理解.

（二）在重要结论、计算方法及定理应用中引入数学建模案例

高等数学的课程特点是概念多、符号多、运算规律与定理多，知识联系紧密.大部分学生在学习高等数学时，并不清楚为什么要学这门课程中那么多的定理，也不清楚这门课程对专业课程的学习以及自身综合素质的提高到底有多大作用.因此，如果教师在讲述定理时能将其与相应的数学模型有机结合，就能把看起来枯燥无味的定理与生活实际建立联系，起到事半功倍的效果.

案例2 第二重要极限——复利计算模型

利息就是借方按照合约向贷方支付的报酬.例如，客户把钱存入银行，银行按照规定的利率和期限付息.依据初等数学的基础和生活经验，同学们知道生活中常用于计算利息的方法有两种，一种是单利计算，另一种是复利计算.假设本金为A0元，存款年利率为r，存款期限为n年时，按单利计算方法得n年后的本息和An为

An=A0+A0rn

按复利计算时，如果以一年为一个计息期的复利计算方法，每年利率为r，n年后的本息和An如表1所示.

如果以一年k个计息期的复利计算方法，则第n年后的本息和为

An=A01+rkkn（3）

如果按连续复利计算，即n→∞，那么第n年后的本息和为

An=A0limk→∞1+rk=A0limk→∞1+rk=A0enr（4）

当本金A0=1000元，存款的年利率为r=6%时，依据上述算法就可以得到具体年份的本息和.由于在同样本金下，计息次数越多，银行支付给存款人的利息就越多，因此连续复利计算利息的方法我国银行目前还没有采用.在第二重要极限的课堂教学中，教师引入复利计算模型能让学生体验到重要极限在实际生活中的现实意义，同时，可由此引导教育学生远离各类借贷平台，从而起到课程育人作用.

案例3 微分方程的可分离变量法——固定资产折旧模型

某公司一台机器设备在任意时间的折旧率与当时的价格成正比，假设机器刚进货全新时的价格为2万元，5年末的价格为1.2万，求该设备出厂10年后的价值.设M表示设备的价值，则M=M（t），由于折旧率与当时价格成正比，则有微分方程

dMdt=-kM（5）

其中比率系数k>0，这就是折旧-价值的数学模型.

由分离未知量的思想，先将方程（5）转化为

dMM=-kdt（6）

再对方程（6）两边积分得M（t）=Ce-kt.由于设备的初始价格为2万元，可知M（0）=2，得C=2.将t=5，M=1.2代入即 1.2=2e-5k，解得k=-0.2ln 0.6，所以

M（t）=2e0.2tln 0.6（7）

从而该设备出厂10年后的价值为M（10）=2e0.2×10×ln 0.6=0.72元.

由此结合实例归纳出可分离变量的微分方程类型为

dydx=f（x）g（y）（8）

可分離变量微分方程求解的一般步骤可总结为：

第一步分离变量，将方程可以变形为

1g（y）dy=f（x）dx（9）

第二步方程两边同时积分，如果f（x）与1g（y）可积，则方程两边同时积分，得到方程

∫1g（y）dy=∫f（x）dx

教师将可分离变量微分方程的解法以一个实例为载体进行介绍，给枯燥的算法赋予应用背景，易于学生对算法的理解，并带领学生体验用数学解决实际问题的过程.

（二）在生活中寻找热点，引入数学建模案例

生活中的很多实际问题，例如人口问题、管理问题、抵押贷款、传染病（如SARS、新型冠状肺炎）的传播甚至减肥问题等，这些社会热点问题的内在规律都是可以通过数学模型去解释的.

案例4 科学防疫——传染病模型

研究传染病模型，对社会经济的发展与维持社会秩序有重要意义.通过查阅资料，同学们可以查到关于传染病的多个经典模型.2020年新冠疫情暴发，科学家从数学领域、医学领域对疫情进行分析，依据经典传染病模型，加入新的因素变量进行深入研究，也是疫情防控的一种有效手段.但是经典的传染病模型和热点疫情问题对于大部分学生来说，难以用现有知识去解决.对此，教师在高等数学课程中引入简化的传染病模型，是为了提供一个让学生更容易理解和支持防控疫情各项措施的辅助途径.

