一道模考试题的探究历程及教学启示

◎丁春年 (甘肃省武威第十八中学,甘肃 武威 733000)

直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考数学题目中的一道必考题，其特点是入手容易，但具体运算起来有些棘手，其解答过程呈现出一种程序化的模式，即通过将直线方程与曲线方程进行消元整理后求解.该类题一般有两问，其中第1问很容易，第2问往往涉及“弦长、面积、范围、定点、定值”等问题，而“定点问题”在近几年高考中备受关注，它时而出现在全国卷中，时而出现在地方卷中，成了一个常考不衰的问题.对于一线教师来说，解读高考考纲、研究高考试题、领会高考命题者意图、展望高考命题的方向至关重要.现以2021年甘肃省武威市第一次五校联考试题第20题为例，再现其探究历程，并提出高考复习中解题教学的启示.

1 题目呈现

(1)求椭圆的方程.

(2)设过点(4，0)的直线l与椭圆交于C，D两点，点C关于x轴的对称点为E，求证：直线DE过定点.

点评直接法是求曲线轨迹方程的常用方法，方法中蕴含了方程思想，也就是寻求一个关于曲线上动点坐标的方程，为了得到这个方程，就要探求动点满足的条件等式，列出条件等式后，化简等式为最简形式即可.需要说明的是：如果题设中有坐标系，可省略“建立直角坐标系”这一步.另外，本题也揭示了椭圆的“斜率定义”，此定义在课本中以例题的形式呈现，并且在课本习题中也进行了一定的拓展，因此，它时常会进入高考命题者的法眼，必须引起我们一线教师的足够重视.

(2)设C(x1,y1)，D(x2,y2)，E(x1,-y1)，过点(4，0)的直线l的方程为x=my+4，代入椭圆方程得(3m2+4)y2+24my+36=0，

依题意有Δ>0，

因为直线DE的方程为(x2-x1)(y+y1)=(y1+y2)(x-x1),

所以在直线DE的方程中，令y=0，得

因此，直线DE过定点(1，0).

点评(2)的解答过程是解决直线与圆锥曲线位置关系问题的常用过程，其特点就是过程繁重、算式堆砌、运算量不言而喻.从学生的角度上看，即便是在思路清晰、算理明确、算式正确的情况下，一不留神就会出现运算上的错误，从而导致失分.为降低运算量，可将直线方程设为x=my+4较为稳妥，此方程隐含了m=0与m≠0两种情形.如果将直线方程设为y=k(x-4)，必然要对k分情况讨论，从而产生了不必要的麻烦，运算中多出了不必要的运算，人为地加大运算量得不偿失.

2 题目反思

对题目1的条件和结论探究，不难发现动直线l所过的定点(4，0)在椭圆的准线上，动直线DE恒过椭圆的焦点.由此，笔者产生了如下的困惑：椭圆的焦点与准线是椭圆的重要元素，在此处交汇在一起，是偶然的巧合？还是必然的联系？如果是必然的，那么题目1的结论就应对任意椭圆成立.既然是圆锥曲线中的问题，那么对另外两种曲线如何呢？

经过探究，笔者得出如下结论.

3 相关结论

证明设C(x1,y1)，D(x2,y2)，E(x1,-y1)，

依题意有Δ>0，

因为直线DE的方程为(x2-x1)(y+y1)=(y1+y2)(x-x1),

所以在直线DE的方程中，令y=0，得

因此，直线DE过椭圆的右焦点F.

评注以上证明过程中的思路及方法是在解析几何中解决直线与圆锥曲线问题的通法，当然，结论中涉及椭圆的焦点与准线，其中椭圆的准线在课本中没有以概念的形式给出，但在课本中它以习题的形式呈现.这就要求我们在处理课本习题时，不能仅仅着眼于习题的形式，而要深入挖掘习题中隐含的东西.另外，此结论中的焦点如果是左焦点，则准线就是左准线.

类比椭圆，对双曲线和抛物线也有类似的结论.

4 高考链接

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.

(2)设O为坐标原点，求证：∠OMA=∠OMB.

