根据函数的性质，求解抽象函数问题

邓超群

抽象函数一般没有具体的函数表达式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.在解答抽象函数问题时，我们无法从函数的解析式入手，需要深入地挖掘抽象函数的性质，利用函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性来解题.而为了明确函数的性质，我们通常要采用一些手段来挖掘函数的基本性质.

例1.已知定义在R上的函数f（x）（x≠0），对任意不等于零的实数m，n都有f（m·n）=f（m）+f（n）成立，且f（4）=2，试判断函数f（x）的奇偶性，并求f（-2）的值.

解：令m=-1，n=1得f（-1）=f（-1）+f（1），所以f（1）=0;又令m=n=-1得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0;再令m=x，n=-1得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x）.又f（x）为非零函数，则f（x）为偶函数.又f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，所以f（2）=1，则f（-2）=f⑵=1.

赋值法是探求抽象函数基本性质的重要手段.在判断函数的奇偶性时，要通过赋值，判断出f（-x）与f（x）之间的关系，这样才能根据函数奇偶性的定义进行判断.解答本题，需通过三次赋值，得到f（-x）=f（x），这样便可根据函数奇偶性的定义判定函数f（x）为偶函数.

例2.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）+f（x）=a，f（1）=0，其中a为常数，试判断方程f（x）=0在（-3，7）内至少有几个根？

解：在f（x+2）+f（x）=a中，将x用x+2来代替，得f（x+4）+f（x+2）=a，将上述两式相减得f（x）=f（x+4），因此f（x）的周期为4，又f（x）是定义在R上的奇函数，于是f（5）=f（1）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，所以方程f（x）=0在（-3，7）内有6个根：-1， 0，1，3，4，5;另一方面，f（-2）=f（-2+4）=f（2）=-f（-2），则f（-2）=0，f（2）=0.又f（6）=f（2）=0，所以-2，2，6也是方程f（x）=0在（-3，7）内的根，因此方程f（x）=0在（-3，7）内至少有9个根.

在探求函数的周期性时，要通过赋值以及等量代换，得到f（x）=f（x+1），这样就可以根据函数周期的定义，判定t就是函数的周期.解答本题，需抓住“f（x）是定义在R上的奇函数”这一关键点，然后通過赋值、等量变换，得到f（x）=f（x+4），从而挖掘出函数的周期性，再利用函数的周期性，在定义域内找到f（x）=0的根.

证明：因为对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x）成

一般地，对于任意实数x，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则函数f（x）的图象是关于直线x=a成轴对称的图形.偶函数是一个特例，其图象关于y轴对称.若满足f（a+x）=-f（a-x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形.对于本题，由f（2+x）=f（2-x），可以判定函数y=f（x）关于x=2对称，这样便挖掘出函数的对称性.

例4.已知定义在（0，+8）上的函数f（x），对任意m，n∈（0，+∞）都有f（m·n）=f（m）+f（n）成立，且当x>1时，f（x）>0.又f（2）=1，问方程f（x）=3cosx有几个解.

判断函数的单调性的依据就是其定义，只需在区间D内找到任意x₁、x₂，然后令x₁2，再通过恒等变形，比较出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，即可判断出函数的单调性.在本题中，我们通过赋值和恒等变换，根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，就能快速明确函数图象的变化趋势，求得问题的答案.

可见，函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性是解答抽象函数问题的重要依据.因此在解题时，我们要学会根据问题的特点和解题需求，通过赋值、等量代换、等价变形等方式，利用奇偶性、周期性、单调性、对称性的定义以及相关结论，挖掘出函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性，再根据函数的性质求解.6FC864DB-124F-45C5-9BCB-FABE938FF634