人教A版新教材“正弦定理、余弦定理”的内容分析与教学建议

杨原明 (江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

1 问题的提出

苏州市从2020年9月起开始使用2019版人教A版(下称人教版)高中数学新教材，对长期使用2004版苏教版(下称苏教版)教材的教师而言是一次较大的挑战，这种处于不同版本或新旧教材“交接”状态下的教学也是一次课程变革．教师在使用新教材时很可能按旧教材的理解方式去进行解读，按旧观念的教学方式去进行教学，这种穿新鞋走老路的做法将直接影响新课程理念的具体实施．那么，教材“交接”状态下教材内容的差异如何融合与衔接？如何根据实际学情和认知需求对教学内容进行优化统整？这些都是新时期下要予以解决的问题．本文拟以“余弦定理、正弦定理”这一教学内容为例，谈谈个人的理解与思考．

2 不同维度下教材教学内容的对比

2.1 从不同年份人教版教材的对比中理解新教材

先看人教社近三版(2000版、2004版、2019版)高中数学教材中“余弦定理、正弦定理”在位置、知识引入方式和证明方法等方面的差异(表1)．

表1 人教社近三版相关内容的安排情况

教材年份位置知识引入方式与顺序证明方法2000版第一册(下)第五章的第二部分解斜三角形从解直角三角形(已知的边角求未知的边角)引出解斜三角形.先研究正弦定理后研究余弦定理两个定理都采用向量法2004版必修5第一章解三角形从三角形“大边对大角、小边对小角”以及“两边及夹角”的量化需求引入.先研究正弦定理后研究余弦定理正弦定理采用作高法,余弦定理采用向量法2019版必修第二册第六章第6.4.3节余弦定理、正弦定理从判断三角形全等(两边及其夹角)以及“大边对大角、小边对小角”的量化需求引入.先研究余弦定理后研究正弦定理两个定理都采用向量法

由表1看出，2019版新教材较前两版教材在位置上发生了明显变化，这一内容完全是作为平面向量的应用来呈现，是向量在平面几何中应用的示范，而之前两版教材中该内容则单独成章(单元)．这是因为新一轮课程体系更强调知识的整体性，突出向量是研究平面几何问题的重要工具，这样安排更容易让学生领会到向量是统领“几何与代数”的纽带，学生的学习是基于整体的、系统的主题学习．

在知识引入的先后顺序上，新教材与前两版教材相比也有一些变化，前两版教材均先研究正弦定理再研究余弦定理，新版教材则反之．这样的编排是考虑到学生对向量恒等式较易想到将两边“平方”进行数量积运算，而两边点乘边的法向量则不易想到，让学生先获得向量关系向数量关系转化的基本活动经验，再用类似思维去证明正弦定理，学生的思维更容易被激活．在知识引入的方式上，新版教材和2004版基本相同，均基于对三角形的定性刻画转化为定量表达的认知需求，这样就回归到学生已有的认知结构中去了，有利于他们更好地学习新知．

再看近三版(2000版、2004版、2019版)教材中例题和习题的配置与数量(表2)．

表2 人教社近三版相关内容的例题和习题编排情况

教材年份例题的配置及数量习题的配置及数量2000版在“正弦定理”后配置3道例题,“余弦定理”后配2道例题;在“解斜三角形应用举例”设置2道实际应用的例题;在“实习作业”设置2道测量的例题9在5.9节后的练习有5道题,习题5.9中共9道习题;在5.10后的练习有2道题,习题5.10中共4道应用题;习题5.11中2道实习作业题,要求写实习报告222004版在1.1节中分别在两个定理中配2道例题;在1.2节中共有9道例题,其中前8道是实际应用题,例9是证明题131.1节练习配4道习题,习题1.1共配置6道大题(其中A组4道,B组2道);1.2节练习配3道习题,习题1.2共有14道题(A组14道,B组2道),以实际应用为主272019版在6.4.3节余弦定理配2道例题,正弦定理配2道,余弦定理、正弦定理应用举例配3道7分别在三小节的练习中配3道习题,在习题6.4中配19道习题(除去在物理中的应用)28