问题：一艘邮轮上有600名乘客，其中一名游客患某种传染疾病，12小时后已有3人感染发病.由于该传染病早期症状不明显，且隔离措施缺乏未能及时实施.疫情防控部门可在游客确诊之后的60～72小时内将有效疫苗送达，并立即接种.设计数学模型估算出疫苗运达时已感染传染病的人数.

问题分析：设y（t）表示发现首例感染者后t时刻（单位小时）的感染人数，则此时未感染的人数为600-y（t），则y（0）=1，y（12）=3.

假设极端情况，当感染人数y（t）很少时，只有很少游客能接触到感染者，此时传染病的传播速度慢;当感染人数y（t）很多时，未感染的人数600-y（t）很少，此时传染病的传播速度也很慢.不考虑极端情况，只研究当感染者很多以及未感染者很多时，传染病的传播速度很快的情况.由此可知，传染病的发病率与未被感染人数有关，与未被感染者人数也有关.由此可建立如下微分方程模型

dydt=ay（600-y），a为常数.（10）

依据微分方程求解通解为

y（t）=6001+Ce-600at（11）

代入初始值解得

C=599，y（12）=6001+Ce-600a×12=3

600a=-112ln5973×599≈0.09183

于是

y（t）=6001+599e-0.09183t

经过计算得到

y（60）≈175，y（72）≈332

从模型计算结果发现，疫苗花费72小时运到时感染人数是花费60小时运到时感染人数的2倍，可见在传染病的处理过程中及时采取隔离措施是防疫重要的一环.目前新冠疫情仍在全球肆虐，我国采取尽早隔离、动态清零、全民防疫的有力措施，有效地控制了新冠病毒的传播与变异，这不仅是我国传染病学的研究成果，更体现了中国特色社会主义制度的优势所在.教师在高等数学课程中引入热点问题，使学生在学习数学知识的同时，还学习了传染病的防治方法，通过与现实疫情防控效果的对比，对学生进行了一次爱国主义教育.

四、小结

数学建模案例融入高等数学的教学中，能够提高学生学习高等数学的兴趣，引导学生学以致用，锻炼学生运用数学工具的思维能力.在教学实践中，首先，教师要设计和选用大部分学生都比较熟悉且能够与学生所学专业知识的背景紧密联系的数学模型，布置相应的课后小组作业，能产生较好的教学效果;其次，教师选择模型应该与高等数学中的某个知识点契合，重在引入建模思想，理论简明易懂，能够在较短时间内讲解完，不占用过多课堂时间;最后，教师通过小组分享的形式，学习每一单元后分配一小节课用于分享课后建模作业，能够大大提高学生的学习主动性.

面对目前高等数学教学中存在的问题和困境，各高校都在依据自身需求进行高等数学教学改革.教师在高等数学的教学过程中融入数学建模思想，倡导数学建模的理念，组织数学建模竞赛，有利于引导学生勤于思考，培养其善于提出问题并分析问题的习惯，训练其应用数学建模方法去解决实际问题的能力，从而提高学生的分析、计算、推理能力，进而激发学生的创新能力与团队协作能力等，这些理念与目标也是高校数学教育工作者在日常教学工作中需要不断反思、研究与践行的.

【参考文献】

[1] 叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的教学中去.工程数学学报[J]，2003，20（8）： 3-13.

[2] 李大潜.将数学建模思想融入到数学类主干课程[J].工程数学学报，2006（1）： 9-11.

[3]孙静懿.高数教学中数学建模思想融入实践研究[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版）.2014，27（10）： 61-63.

[4] 万安华.高等数学课程教学方法的优化及其案例[J].大学数学，2018，（2）：111-115.

[5] 姜啟源.谢金星，叶俊.数学模型[M]. 北京： 高等教育出版社，2018.