核心素养引领数学高考测评之路——以2020年全国理科Ⅰ卷为例

◎柯杰凯 肖加清 (黄冈师范学院 数学与统计学院，湖北 黄冈 438000)

一、数学核心素养的考查

目前，大部分有关数学核心素养方面的研究都集中在核心素养的内涵架构，教学实例、课程研究等方面，关于数学试卷核心素养测评方面的研究相对较少，本人在前人研究的基础上，以2020年全国理科Ⅰ卷为例，对考查的核心素养进行相应的测评研究.

今年高考试题是在教育改革的背景下命制的，综合2019年以及以前试题的特点，我们发现，其中数学文化与应用延续了近几年高考的热点，同时也秉承高考“一核、四层、四翼”的总体命题要求，聚焦数学学科核心素养，基本实现了知识技能导向到数学素养导向的转变.它对新高考改革具有积极的导向作用，并且指导一线教师的教学理念和教学方式.

2020年全国理科Ⅰ卷全面涵盖数学核心素养，并且将“四基”“四能”融合在一起对学生的综合能力进行了考查.为了分析试卷的核心素养考查情况，研究者根据六大数学核心素养及其水平层次框架，将核心素养和相应水平层次用符号进行标记，详见表1，例如逻辑推理水平一标记为L1、直观想象水平二标记为I2，数学抽象水平三标记为A3，其他以此类推.其中部分试题对应的题号，以及考查的知识点、核心素养水平层次详见表2.

表1 数学核心素养分析指标体系

表2 部分试题考点分布以及核心素养考查

根据表2所示的部分试题，试卷对核心素养的考查相当突出，每道题目都涉及了两个或以上的核心素养，无论是在知识点的覆盖、思想方法的渗透还是核心素养的体现上都是形式多样的.比如第3题(下面有)以埃及胡夫金字塔为背景，考查正四棱锥的定义、三角形面积、构建图形等基础知识，其中涉及了多种核心素养，对学生综合灵活运用知识解决问题提出了较高要求.

为了能够进一步了解2020年全国理科Ⅰ卷数学核心素养考查情况，作者将全部试题素养考查次数进行整理，详见表3.

表3 试题核心素养考查次数及对应百分比汇总表

根据表3可得，六大核心素养在试卷中都有所体现，但考查的百分比差异明显.从核心素养分类角度来看，逻辑推理和数学运算的百分比最大，分别是31.51%和30.13%，数学抽象和直观想象的百分比次之，分别是15.07%和16.44%，而数据分析和数学建模的占比偏低，仅为2.74%和4.11%.从水平层次分类角度看，核心素养水平一占了26.03%，水平二占了60.27%，水平三占了13.70%.根据以上数据我们能够直观感受到高考对学生能力提出越来越高的要求，始终坚持倡导素质教育，而不是讲究题海战术.虽然2020年全国理科Ⅰ卷相比以往在核心素养的考查分布有所改善，但数据分析和数学建模考查仍偏少，即在“全面考查各种能力”上仍然表现不足，希望未来高考命题能够得到改善.

二、典型试题分析

本文结合部分典型试题，从核心素养的视角进行了深入分析.由于每道题都考查两个或两个以上的核心素养，为了便于分析，我们侧重于试题中主要考查的核心素养.

1.数学抽象素养视角

选择题第12题：若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

考查分析：本题以指、对数为基本背景，考查函数的单调性、比较大小等知识，从抽象、概括的角度观察等式，进而建立对应的函数模型，并结合单调性和放缩法进行比较大小.本题以考查A3为主，并结合L2、M2以及C3考查.

解答情况：数学抽象素养较为薄弱的学生，难以从等式中抽象出函数表达式，也不易将等式两边抽象成同一个函数的不同函数值，最终无法利用单调性比较大小.无论是采用单调性法还是特殊值法，本题都需要结合单调性.将数学问题抽象为单调性问题是高中学习的重难点，也是压轴题导数及其应用的基础.

2.逻辑推理素养视角

解答题第21题：已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性.

考查分析：本题主要考查导数及其应用、不等式恒成立问题等知识，并结合分类讨论的数学思想方法.本题以L3考查为主，并结合A3、C3等素养.

解答情况：逻辑推理素养较为薄弱的学生，表现为对(1)中单调性无法进行合理的分类讨论，误认为(2)是一个“存在性”问题，而不是“恒成立”问题.有的学生会直接通过移项而直接求导，从而产生巨大的计算量，进而导致计算错误或无法解答的现象，即使通过等价变形的方式求导成功，也可能同样因为无法进行合理的分类讨论而无法继续解答，因此学生的逻辑推理水平有待提高.导数及其应用是高考数学压轴题的热门考点，对学生的知识应用能力要求较高，所以教师在教学过程中，要有目的地训练学生的逻辑推理等素养和渗透数学思想方法，并且要求学生解决生活中的实际问题.

3.数据分析素养视角

(1)求甲连胜四场的概率.

(2)求需要进行第五场比赛的概率.

(3)求丙最终获胜的概率.

考查分析：本题以羽毛球比赛为背景，考查独立事件、互斥事件的概率与计数原理的相关知识，解题关键是理解比赛规则和分析比赛次数，故对学生解读能力提出了一定的要求.本题主要考查D2，并且同时考查L2、A2.