新教材的例题数量最少，这和内容的教学定位有关，尤其体现在定理的实际应用上，仅就测量距离、高度、角度三个方面分别以一道例题示范．例题呈现方式上，前两版教材均采用“问题+解答”的形式，而新教材中的部分例题加入了“分析”，增设“分析”旨在为学生提供具体可行的思路或方法，引导学生进行完整的思维活动，促进其对问题的理解，进而提高分析问题的能力．在例题的内容上，与前两版教材基本保持一致，即每个定理后均配设单一的解三角形问题，在实际应用时都强调定理在测量问题中的应用．

课后习题(包括练习、习题)在数量上比前两版略有增加．习题类型上，2000版均以解答题出现，2004版除了解答题还增加证明题，且习题分成两个层次，而2019版题型上还增设填空题，题型更加丰富，分成“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，既有知识的复习巩固，又有知识的外延拓展，还有运用知识进行项目化学习(如习题6.4第21,23题)，给学生的学习提供更多选择的空间，为不同层次的学生进行数学理解打开了多个通道．

2.2 旧苏教版、新人教版两套教材的对比与理解

(1)章首语

两版教材中章首语的内容如表3所示．

表3 人教社和苏教版的章首语

版本内容人教版章首语:向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥着重要作用.第6.4节“平面向量的应用”节首语:我们还将借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题苏教版从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造……人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算.例如,测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,计算卫星的角度与高度……许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题,我们已经知道直角三角形的边角关系,那么任意三角形的边与角之间存在怎样的关系?如何利用这些关系解决实际问题?

新人教版章首语先阐述了向量的学科地位与作用，在第6.4节的节首语中又进一步阐明了通过向量的运算进行“探索性”学习，学习的方向是从直角三角形向任意三角形拓展．这样设计是基于指导学生学习的视角，旨在引导学生有方法地、有方向地进行学习．旧苏教版章首语的重心则放在知识的功能性上，即实际应用问题中的“测量、设计和计算”，旨在引领学生经历完整的项目化学习：从实际问题中抽象出数学问题，再通过正、余弦定理研究边与角，进而解决实际问题中的“长度”“高度”“角度”等计算问题，强调知识的应用价值，体现定理的工具性．正是由于章首语的不同目标定位，使得整块知识的学习方式和教学组织也需要改变．

(2)栏目设置

苏教版安排了正文、旁白、思考、练习、习题等栏目，而人教版教材则安排了正文、旁白、探究、思考、练习、习题等栏目．

“思考”在苏教版中以陈述句呈现，而在人教版中则以疑问句呈现，而且人教版中还增加了“探究”，也均为疑问句，从心理学上讲，疑问句的呈现方式更易引发学生探究的心理趋向．

从旁白的功能上看，苏教版的旁白均是以补充说明为主，人教版教材除了注释说明(以蓝色文本框呈现)之外，还有提问质疑(以橘黄色文本框呈现)，这说明人教版更注重以问题引导学生思考与分析，分析问题更有方向性．

在练习方面，人教版均为单一的“解三角形”练习题，苏教版除此之外还有实际应用、公式变形的应用、判断三角形形状等问题．练习作为一节课随堂教学反馈的学材，数量不宜多、难度不宜大，训练的指标要单一，进而题目的呈现背景、文字数量、知识转化层级等方面都要有所控制，否则随堂练习就变成有一定难度的综合应用．习题方面，苏教版分为“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”三个层次，人教版分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，两版教材均试图通过不同层次的习题设定来满足不同学生的练习需求．苏教版习题以传统的解答题和证明题为主，题目答案确定，均为结构良好习题，而人教版习题除此之外还有开放性的习题，如“你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？”

