基于HD和SVD的DWT变换的数字图像水印

甘志超 刘丹

摘  要：文章提出一种基于离散小波变换（DWT）、Hessenberg分解（HD）和奇异值分解（SVD）的图像水印方法。在嵌入过程中，对原始载体图像进行多级DWT分解，并将得出的子带系数作为HD的输入。在创建水印的同时对SVD进行操作，通过缩放因子将水印嵌入到主图像中。运用果蝇优化算法，通过给出的客观评价函数来寻找比例因子。在各种欺骗攻击下，将所提出的方法與其他方法进行比较，实验结果表明，该方法对水印具有良好的鲁棒性和不可见性。

关键词：图像水印;离散小波变换;Hessenberg分解;奇异值分解

中图分类号：TP391.4           文献标识码：A文章编号：2096-4706（2022）01-0040-04

Abstract： This paper proposes an image watermarking method based on discrete wavelet transform （DWT）， Hessenberg decomposition （HD） and singular value decomposition （SVD）. In the embedding process， the original carrier image is decomposed by multi-level DWT， and the obtained subband coefficients are used as the input of HD. While creating the watermark， the SVD is operated， and the watermark is embedded into the main image through the scaling factor. Using the fruit fly optimization algorithm， the scale factor is found through the given objective evaluation function. Under various spoofing attacks， the proposed method is compared with other methods. The experimental results show that this method has good robustness and invisibility to watermark.

Keywords： image watermarking; discrete wavelet transform; Hessenberg decomposition; singular value decomposition

0  引  言

图像的鲁棒性和不可见性是评价水印技术有效性的两个主要指标。水印技术大致可以分为三类，即鲁棒水印、脆弱水印和半脆弱水印[1]。鲁棒水印对图像数据的保护至关重要，因为它不会显著降低水印图像的视觉质量，而且还能够抵御各种攻击。因此，鲁棒水印广泛用于版权保护和所有权验证。脆弱水印仅用于保证图像的完整性，并不能验证实际的所有权。半脆弱水印融合了脆弱水印和鲁棒水印的优点，旨在检测未经授权的操作，同时保持对授权操作的鲁棒性。此外，还可以在变换后的域内完成嵌入过程，如奇异值分解（SVD）、离散余弦变换（DCT）、离散傅立叶变换（DFT）、离散小波变换（DWT）。

1  相关理论

研究表明，人眼视觉对中低频系数更为敏感。因此，变换域内的运算方法具有良好的性能，特别是当水印嵌入在低频范围内时。基于DWT的水印方法具有分辨率高、能量压缩性好、视觉质量高等优点，可用于图像水印。然而，基于DWT的水印难以抵抗几何攻击。这个弊端可以采用矩阵分解方法提取图像的几何特征来解决，基于DWT和矩阵分解的方法广泛应用于图像水印中，从而使水印能够耐受一定程度的图像处理和图像几何攻击[2]。水印中最常用的矩阵分解方法包括SVD和Hessenberg分解（HD）。此外，鲁棒性和不可见性是评价图像水印的两个主要指标，二者之间的性能平衡是非常具有挑战性的。本文利用FOA算法对算法中的参数因子进行了改进，在鲁棒性和不可见性之间进行了权衡。本文提出一种结合DWT、HD和SVD的图像水印算法[3]。性能测试结果表明，该方法具有较高的鲁棒性和不可见性，且没有水印大小的约束。具体来说，本研究利用FOA找到一个最优的自适应比例因子，实现不可见性和鲁棒性之间的平衡。

1.1  小波变换

输入图像经过多级小波分解后，生成三个高频带HH、LH、HL以及一个低频带LL，如图1所示。其中低频带系列是小波分解级数对应的最小分辨率和最大尺度下对原始图像的最佳逼近。其统计特征与原图像近似，图像的大部分能量集中于此。高频带是图像在不同分辨率和不同尺度下蕴含的细节信息。分辨率越低，其中的有用信息比例就越高。图像小波分解分成若干级，对于同级图像，低频子图像LLj最重要，其次是LHj和HLj，而高频子图像HHj相对不重要。对于不同级来说，级高者重要，级低者不重要，如图1所示。小波理论使得进一步的分解成为可能，直至子带的大小达到水印的标准。与其他子带相比，LL的攻击性能更优，例如对滤波、压缩攻击。这一特性使LL子带成为鲁棒水印的最佳候选[4]。

1.2  HESSENBERG分解（HD）

HD是一种矩阵分解方法，可用于方阵分解[4]。HD可以找到更精确的图像信息，因此鲁棒性得到了提高，可以用HD来分解一个N×N的方阵X。其中H是上Hessenberg矩阵，P是正交矩阵，当i>j+1时，hi，j=0。HD与宿主矩阵的计算关系为：

宿主矩阵Q也是一个正交矩阵，Q的表达式为：

其中，µ是Rn中的一个非零向量，而In是一个N×N的单位矩阵。整个过程包含n-2个步骤，HD计算公式为：

1.3  奇异值分解（SVD）

奇异值分解是一种常用且重要的矩阵分解方法，其基于特征的分解可运用于任意矩阵的分解，并可将图像看作是由若干非负标量组成的非负矩阵。奇异值分解可用来提取图像的特征值，从而实现对图像的降维与压缩，应用到数字水印中可以提高水印的鲁棒性，奇異值分解的优势在于可以对长矩阵进行处理，并不局限于方阵矩阵。图像在经过SVD分解后可以得到3个矩阵（2个正交矩阵和1个对角矩阵），分别对应左奇异值矩阵U、右奇异值矩阵V和奇异值矩阵S[5]。在奇异值矩阵中，奇异值按照由大到小的顺序排列成对角矩阵。尺代表实数域，矩阵A的大小为M×N。其中UUT=In，VVT=In（In是一个N×N的单位矩阵）。若r为待分解矩阵Y的秩且满足r≤n，则对角矩阵S的元素满足式（7）中的关系，而待分解矩阵Y可以写成式（8）。