(2018年高考数学全国Ⅰ卷理科第19题)

图1

图2

证法2分析(从已得出的结论出发)如图2，

图3

所以Rt△ACM∽Rt△BDM，从而，

∠AMC=∠BMD，

故∠OMA=∠OMB.

5 教学启示

对于高考复习中的试卷讲评课，一线教师往往是按照试卷的标准答案进行讲解，很少对题目进行深度的剖析，如：题目涉及的考点有哪些、题目的解答从什么地方入手、题目的题源在课本中的什么位置、题目是否为一般情形下的特殊情形等.教师如果带着这些问题进行解题教学，将会使解题教学焕发活力.也就是说，如果教师按照试卷的标准答案讲解，那么对教师来说节省了备课的时间，这样一来，教师轻松了，但学生未必轻松.这样的解题教学如同平静的湖水一样波澜不惊，毫无悬念.同样的道理，在高考复习的解题教学中，教师如果针对某一道题目提出一些具有挑战性的问题，将会触发学生的认知冲突，引领学生针对问题进行主动的探究，这样的探究筑牢了学生的基础知识，使学生能从一道题目中收获很多，因此，这样的解题教学无疑是高效的.

5.1 解题教学应以“研题”为热身

作为一线教师，尤其是带高三毕业班的教师，一定要潜心研究各种试题.通过研究不同类型的题目，使教师成为解题的行家里手，而不仅仅是沦为解题的工具.以试卷讲评课为例，大多数教师在试卷讲评之前，先是浏览标准答案，对一些简单的题目一扫而过，对中档的题目，在关键点上稍加推演，而后才在所谓的难题上下一番功夫.这里所谓的下功夫，不是深入题目中，而是阅读答案的解析过程，换句话说，就是先自己看懂了解析过程，再将解析过程传递给学生，至于题目考到了哪些知识，题目的审查过程是怎样的，题目是从什么地方突破的，题目还有没有其他的解法等，这些都没有考虑过.这样的试卷讲评，对教师来说，备课轻松，上课轻松，但对学生来说，由于教师没有把准学生的脉，因而无法触及学生内心深处的那根探究的神经，自然对学生的学习起不到应有的促进作用.基于此，教师在试卷讲评之前，要静下心来，潜心研究试题.首先，要研究题目的难易程度，对于一些简单的题目，只需明确题目的考点，特别是对于一些看似容易，实则有埋伏的题目，一定要给学生强调注意事项，以避免学生在不该丢分的地方丢分.其次，要研究题目的来历，拿到一个题目，要看此题从何而来，即看此题考什么，有哪些已知条件，同时还要看此题到哪里去，即看题目要解决什么问题，题目是否与我们以前做过的某一道题相似，题目是否为某现成结论的推广等，只有揭开了题目的面纱，才能认清题目的本质.

5.2 解题教学应以选“好题”为依托

解题教学的首要任务就是选题，选出好的试题，将其作为进行课堂教学的例题，或作为学生在课堂中的限时训练题目，这是解题教学效果好坏的关键.以高考复习中的一轮复习为例，目前的解题教学现状是：教师先复习知识要点，然后对复习资料上的典型例题，按照题目的排列顺序依次讲解，最后将复习资料上与典型例题对应的习题留给学生作为限时训练.这样的复习没有经过选题的环节，是对资料上给出的题目通盘全吃，全然不顾题目是否适合学生实际，如此不经过选题的解题教学不利于学生解题能力的提高，因此，解题教学的前提是选题，而且是选好题.那么，什么样的题能成为好题？衡量一道题是好题的标准又是什么？这是我们一线教师都面临的问题.笔者认为，选好题应考虑以下几个方面：第一，所选的题目要具有基础性、情境性、示范性的特点.从高考命题角度来说，有些重要的知识点是每年的必考内容，是知识模块中的基础知识，这些知识点的考查在每年高考中都以不同的面目出现，同样的考点知识，考了一年又一年，每年情境不一样，一年问这个，另一年又问那个，变换形式而又不离本质，这样的题目是具有示范性的好题.第二，所选的题目要具有入口小，但又具有探索价值的特点.入口小，容易让学生的思维瞬间聚焦到问题本身，排除其他因素的干扰，尽快地进入题目的情境中，进入解决问题的状态中.随着问题解决的进展，学生自然而然地会触及所解决问题的本质，这时就需要学生进行深度的思考，需要学生的思维具有穿透力，能从所解决问题的表层透析出问题的本质.这样的题目就是好题.它好就好在能一下子抓住学生，能引领学生进入深层次的探究过程中.它好就好在能通过一道题目让学生学会解决一类题目的方法，能通过一道题目对学生进行思维的穿透力及思维深刻性的训练.