从上面这些栏目可以看出，人教版教材在学生的整个学习过程中始终贯穿问题引导思考，栏目引导探究，注重引导学生学会分析问题，培养学生数学核心素养．

(3)部分素材的设置

苏教版在正文和习题中均有用几何画板演示的数学实验来引导学生发现有关结论，进而引导学生在学习中养成运用信息技术进行探究、运算的意识，尤其是在处理实际问题中的数据时，更离不开数学计算工具的介入．人教版教材在有关计算时，在正文中指出“利用计算器”进行处理，在例题的数据上更倾向于简单一些(如特殊角、整数值)．关于数学文化素材，两版教材都有“海伦公式和三斜求积”，苏教版通过“阅读题”的方式呈现，并提出：“你能用正弦定理和余弦定理证明‘三斜求积’公式或海伦公式吗？”人教版则安排在“阅读与思考”栏目中，以数学家名字“海伦和秦九韶”为标题，着重介绍了两位数学家的生平和研究经历，这样的数学史故事更容易激发学生数学阅读的兴趣，感受数学文化的熏陶．

3 教材“交接”状态下的教学建议

3.1 把握课标，以不变应万变

尽管教材变了，版本也变了，但课程标准的要求是统一的，课程标准是进行教学组织的行动纲领．课标将“几何与代数”划分为课程的主题之一，就是通过不同的单元引导学生不断地认识几何与代数，如通过向量的运算来定量刻画几何图形的边角关系，除此之外还可以通过其他视角来认识．因此，将认识数学对象的方法或视角作为教学的上位目标，是应对教材“交接”状态下的教学指南．

基于此，笔者认为“正、余弦定理”的教学定位应是以三角形为基本图形，在整个单元学习中逐步让学生建立起研究几何问题的认知系统，使学生逐步形成解决一般几何问题的基本方向或视角，以此促进数学核心素养的养成．定理的证明过程便是该认知系统建立的示范．以余弦定理为例，可以从几何法、坐标法、向量法以及定理互推(如射影定理、正弦定理)等角度进行思考，而且这样的认知系统在知识应用时也要不断地巩固．以判断三角形形状为例：在△

ABC

中，已知

c

=2

a

cos

B

，试判断△

ABC

的形状．视角1 在△

ABC

中作高

CD

，

BD

=

a

cos

B

(图1)，由等腰三角形的“三线合一”可得出△

ABC

的形状为等腰三角形，这是运用纯几何的方法解决问题．

图1

视角2 将

c

=2

a

cos

B

变形为

c

=2

ac

cos

B

，即即由此也可作出判断，这是运用向量法解决问题．

视角3 用正弦定理将边转化为角进行判断；或通过余弦定理将角转化成边进行判断．

这样就完成了从知识生成到知识应用，整个认知过程完善了认知系统，学生在这样的认知系统下进行整体地学习，不断地运用认知系统解决问题，其学习活动是有目的性、有方向性的研究活动，从而也解决了只在定理证明时才用到向量法，而后研究几何问题却很少用向量法的尴尬境况．

3.2 以学定教，合理选择教学起点

教材“交接”状态下如何选择教学起点？教学活动的开展离不开教学起点的选择，教学起点的选择是由学生认知基础决定的，针对不同层次的学生选择不同的教学起点，这就需要对学生的认知力、认知需求以及智能发展高度等维度要有所考量，根据学生的实际情况选择适宜的教学起点，遵循学生的个体差异，着力发展不同学生的认知结构．如传统教学中关于“余弦定理”的引入有以下方式：

方式1 在初中，我们学习了勾股定理，即在直角△

ABC

中，∠

C

为直角，则

a

+

b

=

c

，那么∠

C

为锐角或钝角时，

a

,

b

,

c

有怎样的关系呢？

方式2 对于一个可解的三角形，给定其中的三个独立条件(其中至少一条边)有哪几种类型？

①两角及一边长；②两边长及一边对角；③两边长及其夹角；④三边长．

已学的“正弦定理”可以解决哪几类？(①②)

那么对③和④这两种类型该如何求解呢？

方式3

A

,

B

之间隔着一个水塘，设置一个方案，测量

A

,

B

两地间的距离．(要求：测量科学、合理)

对方式1，从学生已有认知中的勾股定理引出问题，使学生的认知视角从特殊走向一般，易于学生思维的展开，便于后续的类比、猜想、验证等思维活动的进行．不过，怎么想到以勾股定理为起点来研究余弦定理呢？这样的教学起点有教师“导演”出来的预设“剧情”之嫌，由此带来的学生思维活动将是在教师已预设好的思维轨道中运行，对学生思维纵深的发展有抑制的可能，也就束缚了学生思维自由发展的空间．所以，这样的教学起点对数学基础薄弱、思维水平一般的学生群体比较适宜．

