一类蒙日-安培方程解的微分估计

【摘要】微分方程的凸性研究，是指方程解的凸性研究其及水平集的凸性研究，目前对解的凸性研究方法有多种，比如形变技术和极值原理，凹包络，利用凸性辅助函数建立需要的微分不等式.本文旨在通过对一类完全非线性椭圆型蒙日-安培方程detD2u=eu，在有界凸区域上满足Dirichlet边值条件下 ，通过构造与解有关的辅助函数，在三维欧式空间中进行关于方程严格凸解u的微分不等式证明，给出方程解的一个微分估计.

【关键词】 蒙日-安培方程;严格凸解;微分不等式

【基金项目】本文系北京电子科技职业学院校内科技一般课题 “黎曼流形上Monge-Ampère方程解的一个估计”研究成果.（项目编号：2020Z0091-KXY）

完全非线性的椭圆形蒙日-安培方程具有一般形式detD2u=f（x），且当Hessian矩阵D2u是正定的时候，方程的解u是严格凸的.在2014年，Chen，Ma和Shi[1]通过构造辅助函数，建立微分不等式，研究了带有0边值Dirichlet条件的椭圆型蒙日-安培方程

detD2u=1 in Ω，

u=0onΩ.

的解u的水平集的曲率估计.2015年，文献[2][3]利用同样的思路在四维空间形式中对该方程的严格凸解进行了研究，得到了相关微分不等式，进而进行了平均曲率估计.本文将这种思路继续推广，在三维欧式空间中，对一类满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，

u=0onΩ.

进行严格凸解，在一定条件下，通过构造辅助函数

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul和 ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

得到与解有关的两个微分不等式估计.

1 基本定义和引理

定义1[4] 对k=1，2，…，n.定义

σk（λ）=∑1≤i1<i2<…<ik≤nλi1λi2…λik，λ=（λ1，λ2，…，λn）∈Rn

为第k阶基本初等对称函数.令W=（wij）是一个n×n阶对称矩阵，λ（W）=（λ1（W），λ2（W），…，λn（W））是W的特征值.定义σk（W）是矩阵W的k阶主子式的和.σk（W）=σk（λ（W）），特别地，σn（wij）=detwij.

定义2[5] 设对x∈Ω，|u|≠0.对于x0∈Ω，称∑u（x0）=x∈Ω|u（x）=u（x0）为u通过x0的水平集.

接下来，记akl=σ3（D2u）ukl=ukldet（D2u），bkl=σ2（D2u）ukl其中（ukl）=（ukl）-1.

定义3 设对x∈Ω，|u|≠0.对于x0∈Ω，称∑u（x0）=x∈Ω|u（x）=u（x0）为u通过x0的水平集.

有如下关于解u的水平集的平均曲率公式：

H=∑nk，l=1σ2（D2u）uklukulDu-3.

引理1[6] （极值原理）设ΩRn，是有界连通区域，aij（x），bi（x）为Ω中有界连续函数，考虑二阶椭圆算子L，令

Lu=∑ni，j=1aij（x）uij+∑ni=1bi（x）ui

且L在Ω中是严格椭圆的，假设u∈C2（Ω）∩C（Ω），满足

Lu≥0，

那么u在Ω中的极大值只能在Ω上达到，否则u是常数函数.

引理2 （牛顿不等式）设λ1，λ2，…λn为n个正实数，对k=1，2，…，n，

σk（λ）=∑1≤i1

为它们的k阶对称和，规定σ0=1，定义Sk=σk[]Ckn，则有不等式

Sλ-1Sλ+1≤S2k，k=1，2，…，n.

2 主要定理和證明

定理1 设ΩR3为有界凸区域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，

u=0onΩ.

的严格凸解，则对函数

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

有如下微分不等式估计

∑3i，j=1uijφij>0.

推论1 设ΩR3为有界凸区域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，u=0onΩ.

的严格凸解，则函数

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

在边界Ω上达到它的最大值.

定理2 设ΩR3为有界凸区域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，u=0onΩ.

的严格凸解，则对函数

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

有如下微分不等式估计

∑3i，j=1uijψij>0.

推论2 设ΩR3为有界凸区域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=1u in Ω，u=0onΩ.

的严格凸解，则对函数

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

在边界Ω上达到它的最大值.

定理1 的证明为了证明微分不等式∑3i，j=1uijφij≥0在任意x0∈Ω处均成立.我们不妨在x0处选取光滑的标准正交标架e1，e2，e3使得Hessian矩阵uij（x0）（1≤i，j≤3）是对角的，因为u是严格凸的，那么其Hessian矩阵D2u是正定的，D2u>0，接下来的证明均选在固定点x0处进行计算.

对函数φ求一阶导函数得到

φi=∑3k，l=1euuklukul

=∑3k，l=1（euukliukul+2euuklukiul+euuklukului）

=∑3k，l=1（euukliukul+euuklukului）+2eu∑3k，l=1uklukiul

=∑3k，l=1（euukliukul+euuklukului）+2euui，

繼续对φ求二阶导函数有

φii=∑3k，l=1（euukliiukul+2euukliukiul+2ukliukului）

+∑3k，l=1（euukliiukulu2i+2euukliiukiului+euukliiukuluii）

+2euu2i+2euuii

=∑3k，l=1euukliiukul+2∑3l=1euuiliuiiul+2∑3l=1euuiliulu2i+

∑3k=1euukkiu2ku2i+5euu2i+2euuii.