解答情况：数据分析素养较弱的学生表现为无法解读比赛规则，进而得出比赛场次，从而无法计算独立事件和互斥事件的概率，还表现为在(2)(3)分类讨论的时候容易出现遗漏的情况，其中大多忽略了(2)中“丙上场后连胜三场”与(3)中“负空胜胜”的情况，从而导致计算错误.《统计与概率》是高中的主干内容之一，根据近几年的变化趋势，这部分早已从“冷门”变为“热门”，而且实际背景种类多样，并能够结合各种不同的考点，综合考验学生解决问题的能力.

4.数学建模素养视角

选择题第3题：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ).

考查分析：本题是在埃及胡夫金字塔的文化背景下，构建空间几何模型，考查正四棱锥的定义以及基本运算、三角形面积和边长比值等知识，还考查数形结合的思想方法，建立数形之间的关系.本试题主要考查M2,并且结合A1、L2、I1、C1等素养.

解答情况：学生的数学建模经验不足，不易将实际问题转化为数学模型.以本题来说，学生无法从文字语言提炼出几何模型，建立图形与图形、数量与数量、图形与数量之间的关系，从而无法解决试题，因此学生在学习过程中，应主动积累建模经验，逐步升华建模思想.逻辑推理素养薄弱的学生可能将“高与边长的比值”误认为“边长与高的比值”或勾股定理或面积公式运用混乱，并容易出现计算或代入错误.

5.直观想象素养视角

(1)求证：PA⊥平面PBC.

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考查分析：本题以圆锥为背景，考查有关直线与平面垂直的关系、二面角的余弦值等重点内容，学生需要理解题目并结合图形进行分析，借助图像深入理解文字语言，从图形中捕捉关系，进而证明结论和求值.本题主要考查I2，并结合对A2、L2等素养的考查.

解答情况：直观想象素养薄弱的学生，难以从图形中发现关键条件，即在本题中无法发现两条相交直线与PA垂直，也可能建立不恰当的直角坐标系，造成坐标标注困难.有大部分学生忽略了判断二面角是锐角还是钝角，认为利用两个向量求出的余弦值就是题目所要求的余弦值.数学运算素养较差的学生可能发生公式使用错误，如把线面角与二面角的向量求法弄混，或者坐标点、法向量和余弦值计算错误.

6.数学运算素养视角

选择题第9题：已知α∈(0,π)，且3cos 2α-8cosα=5,则sinα=( ).

考查分析：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和差公式等基础知识，解题的关键是公式使用的准确性和计算思路的严谨性，同时解答过程中注意检验，考查了C2，并涉及L2.

解答情况：学生对二倍角公式掌握不熟练，无法进行相应的转化.有的同学未考虑取值范围的影响，导致产生多解的情况.这些错误表明学生的数学运算和逻辑推理素养的不足，教师应该及时制定教学措施，提高学生的素养水平.

三、2020年数学理科Ⅰ卷命题特点

1.关注现实问题，倡导“五育并举”

2020年全国数学理科Ⅰ卷试题与历史文化、社会生活、科技发展等背景密切交融，体现“在生活中教育、在教育中生活”的教学理念，指引学生在学习学科知识的同时，也要关注经济、政治、文化、生活和科技等领域,充分发挥“立德树人”的导向作用，培养全面发展的人才.如第3题，以古代世界奇迹建筑——埃及胡夫金字塔为背景，考查正四棱锥的概念和运算，体现将空间立体几何与世界历史知识相互融.学生通过本题不仅收获学科知识，而且提升审美境界和人文精神.如第5题，以研究种子的发芽率与温度的关系为背景，考查回归分析应用，同时让学生感受到科学研究与生活息息相关，并且适当培养学生的研究兴趣.如第19题,以学生熟知的羽毛球比赛为背景,将体育和高考试题巧妙融合在一起，表明了国家要强智先健体，拒绝“书呆子”的教育理念.

2.聚焦关键能力，培育理性思维

学生在掌握学科知识的基础上，要注重数学理性思维的培养，因为对于综合性、创新性强的题目，数学理性思维起主导作用.如第12题，结合了指数、对数和不等式等知识.该题解法不唯一，可以采用构造函数法或特殊值法，考查学生构造函数、利用单调性比较大小和零点存在定理的基本应用，能够充分训练学生论证推理、思维发散的能力.再如第20题，该题是椭圆、向量、直线的综合题，实现了平面解析几何的微创新，将椭圆、向量等不同章节知识融合在一起，明显地体现了试题的难度.试题难度并不是由过度复杂的计算或者超纲内容所导致的，而是在于它所体现的综合程度，这对学生的应变能力和思维的严谨性提出了高要求.

3.扎根基础知识，突出素养导向

本套试卷在2018年、2019年的基础上推陈出新、稳中求进、明晰学科特色、明确素养导向，以学科基础知识为载体，全面落实六大核心素养，提高试题综合性、应用性、创新性，减少过于烦琐的计算量和超纲试题.今年高考更加注重学生的核心素养以及能力应用，全面落实核心素养的考查.但是今年高考试题中数据分析素养、数学建模素养与其他素养的考查百分比差距仍然悬殊，这两方面的素养需要增加考查百分比或改变考查方法.

四、总结

2020年全国数学理科Ⅰ卷与2019年相比，更加稳固了基础知识在高考中的地位，尤其注重教材一些题源，很多试题都是在原有题源的基础上进行的微创新，并且与实际生活紧密贴合，让学生与社会保持密切联系，同时对学生的核心素养与能力的考查也逐渐全面.本次高考讲究以学科知识为载体的命题准则，并将科学背景、文化背景和实际背景相结合，充分体现“基于课标、寻于教材、源于生活”的命题原则，充分彰显高考科学选拔和培育人才的积极作用.