对方式2，从可解三角形的已知条件分类入手，其中部分类型可用已学知识解决，而其他类型则需寻求新知识，因而触发了学生的研究兴趣，并且研究的目标指向也很明显——知识达成后，学生会认识到“余弦定理”可解决的三角形类型(③和④)．当然，我们也易发现该教学起点抽象程度高，需要学生有较好的数学思维能力和探究水平．

对方式3，以测量方案的设计为教学起点，能调动学生的思考积极性，其探究热情由此产生，问题的开放性也会引发其相互交流、争辩与反思．由于是开放的探究问题，有探究必有风险，可能会产生因探究而耗时多，或出现探究方向偏差等问题．这就要求学生的思维水平较高、敢于合作探究、敢于思考交流，同时对教师的课堂调控能力也提出了较高要求． 因此，这样的教学起点适合于已长期形成了具有探究氛围的学生群体，需要他们有较强的数学思维水平．

所以，在教学起点的选择上，教师要认真分析学生当前的认知基础和思维层次，依据学生的认知实情和思维水平进行选择，不合适的教学起点对学生的数学思维能力的培养是低效甚至无效的，过低的教学起点会导致思维水平停滞不前，而过高的教学起点将导致思维能力高不可攀．

3.3 强化基础知识，加强理解性教学

对于数学中的一些基础知识和基本方法，记忆是一方面，更重要的是理解．俗话说“好记性不如烂笔头”，这句话稍微改一下，变为“好记性不如知识的理解”，即学生在理解了知识内容后便能掌握知识并加以熟练地运用，学习的效果也将更好．“正弦定理、余弦定理”在2019版新教材中较前两版教材和苏教版教材在位置上发生了明显变化，其作为平面向量的应用来呈现，是向量在平面几何中应用的示范．因此，在上这节课时，教师不仅要传授基本的知识内容，更要带着学生去理解教材编写者的用意，体会向量和正、余弦定理之间更深一层的联系，学会用向量的知识去解决三角形中的一些问题，这样学生在解决此类问题时才能如鱼得水．如2021年新高考I卷的第19题：

记△

ABC

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

．已知

b

=

ac

，点

D

在边

AC

上，

BD

sin∠

ABC

=

a

sin

C

．(1)证明：

BD

=

b

；(2)若

AD

=2

DC

，求cos∠

ABC

．这道题难度不大，但学生普遍做得不好，大部分学生对于第(2)小题无从下手，究其原因，主要是不知道如何正确处理条件

AD

=2

DC

．其实进一步探究就会观察到∠

ADB

和∠

CDB

互为补角，也会联想到其余弦值互为相反数，那么就自然地想到在△

ADB

和△

CDB

中分别用余弦定理，即可得到等式结合已知及余弦定理即可求cos∠

ABC

．若教师在新授课时强调向量在正、余弦定理中的应用，并强化这类问题，则学生在解决解三角形的问题时就会想到向量．而这道题用向量也可以轻易解决，这和人教A版教材把正、余弦定理作为向量的应用来引入遥相呼应．由

AD

=2

DC

可知两边同时取模，得到即即再结合余弦定理即可得到等式结合已知及余弦定理即可求cos∠

ABC

．

因此，对于基础知识和基本方法的训练不应该只是简单的重复和片面的记忆，而要通过整理、归纳和总结，让学生多方面地去认识数学知识及它们之间的联系，通过分类、整理、综合，逐步形成一个条理化、有序化、网络化的知识结构体系，以便在解题时，准确依据信息寻求解题途径、优化解题过程，最终在考场上对基础知识和技能的运用能够胸有成竹．

最后，需要说明的是新教材在使用过程中肯定会出现不适应，如何将使用旧教材时那些优秀的经验延续到新教材中去、如何降低旧观念下的教学惯性对新课程的影响等，这些都应是教材“交接”状态下值得进一步思考与研究的话题．