5.3 解题教学应注重课本习题的开发

每年的高考结束后，试题一经公布，就会引起众多一线教师的高度关注.他们对试题的难度、试题的亮点、试题的创新、试题在课本中的出处等方面的研究，都投入了极大的热情，这是高考试题的原创性所致.我们仔细研究试题就会发现，试题虽然是原创的，但仍然闪烁着课本中习题的影子，它们往往是由课本习题中的B组题目改编而成的.因此，我们的解题教学，要用好课本中的习题，这里的用习题，不是对原题的照搬照抄，而是要进行再创造.比如，将原题中的常量改为变量，为确保修改后题目合适度，可借助几何画板的计算与绘图功能，以完成对题目的改编；再比如，将不同章节的题目合编成一道题目，这也是高考命题中的一个常用招数.同时，将改编后的习题作为学生的作业，可以使作业发挥应有的作用.时下，学生在平时做题时，须臾离不开参考答案，如果手头没有答案，也会用手机上的软件“作业帮”搜题找答案，而如果是自己编制出的原创题，就搜不到答案，如此便可杜绝学生抄袭的源头，从根本上扭转学生在学习上的不良习惯.

5.4 解题教学应注重知识的本质

高三解题教学的首要任务就是帮助学生整理所学知识，构建学生的知识网络，提升学生的数学素养.但由于高三复习课面对的现实是时间少、任务量大，不少一线教师往往采取“题海战术”，做了一套又一套试卷，讲了一类又一类的题目，却很少关注高考考点内容和方法的讲解是否清楚或透彻，很少关注考点内容的本质，这样做的后果往往是学生对问题的理解只停留在问题的表面，而不能从问题的本源去考虑问题.正如题目中的(1)的解答，问题的表征是利用直接法求曲线的方程，而问题的本质是椭圆的“斜率定义”； 题目中的(2)的解答，问题的表征是椭圆中直线过定点的问题，而问题的本质是圆锥曲线中直线过定点的问题，它涉及了圆锥曲线的焦点与准线.因此，高三解题教学要关注知识的本质，只有认清了知识的本质，才能在解决问题的过程中不因问题变化而束手无策.

5.5 解题教学应注重数学思想方法

众所周知，高考一方面考查学生的能力，另一方面考查学生的数学思想与数学方法.数学能力与数学思想方法的落实就是课堂教学，因此，我们的解题教学要充分凸显数学能力与数学思想方法.例如，本文中对题目1的探究中，由特殊情形引出了一般性的结论，体现了从特殊到一般的数学思想方法；从结论1出发引出了其他一系列结论，体现了数学中的类比思想；例题的高考题解答中的证法3从图形出发，将角的相等转化为证明两个三角形相似，体现了数学中的数形结合思想及转化与化归思想.基于此，我们在日常的教学中，始终要在课堂中进行数学思想与数学方法的渗透.唯有如此，我们的高考复习中的解题教学才是高效的教学.

数学教学离不开解题，而今市面上的模拟试题多如牛毛，令学生应接不暇，学生不假思索地抄写试卷，教师成了解题专家，在课堂上为学生展示精妙的解法，似乎不如此便不能显示出教师的功力似的.这样的解题教学将学生束缚在一个固定的套路中，学生完全没有了自己的思想，如此下去，学生对数学问题的理解就只能停留在表面，而不能深入其本质.基于此，我们的解题教学就要以合适的题目为依托，培养学生深刻的思维，碰到数学问题时能迅速认清问题的本质，使问题得以解决.