其中，σi为第i个奇异值，µi，νi分别为U和V的第i个特征向量。采用奇异值分解的奇异值矩阵S，通过合适的比例因子系数将水印的奇异值嵌入到载体图像的信息中。

1.4  果蝇优化算法（FOA）

FOA是一种仿生优化算法。实验中经常运用一些仿生算法来求解优化问题，相较于其他仿生算法，FOA算法实现简单，具有较强的全局优化能力。FOA算法启发于果蝇的闪烁行为，该行为的作用相当于一个中枢信号系统，目的在于吸引其他果蝇[6]。本文运用该方法找到一个最优的自适应比例因子，实现不可见性和鲁棒性之间的平衡。

2  数字图像水印算法

2.1  水印嵌入算法

水印W和载体图像C是水印嵌入算法的输入，含水印图像C*是输出。C、W、C*的尺寸分别为M×M、N×N和M×M。此外，该水印方法可以容纳多个尺寸不同的水印，并对宿主图像进行r级DWT分解。水印嵌入的过程如图1所示，具体的嵌入步骤为：

（1）基于R级DWT，将C分解为LL、LH、HL、HH的分量，其中R=log2（M/N）。

（2）HD在LL上执行，显示为：

（3）将SVD应用于H：

（4）W与SVD结合使用：

接着使用Logistic映射产生的混沌系统对Uw、VwT的运算加密，加密后的两个组件标记为Uw1和VTw1。

（5）通过将HSw和Sw与缩放因子α的乘积相加，计算嵌入的奇异值HS*w：

（6）带水印的子带H*是通过逆奇异值分解生成的，即：

（7）基于给出的逆HD，重建一个新的低频近似子带LL*：

（8）水印图像C*是通过执行逆r级小波变换获得的，水印嵌入流程图如图2所示。

2.2  水印提取算法

在水印提取算法中，加水印的宿主图像C*是输入，提取的水印W*是输出。W*的大小为N×N。水印提取过程如图3所示，具体提取步骤为：

（1）经过水印的主图像C*通过r级DWT分解为四个子带，分别为LLw、LHw、HLw、HHw。

（2）对LLw执行HD

（3）将SVD应用于Hw，

（4）提取的奇异值Sw*为：

（5）Uw1和Vw1T由混沌系统解密，解密的两个组件被标记为Uw2和Vw2T。提取的水印W*通过逆奇异值分解（SVD）进行重构，公式为：

水印提取流程图如图3所示。

2.3  实验结果

原始载体图像为64×64、128×128、256×256的lena标准彩色测试图像，水印图像采用256×256具有丰富细节的二值图像。为了便于对比实验结果，宿主图像的尺寸大小没有造成明显的数据偏差，本文图片数据采用256×256的数据对比。从人眼视觉来看，经过嵌入的图像与原图像没有明显的差别，但却在不可见性上取得较好的效果，如图4所示。为了测试该方法的鲁棒性，本文对图像进行了不同种类和不同强度的攻击和干扰，分别进行了无攻击、ɑ=0.05的高斯低通滤波、高斯滤波、中值滤波、斑点噪声、椒盐噪声、JPEG压缩、JPEG2000压缩、锐化攻击、直方图均衡化、均值滤波、运动模糊等共16项攻击，所提取的水印如图5所示。该算法在无攻击时能够完美地提取出原水印图像，在大部分情况下都能表现出出色的鲁棒性，尤其是JPEG压缩、JPEG2000压缩以及各种滤波和噪声。实验采用PSNR、SSIM、NC指标来精准量化图片的不可见性和鲁棒性。

3  结  论

本文采用的基于小波变换的水印方法具有分辨率高、视觉质量好等优点，在数字图像水印的基础上运用一种基于DWT-HD-SVD变换的数字图像水印技术。利用FOA来寻找最优比例因子，结果表明，基于该技术的水印主机图像具有良好的视觉质量、PSNR值和SSIMS值。此外，在NC值较高的情况下，可以从不同攻击下的水印主机图像中清晰地提取水印。该方法对不同种类、不同强度的滤波和噪声干扰以及JPEG2000压缩、JPEG压缩和锐化攻击具有很强的鲁棒性。

参考文献：

[1] 吴德阳，张金羽，容武艳，等.数字图像水印技术综述 [J].高技术通讯，2021，31（2）：148-162.

[2] ZHANG H，WANG C Y，ZHOU X.Fragile watermarking for image authentication using the characteristic of SVD [J].Algorithms，2017，10（1）：1382-1396.

[3] LIU J X，HUANG J D，LUO Y L，et al.An Optimized Image Watermarking Method Based on HD and SVD in DWT Domain [J].IEEE Access，2019，7：80849-80860.

[4] SU Q. Novel blind colour image watermarking technique using Hessen-berg decompositi [J].IET Image Process，2016，10（11）：817-829.

[5] RUN R S，Horng S J，LAI J L， et al. An improved SVD-based watermarking technique for copyright protection [J].Expert Systems with Applications，2012，39（1）：673-689.

[6] Pan W P. A new fruit fly optimization algorithm： Taking the financial distress model as an example [J]. Knowledge-Based Systems，2012，26：69-74.

作者简介：甘志超（1999—），男，汉族，福建漳州人，硕士研究生在读，主要研究方向：数字图像水印;通讯作者：刘丹（1969—），女，汉族，天津人，教授，理学博士，主要研究方向：图像处理、非线性数学、模式识别。