因此，

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=∑3k，l，i=1euukliiukuluii+2∑3i，l=1euuiliuiiuluii+

2∑3i，l=1euuiliulu2iuii

+∑3i，k=1euukkiu2ku2iuii+

5∑3i=1euu2iuii+6eu.（1）

因为

ukli=-∑3p，q=1ukquplupqi，（2）

进而

uklii=-∑3p，q=1ukquplupqii

=∑3p，q，m，n=1（uknumqupl+ukqupnuml）upqiumui

-∑3p，q=1ukquplupqii（3）

=2∑3j=1ukkullujjujkiujli-ukkulluklii，

由于方程detD2u=eu，对方程两边进行微分，得到

detD2uxk=detD2u∑3i，j=1uijuijk=euuk，

即

∑3i=1uiiuiik=uk.（4）

对方程两边再进行微分得到

∑3i，j=1uijuijkl-∑3i，j，p，q=1uiqupjuijkupql=ukl，

即

∑3i=1uiiuiikl=∑3i，j=1uiiujjuijkuijl+ukl.（5）

将（2），（3），（4），（5）代入（1）式可以得到

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=∑3euuiiujj（ukkukuijk）2-∑3[]k，j=1k≠leuukkulluklukul

+∑3i，j=1eu（uiiu2i）（ujju2j）

-2∑3i，j，k=1euuiiujjukkuiujukuijk

+2∑3i=1euu2iuii+6eu.

整理后得

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=eu∑3i，j=1uiiujj∑3k=1ukkukuijk-uiuj2

+2eu∑3i=1u2iuii+6eu

因为eu>0，所以

∑3i，j=1uijφij>0.

定理1证毕.

推论1的证明由于u是严格凸的，那么其Hessian矩阵D2u是正定的，D2u>0.由定理1中微分不等式和引理1可知函数

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

在边界Ω上达到它的最大值.

推论1证毕.

定理2的证明我们仍在x0处选取光滑的标准正交标架e1，e2，e3使得Hessian矩阵uij（x0）（1≤i，j≤3）是对角的，接下来的证明均选在固定点x0处进行计算.

对函数ψ求一阶导函数，直接计算得到

ψi=∑3k，l=1bklukuli

=∑3k，l=1bkliukul+∑3k，l=1bklukiul+∑3k，l=1bklukuli

=∑3k，l=1bkliukul+2∑3k，l=1bklukiul，

继续对ψ求二阶导函数有

ψii=∑3k，l=1（bkliiukul+2bkliukiul）

+∑3k，l=1（2bkliukiul+2bklukiiul+2bklukiuli）

=∑3k，l=1bkliiukul+4∑3k，l=1bkliukiul+2∑3k，l=1bklukiiul

+2∑3k，l=1bklukiuli

=∑3k，l=1bkliiukul+4∑3l=1biliuiiul+2∑3k=1bkkukiiuk+2biiu2ii.

因此，

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3k，l，i=1bkliiukuluii+4∑3i，l=1biliuiiuluii

+2∑3i，k=1bkkukiiukuii+2∑3i=1biiuii

结合∑3i=1bili=0，∑3i=1biiuii=2σ2（D2u）与（4）式，可以得到

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3k，l，i=1bkliiukuluii+2∑3i，k=1bkku2k+4σ2（D2u）.

又因为

bkl=∑3[]j=1j≠kujj k=l

-ukl k≠l，bklii=∑3[]j=1j≠k，j≠k k=l

-uklii k≠l

得到

∑3k，l，i=1bkliiukuluii=∑3[]k，j，i=1k≠1uiiuiijju2l-∑3i，k，l=1k≠luiiuiiklukul，

再应用（5）式可得

∑3k，l，i=1bkliiukuluii=∑3[]i，j，k，l=1k≠luiiujju2ijku2l+∑3[]k，l=1k≠luklukul

-∑3[]i，j，k=1k≠luiiujjuijkuijlukul-∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l

=∑3[]i，j，k=1k≠l（uiiujju2ijku2l-uiiujjuijkuijlukul）

-∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l，

所以

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3i，j=1[uiiujj∑3k，l=1（u2ijku2l-uijkuijlukul）]

+∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l+4σ2（D2u）.

其中

∑3[]i，l=1k≠lukku2l=∑3k=1bkku2k>0，

由牛顿不等式知

σ2（D2u）≥3（eu）23>0，

由柯西施瓦茨不等式知

∑3k，l=1（u2ijku2l-uijkuijlukul）≥0，

所以有

∑3i，j=1uijψij>0.

定理2证毕.

推论2的证明由于u是严格凸的，所以其Hessian矩阵D2u是正定的，D2u>0.由定理2中微分不等式和引理1可知，函数

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

在边界Ω上达到它的最大值.

推论2证毕.

3 结论

本文主要在三维上有界凸区域中，研究了带有0边值Dirichlet条件下的一类非线性椭圆形蒙日-安培方程detD2u=eu的严格凸解的两个估计，主要是通过构造与方程detD2u=eu的严格凸解u的水平集的平均曲率、高斯曲率有关的辅助函数φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul与ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul，证明不等式∑3i，j=1uijφij>0与∑3i，j=1uijψij>0成立，结合极值原理得到辅助函数φ和ψ均在边界处达到最大值，有助于后续进一步研究凸解u的水平集的高斯曲率和平均曲率估计问题.

【参考文献】

[1]Chuanqiang CHEN，XinanMa， shujun Shi，Curvature Estimates for the Level Sets of Solutions of the Monge-Ampère Equation detD2u=1[J].Chinese Annals of Mathematics（Series B），2014，35（6）：895-906.

[2]于雪梅.四维空间形式中Monge-Ampère方程解的微分不等式[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（3）：1-3，37.

[3] 邢庆贺.二维黎曼流形上蒙日-安培方程解的一个估计[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（3）：53-55.

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